因式分解典型例题

1、典型例题一例 01 选择题：对 2mmp np2n 运用分组分解法分解因式,分组正确的是（）( A) (2m 2n np)mp(B) (2m np) (2n mp)(C)(2m 2n) (mpnm)( D) ( 2m 2n mp) np分析 本组题目用来判断分组是否适当 （A的两组之间没有公因式可以提取，因而（A）不正确；（B）的两组，每一组第一次就没有公因式可提，故（B）不正确；（D）中两组也无公因式可提，故（D）不正确.（C）中第一组可提取公因式 2,剩下因式（m n）；第二组可提取 p，剩下因式（m n），这样组间 可提公因式（m n），故（C正确.典型例题二例 02 用分组分解法分解因

2、式：（1）7x2 3y xy 21x ；（2）1 x2 4xy 4y2 .分析 本题所给多项式为四项多项式,属于分组分解法的基本题型,通过分组后提公因式或分组后运 用公式可以达到分解的目的 .解 7x 2 3y xy 21x2（7x221x）（ 3 y xy） （合理分组）7x（ x 3） y（x 3） （组内提公因式）（x 3）（7x y） （组间提公因式） 1 x2 4xy 4y2221 （x 2 4xy 4 y2 ） （注意符号）1 （x 2y）2 （组内运用公式）1 （x 2y） 1 （x 2y） （组间运用公式）（1 x 2y）（1 x 2y）说明 分组分解法应用较为灵活,分组时要有

3、预见性,可根据分组后“求同”有公因式或可运用 公式的原则来合理分组,达到分解的目的 .另外在应用分组分解法时还应注意：运用分组分解法时，可灵活选择分组方法，通常一个多项式分 组方法不只一种,只要能达到分解法时,殊途同归 .分组时要添加带“”的括号时，各项要注意改变符号，如的第一步典型例题三例03分解因式：5x315x2 x 3分析 本题按字母x的降幕排列整齐，且没有缺项，系数分别为5,15 ,1, 3.系数比相等的有1 或15，因而可分组为(5x3 x)、( 15x2 3)或(5x3 15x2)、( x 3).15313解法一5x3 15x2 x 3(5x3 15x2)( x 3)(学会分组的

4、技巧)25x (x 3) (x 3)2(x 3)(5x1)解法二 5x3 15x2 x 3(5x3 x) ( 15x23)x(5x2 1) 3(5x21)(5x21)( x 3)说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可谓分组的一大技巧！典型例题四2例04分解因式：7x 3y xy 21x分析 本例为四项多项式，可考虑用分组分解法来分解见前例，可用“系数成比例”的规律来达到合理分组的目的.解法一7x2 3y xy 21x(7x221x) ( 3y xy)7x(x 3) y(x 3)(x 3)( 7 x y)解法二7x2 3y xy 21x2(7x xy) ( 3y 21x)x(7x y)

5、3(7 x y)(x 3)( 7 x y)说明 本例属于灵活选择分组方法来进行因式分解的应用题，对于四项式，并不是只要所分组的项数相等，便可完成因式分解要使分解成功，需考虑到分组后能否继续分解本小题利用“对应系数成比例” 的规律进行巧妙分组，可谓思维的独到之处，这样避免了盲目性，提高了分解的速度典型例题五例 05 把下列各式分解因式：22(1) xy xz y 2 yz z ；(2) a2 b2 c2 2bc 2a 1；(3) x2 4xy 4y2 2x 4y 1. 分析 此组题项数较多，考虑用分组法来分解 .解法(1)xy2xz y2 yz z(xyxz)(y22yzz2)x(yz)(yz)

6、2(yz)(xyz)(2)a 2 b2c2 2bc2a 1(a22a1)2(b2 2bc c2)22(a 1)2 (b c)2(a 1 b c)( a 1 b c)(3) x2 4xy 4y2 2x 4 y 122(x2 4 xy 4y2) (2x 4 y) 12( x 2y) 2 2( x 2 y) 12( x 2 y 1) 2说明 对于项数较多的多项式合理分组时，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进行分组， 这使分组有了一定的针对性，省时提速 .女口中，“交叉项”为2yz，相应的平方项为y2、z2 ；中，“交叉项”为2bc，相应的平方项为b2、 2c.典型例题六例 06 分解因式：

7、22(1)a2 5a 6；(2)m2 3m 10.分析本题两例属于x2(pq)xpq型的二次三项式,可用规律公式来加以分解解(1) 6(2) (3) ,(2)(3) 5 ,2 a5a 62 a(23)a(2)(3)(a2)(a3)( 2)1025,253,2m3m 102m5(2)m(5) ( 2)(m 5)(n 2) .说明 抓住符号变化的规律，直接运用规律 .典型例题七例 07 分解因式：(1) (a b) 2 2 a 24b 2 a 2b 4bc c2 c 5(a b) 4；22(2) p2 7pq 12q2 .分析 对(1),利用整体思想，将(a b)看作一个字母，则运用 x2 (p

8、q)x pq型分解；对(2), 将其看作关于 p的二次三项式，则一次项系数为7 p，常数项为I2q2，仍可用x2 (p q)x pq型的二次三项式的规律公式达到分解的目的 .解 ( 1 ) ( a b) 25( a b) 4(a b 1)(a b 4)( 2)12q2( 3q)( 4q),3q ( 4q) 7q ,2p27 pq12q2p2 7pq12q2(p3q)( p4q) .典型例题八例 08分解因式：x43xx1； p25pq6q2p3q； a(a1)(a1) b(b1)(b 1)；分析 本组题有较强的综合性，且每小题均超过三项，因而可考虑通过分组来分解解 法一： x4 x (x3 1

9、)( x 1)(x 1)(x2 x 1)( x 1) p2 5 pq 6q2 p 3q2 2 2(p 5pq 6q )(p 3q)(看作 x (a b)x ab型式子分解)(pq)(p 3q) (p 3q)(p 3q)(pq 1) a(a 1)(a 1) b(b 1)(b 1)a(a1) b(b1)33aa b b x 143( x4 x3) ( x 1)x3( x 1) (x 1)(x 1)(x3 1)( x3 1可继续分解，方法很简单： (x3 x) (x 1)，对于 x3 1方法类似，可以 自己探索)(x 1)( x 1)( x2 x 1)法二： x4 x3 x 143( x4 1) (

10、 x3 x)2 2 2(x2 1)( x2 1) x(x 2 1)22(x2 1)( x2 1 x)(x 1)( x 1)( x2 x 1)法三： x4 x 3 x 143( x4 x) ( x3 1)33x( x3 1) (x3 1)3(a3b3)(ab)(ab)(a2 abb2) (a b)(ab)(a2 abb21) a24b2a 2b 4bc c2 c2 a(4b24bc2c2) (a 2bc)a2(2bc)2(a 2b c)a( 2bc ) a(2b c) (a2b c )(a2bc)(a2b c) (a 2bc)(a2bc)(a2b c 1)说明 中，虽然三法均达到分解目的，但从目

11、前同学们知识范围来看，方法二较好，分组既要合理 又要巧妙，使分组不仅达到分解目的，又能简化分解过程，降低思维难度 .式虽超过四项，但通过分组仍可巧妙分解，只是分组后不是通常的提公因式或运用公式，而是利用2 2 2了 x (a b)x ab型二次三项式的因式分解.将p 5pq 6q看做关于p的二次三项式2 2 226q2 2q 3q ， p2 5qp 6q2 p2 (2q 3q) p 2q 3q.式表面看无法分解，既找不到公因式，又不符合公式特点，对待此类题目，应采用“先破后立”的 方式来解决 . 即先做多项式乘法打破原式结构，然后寻找合适的方法 .式项数多，但仔细观察，项与项之间有着内在联系，

12、可通过巧妙分组以求突破但应注意：不可混淆因式分解与整式乘法的意义如小题中做乘法的目的是为了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法善于将外在形式复杂的题目看做熟悉类型，如小题中p2 5pq 6q2.典型例题九例 09 分解因式：(1) x(x 1)(x2)6；(2)ab(x21) x(a2 b2)分析 本组两个小题既无公因式可提又不符合公式特点，原题本身给出的分组形式无法继续进行，达 到分解的目的，对此类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解解 x( x 1)( x 2) 6x(x2 3x 2)632x3 3x2 2x 6(乘法运算，去括号)32(x3 3x2)(2x6) (重新分组)

13、x(a 1)(a2 a 6)(a 1)(a 2)(a 3)说明当a 1时，多项式a3 7a 6值为o，因而(a 1)是a3 7a 6的一个因式，因此，可从“凑因子” (a 1) 的角度考虑，把 6拆成 1 7 ，使分组可行，分解成功 . 运用“凑因子”的技巧还可得出以下分解方法 .法二： a3 7a 6(x 3) 2(x 3)(x 3)(x2 2) ab(x2 1) x(a2 b2)abx2 ab a2x b2x (乘法运算去括号)2 2 2(abx2 a2x) (ab b2 x ) (重新分组)ax(bx a) b(bx a)(ax b)(a bx)说明 “先破后立，不破不立” . 思维的独

14、创性使表面看来无法分解的多项式找到最佳的分解方式 .典型例题十例 10 分解因式 aa3 a 6a 6 7a 6分析 因式分解一般思路是： “一提、二代、三分组、其次考虑规律式(十字相乘法) ” . 即：首先考 虑是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考虑可否套用公式，用公式法分解；再考虑是否 可以分组分解；对形如二次三项式或准二次三项式可以考虑用“规律式” (或十字相乘法)分解 . 按照这样 的思路，本题首应考虑用分组分解来尝试 .解 a3 7a 6 a3 7a 1 7(a3 1) (7a 7)(a 1)(a2 a 1) 7(a 1)2(a 1)(a2 a 1 7)z 3(a3a)

15、(6a6)a(a2 1)6(a1)a(a1)(a1)6(a1)(a1)(a2a6)(a1)(a2)(a3)法三：3a7a 6a37a8 14z 3(a8)(7a14) (凑立方项）(a2)(a2 2a4)7(a 2)(a2)(a2 2a47)(a2)(a2 2a3)(a2)(a1)(a3)法四：a37a 63a7a27 231（与 a3 凑立方项）/ 3(a327)(7a21)(a3)( a3a9)7（a 3） （套用(a3)( a3a97)(a3)( a3a2)(a3)( a1)(a2)法五：3a7a 63a4a3a 6（拆7a 项)(a34a)(3a6)a(a2 4)3(a2)3 aa(a

16、 2)(a 2) 3( a 2)3b公式）(a 2)(a 2 2a 3) (a 2)(a 1)( a 3)法六： a3 7a 6a3 9a 2a 6 （凑平方差公式变 7a 项）3( a3 9a) (2a 6) a(a2 9) 2(a 3) a(a 3)( a 3) 2(a 3)(a 3)( a2 3a 2)(a 3)( a 1)( a 2)法七：令 a x 1则（ a 1为多项式一个因式，做变换 x a 1 ）a7a6(x1)7(x 1)63 x3x23 x 17x7 6 (做乘法展开）3 x3x24xx(x2 3 x4)x(x1)(x4)(x1 1)(x12)(x1 3)(a1)(a2)(

17、a3)(还原回a）说明 以上七种方法中，前六种运用了因式分解的一种常用技巧“拆项” （或添项），这种技巧以 基本方法为线索，通过凑因式、凑公式等形式达到可分组继而能分解的目的 . “凑”时，需思、需悟、触 发灵感 . 第七种运用了变换的方法，通过换元寻找突破点 .本题还可以如下变形：a3 7a 6 = (a3 a2) (a2 7a 6) a2(a 1) (a 1)(a6)=典型例题十例11若4x2 kx 25是完全平方式，求k的值.2 2 2 2分析 原式为完全平方式，由 4x2 （2x）2， 25 52即知为 （2x 5）2 ，展开即得 k 值.解4x2 kx 25 是完全平方式应为 (2x

18、5)2又 (2x 5)2 4x2 20x 25 ，故 k 20.说明 完全平方式分为完全平方和与完全平方差，确定k值时不要漏掉各种情况.此题为因式分解的2 2 2 逆向思维类，运用 a2 2ab b2 (a b)2 来求解 .典型例题十二例 11 把下列各式分解因式：(1) x2 8x 16；(2) a4 14a2b3 49b6(3) 9(2a b)2 6(2a b) 1解：( 1)由于 16 可以看作 42 ，于是有2 2 2x2 8x 16 x2 2 x 4 42(x 4)2 ；(2) 由幕的乘方公式， a4可以看作(a2)2，49b6可以看作(7b3)2，于是有42 362 2233 2

19、a4 14a2b349b6(a2)22 a27b3(7b3)223 2(a 7b ) ；(3) 由积的乘方公式， 9(2a b)2可以看作3(2a b)2，于是有9(2a b)2 6(2a b) 123(2a b)22 3(2a b) 1 123(2a b) 122(6a 3b 1)2说明(1)多项式具有如下特征时，可以运用完全平方公式作因式分解：可以看成是关于某个字母 的二次三项式；其中有两项可以分别看作是两数的平方形式，且符号相同；其余的一项恰是这两数乘 积的 2 倍，或这两数乘积 2 倍的相反数 . 而结果是“和”的平方还是“差”的平方，取决于它的符号与平 方项前的符号是否相同 .( 2

20、)在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重要而且常用思想方 法，要真正理解，学会运用 .典型例题十三例 12 求证：对于任意自然数 n， 3n 2 2n 3 3n 2n 1一定是 10 的倍数 .分析 欲证是 10 的倍数，看原式可否化成含 10 的因式的积的形式n 2 n3 n n1证明 3n 22 n 33n2 n 1(3n3n)(2 n 32n 1)3n (32 1) 2n(23 2)3n 10 2n 1010(3n 2n )10(3n 2n )是 10 的倍数，3n 2 2n 3 3n 2n 1一定是 10的倍数 .典型例题十四例 13因式分解（ 1） a2

21、x a2 y b2x b2y；22) mx mx n nx解：(1) a2x a2y b2x b2 y (a2x a2b) (b2x b2y)a2 (x y) b2(x y)(xy)(a2b2)或2222 ax a y b x b y(a2xb2x)(a2yb2y)x(a2b2)y(a2b2)(a2b2)(xy)；22) mx mx n nx(mxmx2)( n nx)mx(1x)n(1 x )(1 x)( mx n)或 mx mx 2 n nx ( mx 2 nx) ( nx n)x( mx n) (mx n) (mx n)( x 1)说明 ：（1）把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新

22、的公因式，这是正确分组的关键所在。因 此，分组分解因式要有预见性；（ 2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有负号的括号时，括号内每项的符号都要改变；(4)实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解典型例题十五例 14 把下列各式分解因式：1)a34ba( x 1)(x2 x 1 x)a2b；(2)x22 a2ab b3)ax2ax2axa解：(1)2 a4b2a2b (2 a4b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a 2b)(a2b)(a2b1)2)2 x2 a2abb2x2(a22abb2)x2(ab)2x(ab

23、) x(ab)(xab)( x a b)3)3 ax2 axaxaa( x a(x 1)( x2 1)说明 ：(1)要善于观察多项式中存在的公式形式，以便恰当地分组；同时还要注意统观全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分组。如，x2 a2 2ab b2 (x2 a2 ) (2ab b2) (x a)(x a) b(2a b) ，就会分解不下去了；x2 x 1)a(x3x2 ) (x1)ax2(x1) (x1)a(x21)( x2 1)或3 ax2 axaxaa( x 3x(x21)a(x21)( x 1)或3 ax2 axaxaa(x31)(x2x)a(x 1)(2 xx 1)x(x1)( 2)有公因式时， “首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则，在这里，当提取公因式后 更便于观察分组情况，预测结果；( 3)对于