材料力学四章

1、第四章第四章 4.1 4.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 4.2 4.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图4.3 4.3 纯剪切纯剪切4.4 4.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形4.5 4.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算4.6 4.6 非圆截面杆扭转的概述非圆截面杆扭转的概述4.1 4.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例 一、扭转的实例一、扭转的实例对称扳手拧紧镙帽对称扳手拧紧镙帽承受扭转变形的构件承受扭转变形的构件汽车方向盘转轴发动机的涡轮轴扭转扭转 在垂直于杆轴线的平面内作用一些在垂直于杆轴线的平面内作用一些力偶力偶，

2、致使杆件的任意两个横截面发生绕杆轴的相对转动。致使杆件的任意两个横截面发生绕杆轴的相对转动。受力特征：受力特征：横截面上作用的外力的合力为一力偶横截面上作用的外力的合力为一力偶变形特征：变形特征：横截面发生绕轴的转动横截面发生绕轴的转动ABOMM OBA二、扭转的外力特征和变形特征二、扭转的外力特征和变形特征轴轴 工程中以扭转为主要变形的构件。其横截工程中以扭转为主要变形的构件。其横截面大都是圆形的。面大都是圆形的。（如：机器中的传动轴、石油钻机中（如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车方向盘下的转向轴等。）的钻杆、汽车方向盘下的转向轴等。）ABOMM OBA扭转角扭转角( )：任意两横截

3、面相对转动的角度。任意两横截面相对转动的角度。切应变切应变( )：纵向线的倾角。纵向线的倾角。本章主要介绍本章主要介绍圆轴扭转圆轴扭转。4.2 4.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 一、外力偶矩的计算一、外力偶矩的计算直接计算直接计算eMFd按传递功率和转速计算按传递功率和转速计算轴所传递的功率轴所传递的功率P、轴的转速、轴的转速n 外力偶矩外力偶矩Me 9549ePMnkWr/minN m二、扭矩和扭矩图二、扭矩和扭矩图1.1.扭矩扭矩 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。2.2.扭矩的符号规定扭矩的符号规定 “ “T”的

4、转向与截面外法线方向满足的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则右手螺旋规则为正，反之为负。为正，反之为负。MMMTx0:0 xMTMTM3.3.截面法求扭矩截面法求扭矩xTM4.4.扭矩扭矩图图 表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩变化规律扭矩变化规律确定确定|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）强度计算（危险截面）nA B C DM2 M3 M1 M4解：解： 计算外力偶矩计算外力偶矩1150095499549300 15.9(kN m)PMn223150954995494.78 (kN m)300PMMn442

5、00954995496.37 (kN m)300PMn例例4-14-1 已知一传动轴已知一传动轴, 轴的转速轴的转速n=300r/min,主动轮输入主动轮输入 P1=500kW,从动轮输出从动轮输出P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）120:0 xMTM2230: 0 xMTMM340:0 xM-TM1 4.78kN mT 36.37kN mT 2 9.56kN mT 绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBCBC段为危险截面段为危险截面6.3

6、7xTm)(kNnA B C DM2 M3 M1 M4突变值突变值 = = 集中载荷集中载荷特点：特点：自左向右，自左向右， 遇到向上的外力偶矩，扭矩遇到向上的外力偶矩，扭矩T 增量为正；增量为正；遇到向下的外力偶矩，扭矩遇到向下的外力偶矩，扭矩T增量为负。增量为负。4.789.56讨论：讨论：nA B C DM2 M3 M4 M11 4.78kN mT 315.9kN mT 2 9.56kN mT xTm)(kN4.789.5615.9 传动轴上主、传动轴上主、从动轮安装的位置从动轮安装的位置不同，轴所承受的不同，轴所承受的最大扭矩也不同。最大扭矩也不同。思考题：思考题：4.3 4.3 纯剪

7、切纯剪切 一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚壁厚0tr（r0：为平均半径）为平均半径）L扭转后扭转后结论结论：横截面上没有正应力；横截面上没有正应力；与轴线平行的纵向截面上也与轴线平行的纵向截面上也没有正应力。没有正应力。横截面上只有切应力。横截面上只有切应力。MML扭转前扭转前变形规律试验：变形规律试验：L 绘纵向平行线，圆周线；绘纵向平行线，圆周线； 杆件两端施加一对大小相杆件两端施加一对大小相 等、方向相反的外力偶。等、方向相反的外力偶。各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；作了

8、相对转动；纵向平行线仍为直线且相互纵向平行线仍为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。平行，只是倾斜了一个角度。MMLTd得得薄壁圆筒横截面上的切应力薄壁圆筒横截面上的切应力 20 02 2eeMMr tA t22000000022eAMr dArtr drr trt由由A0：平均半径所作圆的面积 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力力 ，方向与该截面的扭矩方向一致；沿周向大小不变。，方向与该截面的扭矩方向一致；沿周向大小不变。 与与 的关系：的关系：RLLRL 为杆件的长度，R 为杆件横截面半径MML切应变切应变( ( ) )：纵向

9、线的倾角。纵向线的倾角。（即原矩形（即原矩形abcd的的直角改变量。）直角改变量。）微单元体微单元体(直角六面体直角六面体)acdb 左右两截面上无正应力，只有切应力。左右两截面上无正应力，只有切应力。前后两个面上没有任何应力。前后两个面上没有任何应力。 MML20 02 2eeMMr tA t 纯剪切应力状态纯剪切应力状态单元体单元体只有只有四个侧面上作用着四个侧面上作用着切应力切应力 二、切应力互等定理二、切应力互等定理 通过物体内一点处两个互相垂直的截面上，切应通过物体内一点处两个互相垂直的截面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直两截面的力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直两

10、截面的交线，方向则共同指向或背离此交线。交线，方向则共同指向或背离此交线。dxdz dydydz dx 切应力互等定理不仅对纯剪切应力状态适用，对切应力互等定理不仅对纯剪切应力状态适用，对一般的情形也适用。一般的情形也适用。acdb dxdydz左、右两侧面上切力各为左、右两侧面上切力各为dydz构成一力偶，力偶矩为构成一力偶，力偶矩为()dydz dx 单元体平衡，则其上、下两面必有单元体平衡，则其上、下两面必有切应力切应力 ，且，且 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 当切应力不超过材料的剪切比例极限当切应力不超过材料的剪切比例极限(p)时，时，切应力与切应变成正比关系，即切应力与切应变成正

11、比关系，即G OpG: :切变模量切变模量p: :剪切比例极限剪切比例极限 弹性模量、切变模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常弹性模量、切变模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间有如下关系：对各向同性材料，这三个弹性常数之间有如下关系：)1 ( 2EG4.4 4.4 圆轴扭转时的应力和变形圆轴扭转时的应力和变形一、一、圆轴扭转时横截面上的应力圆轴扭转时横截面上的应力变形几何关系、物理关系、静力学条件变形几何关系、物理关系、静力学条件等径圆轴扭转实验：等径圆轴扭转实验：扭转时圆轴的表面变形与薄壁圆筒表面变形相似。扭转时圆轴的表面变形与薄壁圆筒表面变形相

12、似。 原为平面的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小均原为平面的横截面变形后仍保持为平面，其形状和大小均不改变，半径仍为直线不改变，半径仍为直线；且相邻两横截面间的距离保持不变。；且相邻两横截面间的距离保持不变。圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转的平面假设：1.变形几何关系变形几何关系各圆周线的形状、大小和各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；作了相对转动；纵向平行线仍为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。纵向平行线仍为直线且相互平行，只是倾斜了一个角度。d xO2O1dab bCCdd xO2O1daCbCbEHFGFGrdddFFx ddx d d

13、x微段两截面的相对扭转角微段两截面的相对扭转角距轴线为距轴线为 的的任一点处的切应变任一点处的切应变ddx 扭转角沿轴线的变化率扭转角沿轴线的变化率 横截面上任一点处的切应变与该点到轴线的距离成正比。横截面上任一点处的切应变与该点到轴线的距离成正比。2. 物理关系物理关系 GxGxGGddddddGxdd xTmaxmaxmaxmax横截面上任一点处的切应力横截面上任一点处的切应力与该点到轴线的距离成正比与该点到轴线的距离成正比3.静力学条件静力学条件TddPTxGIdATAdA2dPAIAddPTGIx极惯性矩极惯性矩 IP圆轴扭转时横截面上任一点处的圆轴扭转时横截面上任一点处的切应力计算公

14、式切应力计算公式PTIdddAGAx 2dddAGAx单位单位 mm4 m4公式讨论：公式讨论：仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等径圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等径圆截面直轴。直轴。PTIT横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。尽管由实心圆截面轴推出，但尽管由实心圆截面轴推出，但同样适用于空心圆截面轴同样适用于空心圆截面轴，只，只是是IP值不同。值不同。24P220d232dDAADI a. 实心圆截面轴

15、实心圆截面轴DdOd DOdb. 空心圆截面轴空心圆截面轴2P222d2dDdAAI )(Dd4444()=(1)3232DDd应力分布应力分布TmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmaxmax（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：工程上采用空心截面构件： 提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。PTI确定最大切应力确定最大切应力max2/()2PPPTT DTDIII抗扭截面系数抗扭截面系数WP()2PPDWImaxPTWWP为几何量，单位为几何量，单位mm3 m3实心圆截面轴：实心圆截面轴：3Pp()162DWID空心圆截

16、面轴：空心圆截面轴：34PP()(1) 162DWIDPTI,ddx ,dGdx,PdTdxGI,PTImaxPTW综上综上实心轴与空心轴实心轴与空心轴 与与 对比对比pIpW4P32DI4444P()=(1)3232DIDd)(Dd3Pp1()216DWID34PP1()(1)216DWID实心轴实心轴空心轴空心轴二、二、圆轴扭转时的圆轴扭转时的变形计算变形计算ddPTxGIddPTxGI0ddllPTxGIPTlGI( (弧度弧度) )当当T为常量时为常量时,距离距离l 的两截面的相对扭转角为的两截面的相对扭转角为GIp 称为圆轴的称为圆轴的抗扭刚度抗扭刚度。1ni iiPiTlGI当各段

17、内扭矩不同，或各段截面极惯性矩不同，则两当各段内扭矩不同，或各段截面极惯性矩不同，则两端截面的相对扭转角为端截面的相对扭转角为4.5 4.5 圆轴扭转时的强度和刚度计算圆轴扭转时的强度和刚度计算一、强度计算一、强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxmaxPTW强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度校核强度 设计截面尺寸设计截面尺寸 计算许可载荷计算许可载荷maxPTW PmaxWT）（空：实：433P116 16 DDWPmaxWT对于变截面轴（如阶梯圆轴）：对于变截面轴（如阶梯圆轴）：maxmaxmax()pTW9549150954915.4 60155

18、0(N m)1.55(kN m)BCNTMn解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。D3 D2D1ABCMMT1.55（kNm）x3max31.55 1023MPa 0.07 16PTW例例4-24-2 功率为功率为150kW，转速为，转速为15.4转转/秒的电动机转子轴秒的电动机转子轴如图，如图，D3 =135mm，D2=75mm，D1=70mm，许用切应力许用切应力 =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。二、刚度计算二、刚度计算1. 单位长度扭转角单位长度扭转角d (ra d/m d)pT xGI d180 d

19、 ( /m)pT xGI 或2. 刚度条件刚度条件或为许用单位长度扭转角为许用单位长度扭转角maxmax () (rad/m )pT GI maxmax( /180 () mpT GI 刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度校核刚度 设计截面尺寸设计截面尺寸 计算许可载荷计算许可载荷 max max pT IG max p TGI有时，还可依据此条件进行选材。有时，还可依据此条件进行选材。例例4-34-3 长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用的作用如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪，许用剪应力应力 =30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/m ，试校，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。核此杆的刚度，并求右端面转角。 13max4160.0226m1 TD（）40NmxT2. 设计杆的外径设计杆的外径max PTW34D 1 16PW（）解：解：1.1.求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图0:(2)0 xxMmxT4020 xTx4.4.右端面转角右端面转角弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP3.