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文档简介
1、第五节第五节欧拉方程 第十四章 解法解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程量代换可化为常系数微分方程.一、欧拉方程一、欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常数为常数)特点特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的次数相同变量的次数相同欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxtt
2、yxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 ,ln xt 则,ddtd 记则由上述计算可知则由上述计算可知: ydyxydydyx 22, ), 3, 2(ddktdkkkydd) 1(用归纳法可证用归纳法可证 ykdddyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybydbyd转化为常系数线性方程转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即求出这个方程的解后，求出这个方程的解后，把把 t 换为换为 ，xln即得到原方程的解
3、即得到原方程的解.例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtd 记则原方程化为则原方程化为ttyydydd222) 1(2亦即亦即ttytyty22dd3dd222其根其根,2, 121rr则则对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为特征方程特征方程, 0232 rrttydd2)23(22即 ttececy221 的通解为的通解为41ln21ln212221xxxcxcy4121212221ttececytt换回原变量换回原变量, 得原方程通解为得原方程通解为设特解设特解:ctbtay2代入代入确定系数确定系数, 得得412121
4、2tty例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程欧拉方程) ,ddtd 记则方程化为则方程化为,tex 令teyddd2)1) 1(即即teydd2) 12(2特征根特征根:, 121 rr设特解设特解:,2 tetay 代入代入 解得解得 a = 1,ttetetccy221)(xxxxcc221ln)ln(所求通解为所求通解为 例例3.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtd 记则则化为化为teyddd54) 1(teyd5)4(2特征根特征根: ,2ir设特解设特解: ,teay代入代入得得 a1 得通解为得通解为tetctcy2sin2cos21xxcxc1)ln2sin(
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