(完整版)选修2-21.1变化率与导数(第1-3课时)

1、第 1-3 课时 （周二周四 3 月 2 日 -4 日）课题：选修（2-2 ） 1.1 变化率与导数三维目标：1 、 知识与技能（ 1 ）理解平均变化率的概念；（ 2 ）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（ 3 ）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（ 4 ）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；（ 5 ）理解导数的几何意义。2 、过程与方法（ 1 ）通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；（ 2 ）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；（ 3 ）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、

2、从特殊到一般的数学思想方法。3 、情态与价值观（ 1 ）通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；（2） 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.（ 3）通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。教 具： 多媒体教学方法：合作探究、分层推进教学法教学过

3、程：一、双基回眸科学导入：前面我们学习了函数及几种重要的函数，而且我们学习的很多公式所 展示的两个量之间的关系也是函数关系：下面找两个学生写出著名的函数一一二次函数的表达式和球的体积公式： 二次函数43气球的体积V(单位：L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 V(r) - r3函数很明确地描述了两个变量之间的因果关系。自变量的变化引起因变量的变化。下面我们来看这种变化的各种特点：同学们，相信大家都玩过气球吧，我们回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着 气球内气体的容量的增加，气球的半径增加的越来越慢，从数学角度，如何描述这 种现象呢？容量的增加与气球的半径增加这两者的变化的关系和本质是怎样

4、呢？今天，我们就来通过此问题来研究这种变化的特点和规律。二、创设情境合作探究：【首先来探究上面所提出的问题 】我们已经提问过了气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是43V(r) r3现将半径r表示为体积V的函数，那么r(V) 313V ,4【分析】r(V) 3巨, ,4 当V从0增加到1时，气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)气球的平均 膨胀率为r(1) r(0)0.62(dm/L)1 0 当V从1增加到2时，气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)气球的平均 膨胀率为r(2) r(1)0.16(dm/L)2 1可以看出，随着气球体积逐渐增大

5、，它的平均膨胀率逐渐变小了.【国考】当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？【下来探究一个问题一一高台跳水 】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？思考计算：0 t 0.5和1 t 2的平均速度v在 0 t 0.5这段时间里，V h(0.5) h(0)4.05(m/s)；0.5 0在1 t 2这段时间里，V hh8.2(m/s)2 165【探允】计算运动员在0 t 后这段时间里的平均速度，并思考以下问题: 运动员在这段时

6、间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？65【探究过程】如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h()h(0),65_ h(方)h(0) 所以 v 49 0(s/m),6504965虽然运动员在 0 t 这段时间里的平均速度为0(s/m),但实际情况是运动员仍49然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.【引出平均变化率的概念】一般地，函数f(x)在区间X1,X2上的平均变化率为f(x2) f(xl) X2 Xi本质：如果函数的自变量的“增量”为X,且X x2 x1,相应的函数值的“增量”为y, y f(X2)

7、f(Xl),则函数f(X)从X1到X2的平均变化率为y f(一) f(X2)X Xi X2几何意义：两点(Xi, f(Xl), (X2, f(X2)连线的斜率(割线的斜率)；平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势(变化快慢)，或说在某个区间上曲线陡峭的程度；【但我们想要知道的是在某处的瞬时速度】下面继续探索：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？小结：局部以匀速代替变速， 以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高

8、度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在关系ht 4.9t2 6.5t 10,那么我们就会计算任意一段的平 均速度V,通过平均速度V来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时 刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问题：2秒时的瞬时速度是多少？我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。t 0时，在2t,2这段时间内t 0时，在2,2 t这段时间内h 2h 2 t4.9 t2 13.1 th 2 th 24.9 t2 13.1 tvV22 tt2 t2t4.9t 13.14.9 t 13.1当t0.01 时，V13.051;当t 0.01时，V1

9、3.149;当t0.001 时，V13.095 1 ;当 t 0.001 时,V13.104 9;当to.ooo 1 时，V13.099 51 ;当 t o.ooo 1 时，V13.100 49;当t0.000 01 时，V13.099 951;当 t 0.000 01时，V13.100 049;当t0.000 001 时，V13.099 995 1;当 t 0.000 001时，V13.100 004 9;o o o o o oo o o o o o问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？关于这些数据，下面的判断对吗？2.当t趋近于。时，即无论t从小于2的一边，还是t从大于2的一边

10、趋近于2时，平均 速度都趋近于一个确定的值-13.1 m/s。3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段2t,2上的平均速度；4.靠近-13.1且比-13.1小的任何一个数都可以是某一段2,2 t上的平均速度；5. -13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是 -13.1 m/s。分析:t 2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速度， 所以比-13.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比-13.1小的数作为2秒的瞬时速度也不合 理，因此，运动员在 2秒时的瞬时速度是-13.1 m/s。小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，

11、从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。定义：函数f(x)在xX0处瞬时变化率是lXmolimof Xo X f Xo为函数yf X在X Xo处的导数，记作f Xo 或y x%即X X0【导数的概念】yf x0 = lim X 0 xf X的导函数(简称导数)即f x = y limx of Xo X f Xolim x o求导数的步骤：求函数的增量：y 求平均变化率： 一yx取极限，得导数：f (xo) 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限 定义：当X Xo时，f Xo是一个确定的数，当 X变化时，f X是X的函数，我们称它为【小试牛刀】廿r2h1 右 f Xo2函数f x 2x2 4

12、x在x 3点处的导数是 _ 一3设 f (x) ax 4,若 f (1) 2,则 a 的值()A2B-2C3D-3y=x2+3x 求(1) y ； (2)求 y | x=2434已知S=2,求Sr已知V=g jR ,求Vr已知25 在曲线y x 1的图像上取一点1 ,2 ), 及附近一点11A x 2 B x 21 x,2 y,则 B为xxx1C x 2D x 2x【导数的几何意义】函数y f (x)在点x0的导数的几何意义就是曲线 y f (x)在点p(x0, y0)处的切线的 斜率，也就是说，曲线 y f (x)在点p(M,y0)处的切线斜率是 f (xo),切线的方程为 y y。 f (

13、Xo)(X Xo) o三、互动达标 巩固所学：问题.1在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h (t) =-4.9t 2+6.5t+10,求运动员在t=2时的瞬时速度？【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。如何求运动员的瞬时速度？在 t=2之前或之后，任意取一个时刻2+ At, At可以是正值，可以是负值，当A t趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？【解析】(见学案)【点评】学生可以分组讨论，上台板演，展示计算结果，同时口答：在 t=2时刻，At趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1 ,即瞬时速度，第一次体会逼近思想

14、；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，第二次体会逼近思想，为了表述方便h(2 t) h(2) lim 13.1数学中用简洁的符号来表示，即t 0 t问题.2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第x h时，原油温度(单位：C)为f x x2 7x 15 0 x 8 .计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。【分析】瞬时变化率与问题.1瞬时速度本质一样，所以做法一样。(6)【解析】在第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f (2)和根据导数定义 *2一x一t(xxx(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7

15、2 15)所以 f (2) limx 0lim( x 3)3 同理可得：f (6) 5在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在第2h附近，原油温度大约以3oC/h的速率下降在第6h附近，原油温度大约以5oC/h的速率上升. 【点评】一般地，f(X0)反映了原油温度在时刻X0附近的变化情况.问题.3(1)求函数y 3x2在x 1处的导数.(2)求函数f(x)x2 x在x1附近的平均变化率，并求出该点处的导数【分析】先求y f(x0 x)f(x0),再求 x,最后求 x 0 x(1)法一定义法(略)3x 3 13(x1)法一 y |x1lim lim lim3(xlx1x 1

16、x 1 x 1x 1 x 11)(2)卫 xf ( 1)(1 x)2 ( 1 x) 2 3 x xy ( 1 x)2 ( 1 x) 2lim - x 0顺。(3x)L点评】由此题可体现求导数的步骤及进一步认识lim yx 0 x的关系和区别，通过这种近似与精确深刻理解导数的本质为了进一步体现其抽象性及几何意义，同学们完成下列两题:3。巩固一：如果一个质点 从定点A开始运动，在时间t的位移函数为y f t t3 1当t1 4且t 0.01时，求y和一y?2当t1 4时，求lim y的值？ t 0 t3说明上和lim 的几何意义？ t t 0 t巩固二：已知曲线y 1x3上的一点P 2,8 ,求

17、331点P处的切线的斜率。2点P处的切线方程。四、思悟小结：知识线：(1)平均变化率；(2)瞬时速度与瞬时变化率的概念；(3)导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；思想方法线：(1 )定义法；(2)公式法；(3)近似与逼近思想；(4)数形结合思想与等价转化思想。题目线：(1)求平均变化率与瞬时变化率的问题;(2)求瞬时速度的问题；(3)求函数在某点的导数；(4)关于切线的问题。五、针对训练巩固提高：31已知曲线y x上过点(2, 8)的切线方程为12x ay 16 0,则实数a的值为()A -1 B 1C-2D 22函数y f (x)在x x0处的导数f/(x0)的几何意

18、义是()A 在点x x0处的函数值B 在点(x0, f(x。)处的切线与x轴所夹锐角的正切值曲线y f(x)在点(xo, f (xo)处的切线的斜率点(Xo, f(Xo)与点(0, 0)连线的斜率.已知函数x的图像上一点1, 2及附近的一点 1 x, 23- x设f x在x处可导，则lim 2f xh 0-f 24ff x0)=a,(1)求 lim -x 0xof x0-的值。(2)f (x00求 lim x 0x) f(xx)的值。6一作直线运动的物体其位移s与时间t的关系是s 3t t2。(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t=2秒时的瞬时速度;(3)求t=0至ij t=2时的平均速度。求物体第 求物体在 求物体t7已知一个物体运动的位移( m与时间t (s)满足关系S (t) = -2t 2+5t5秒和第6秒的瞬时速度t时刻的瞬时速度时刻运动的加速度，并判断物体作