高等数学教学课件第四节傅立叶级数

1、五、幂级数的应用五、幂级数的应用公式公式欧拉欧拉)(. 1eulerieexeexxixeixixixixix2sin;2cossincos 01220)!12()()!2()(!)(nnnnnixnixnixnixe 01202)!12()()!2()(nnnnnixnix)!12() 1()!2() 1(12002 nxinxnnnnnnxixsincos .10,sin410 要要求求误误差差不不超超过过计计算算定定积积分分dxxx近近似似计计算算方方面面的的应应用用.2解解)!12()1()!12()1(1sin20120 nxnxxxxnnnnnn 0102102010)!12()1

2、()!12()1(sinnnnnnndxnxdxnxdxxx;)!12)(12()1()!12)(12()1(110 nnnnnnnn nkknkks11)!12)(12()1(设设4110)!12)(12(1 nnussrnnn410)!12)(12( nn 410!77, 3n取取.9461. 0! 551! 3311)!12)(12() 1(sin31110 kkkkdxxx、例例7第四节第四节 傅立叶傅立叶(fourier)级数级数一、基本概念与基本定理一、基本概念与基本定理 10)sincos(nnnnxbnxaa.)(),(, 0)(),(,)(, )(,)()()(),(:,正正

3、交交则则称称若若中中的的内内积积函函数数空空间间xgxfxgxfbacxgxfdxxgxfxgxfbacba .,.sin,cos,.,2sin,2cos,sin,cos, 1上上是是正正交交的的在在在在上上述述内内积积意意义义下下三三角角函函数数系系 nxnxxxxx性质性质三角级数三角级数. 1三三角角函函数数系系的的正正交交性性. 2证明证明;0sincos102 nxnxdxn奇函数）奇函数）nxnxdx(sin, 0sin1 )sin(cos, 0sincos奇函数奇函数nxmxdxnxmx dxnxmxdxnxmx 0coscos2coscos;,0)cos()cos(0nmnmd

4、xxnmxnm dxnxmxdxnxmx 0sinsin2sinsin;,0)cos()cos(0nmnmdxxnmxnm 傅傅立立叶叶级级数数. 3 1)sincos()(:nnnnxbnxaaxf希望希望,.).2 , 1(;: nbaann讨论讨论 1)sincos()(nnnnxdxbdxnxaadxdxxf a 2 dxxfa)(121,20a .)(10 dxxfa 1)cossincoscos(coscos)(nnnmxnxbmxnxamxamxxf 1)cossincoscos(coscos)(nnndxmxnxbdxmxnxadxmxadxmxxf )cossincoscos

5、()cossincoscos(01dxmxmxbdxmxmxadxmxnxbdxmxnxammmnnnn .000 mmaa ,cos)(1dxmxxfam ,.)2 , 1( ,sin)(1 mdxmxxfbm 同理同理,.3 , 2 , 1 m:傅傅立立叶叶级级数数的的定定义义,.).2 , 1(sin)(;cos)(,)(:,)()sincos(2:111010 nnxdxxfbnxdxxfadxxfaxfnxbnxaannnnn 其其中中的的傅傅立立叶叶级级数数为为称称三三角角级级数数 .,2)0()0(),()sincos(2,)(.)2( ;)1(:)(210是是间间断断点点是是连

6、连续续点点且且的的傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛则则值值点点个个极极在在一一个个周周期期内内只只有有有有限限断断点点或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间在在一一个个周周期期内内连连续续满满足足条条件件的的函函数数设设周周期期为为xxfxfxxfnxbnxaaxfxfnnn )(1 收收敛敛定定理理、定定理理证明省略证明省略二、函数展开为傅立叶级数二、函数展开为傅立叶级数.,)(00,10)(),2)(给给出出和和函函数数的的表表达达式式并并作作出出和和函函数数的的图图形形展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将的的表表达达式式为为上上它它在在的的周周期期函函数数是是周周期期为为设设xfxxxfx

7、f 解解:)(的的图图形形为为和和函函数数xs、例例1 dxxfa)(10 00)(1)(1dxxfdxxf. 1110100 dxdx nxdxxfancos)(1 dxnxnxdx 00cos1cos01; 0sin10 nxn xxxf00,10)( nxdxxfbnsin)(1 dxnxnxdx 00sin1sin01 0cos1nxn ;1)1(1)1(1 nnnn 10)sincos(2:)(nnnnxbnxaafourierxf级级数数为为的的nxnnnsin1)1(2111 1,.2, 1, 0,)12sin()12(221)(nkkxxnnxf 1,.2, 1, 0,21)(

8、)12sin()12(221nkkxkxxfxnn .)1(1,)12(1,)(,)(1211122的的和和及及并并求求数数项项级级数数展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将设设函函数数 nnnnnnnxfxxxf 解解、例例2,)(是是偶偶函函数数xxf dxxdxxfa1)(10 0022xdxdxx.102 xnxdxx cos1 nxdxxfancos)(1 0cos2nxdxx 0sin2nxxdn; 1)1(2cos2202 nnxnn nxdxxfbnsin)(1; 0sin1 nxdxx .,)12cos()12(42)(12 xxnnxxfn或或 10)sincos(2nnnn

9、xbnxaafourier级级数数为为辅辅助助函函数数的的. 0;)1)1(2;20 nnnbnaa .cos)1)1(2212nxnnn .,cos)1)1(22)(12 xnxnxxfnn.)1(,1,)12(11211212 nnnnnnn下面求和下面求和.,)12cos()12(42)(12 xxnnxxfn0)12cos()12(420)0(12 nnfn 2)12(412 nn.8)12(1212 nn 12212)2(1)12(11nnnnn 121241)12(1nnnn 1221214181nnnn 8143212 nn 122.61nn 12122221212)1(12)1

10、()1(nnnnnnnn 1212141)12(1nnnn.126418222 .12)1(2121 nnn三、正弦级数、余弦级数三、正弦级数、余弦级数的的为为称称其其中中的的傅傅里里叶叶级级数数为为那那么么是是偶偶函函数数如如果果)(cos2,cos)(2,)(2:cos2:)(,)(1000010 xfnxaanxdxxfadxxfanxaaxfxfnnnnn 的的为为称称其其中中的的傅傅里里叶叶级级数数为为那那么么是是奇奇函函数数如如果果)(sinsin)(2:sin:)(,)(101xfnxbnxdxxfbnxbxfxfnnnnn .余弦级数余弦级数.正正弦弦级级数数.)(,)(),2

11、)(展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将表表达达式式为为上上的的它它在在的的周周期期函函数数是是周周期期为为设设xfxxfxf 解解.)(,)(数数的的傅傅立立叶叶级级数数是是正正弦弦级级是是奇奇函函数数xfxf、例例1 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 0cos2nxxdndxnxnnxxn 00cos2cos2 02sin2cos2nxnnn ;)1(21nn ,.2, 1, 0,)12(,sin)1(2)(11 kkxxnxnxfnn .)0( , 1)(正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数分分别别展展开开成成将将函函数数 xxxf解解 0sin)(2nxdxxfbn

12、 nxdxxsin)1(20 0cos)1(2nxdxn )1(cos2cos)1(200 xnxdnnxxn 02sin21)1)(1(2nxnnn ;1)1)(1(2 nn )., 0(,sin)1)(1(1 2111 xnxnxnn、例例2 00)(2dxxfa 0)1(2dxx 02)1( x; 21)1(2 nxdxxfancos)(20 nxdxxcos)1(20 nxdxnsin)1(20 )1(sin2sin)1(200 xdnxnnxxn ;1)1(2cos2202 nnxnn . , 0,cos1)1(222112 nnxnxnx .)0( ,cos)(展展开开成成正正弦弦

13、级级数数将将函函数数 xxxf、例例3解解:,)(图图形形如如下下进进行行奇奇延延拓拓和和周周期期延延拓拓将将函函数数xfnxdxxfbnsin)(20 nxdxxfbnsin)(20 nxdxxsincos20 ;)1sin()1sin(10dxxnxn dxxb 012sin1;02cos210 x)1( ,)1sin()1sin(10 ndxxnxnbn 00)1sin(1)1sin(1xdxnxdxn 00)1cos()1(1)1cos()1(1xnnxnn )1(1)1()1(1)1(11 nnnn 11111)1(nnn ;)1(1)1(22 nnn )2( ,)1( 1)1(2;

14、 021 nnnbbnn )., 0(,sin11)1(2cos)(22 xnxnnxxfnn)., 0(,2sin144cos12 xnxnnxn或或为为周周期期的的付付立立叶叶级级数数四四、以以 l2定义、定义、).,.,2 , 1( ,sin)(1,cos)(1,)(1:)()sincos(2:,2)(010 ndxlxnxflbdxlxnxfladxxflaxfxlnbxlnaalxfllnllnllnnn 其其中中的的傅傅立立叶叶级级数数为为称称三三角角级级数数为为周周期期的的函函数数以以设设)(2 收敛定理收敛定理、定理定理 .,),()sincos(2,)(.)2( ;)1(:)

15、(22)0()0(10是是间间断断点点是是连连续续点点且且的的傅傅立立叶叶级级数数收收敛敛则则值值点点个个极极在在一一个个周周期期内内只只有有有有限限断断点点或或只只有有有有限限个个第第一一类类间间在在一一个个周周期期内内连连续续满满足足条条件件的的函函数数设设周周期期为为xxxfxbxaaxfxflxfxfnlnnlnn .)(,2002, 10)()2 , 2,4)(展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将上上的的表表达达式式为为它它在在的的函函数数是是周周期期为为设设xfxxxfxf 解解:)(的图形为的图形为函数函数xf; 110)()(; 220210221222110 dxdxdxxf

16、dxxfallll、例例1xdxxfalnllln cos)(1 xdxxfn22221cos)( 2022120221coscos0 xdxxdxnn ; 0sin2021 xnn xdxxfblnllln sin)(1 xdxxfn22221sin)( 2022102221sinsin0 xdxxdxnn ;1)1(1)1(1 nnnn ,.)2, 1, 0,2,( ,sin)(211)1(211 kkxxxxfnnnn .)20( ,sin)(为为周周期期的的余余弦弦级级数数展展开开成成以以将将函函数数 xxxf、例例2解解.)(进进行行偶偶延延拓拓及及周周期期延延拓拓将将函函数数xf;

17、2 l dxxfall020)( 204sin xdx.cos4204 x xdxxfalnlln cos)(02 nxdxxf2cos)(204 2042cossin nxdxx 2042cossin nxdxx dxxnxn202)21sin()21sin( dxxnxdxn202202)12sin()12sin( 20)12(2)12cos( xnn 20)12(2)12cos( xnn 1)12cos(1)12cos(2)12(22)12(2 nnnn;)14(41422)12(2)12(222 nnnn xnaxannanlnna12212coscos00 ;142cos1242 nnnx , 0,142cossin21242 xnnxxn.)155( ,10)(展展开开成成傅傅立立叶叶级级数数将将函函数数 xxxf55,)10()(;10: zzzfzgxz令令解解.)(是是奇奇函函数数zg;5 l、例例3 zdzlnzglbln sin)(20 zdznz5sin)(5250 zndzn5cos250 zdznn