数列极限四则运算法则的证明

1、-作者xxxx-日期xxxx数列极限四则运算法则的证明【精品文档】数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(AnBn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n+的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列Xn和常数A有以下关系:对于0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足nN的一切Xn,不等式|Xn-A|都成立,则称常数A是数列Xn的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明:引

2、理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:limAn=A, 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-A|.(极限定义)同理对同一正数,存在正整数N,使nN时恒有|Bn-B|.设N=maxN,N,由上可知当nN时两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|An-A|+|Bn-B|+=2.由于是任意正数,所以2也是任意正数.即:对任意正数2,存在正整数N,使nN时恒有|(An+Bn)-(A+B)|2.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(CAn)=CA.(C是常

3、数)证明:limAn=A, 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-A|.(极限定义)式两端同乘|C|,得:|CAn-CA|C.由于是任意正数,所以C也是任意正数.即:对任意正数C,存在正整数N,使nN时恒有|CAn-CA|C.由极限定义可知,lim(CAn)=CA.(若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(AnBn)=0.证明:limAn=0, 对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|An-0|.(

4、极限定义)同理对同一正数,存在正整数N,使nN时恒有|Bn-0|.设N=maxN,N,由上可知当nN时两式全都成立.此时有|AnBn|=|An-0|Bn-0|=.由于是任意正数,所以也是任意正数.即:对任意正数,存在正整数N,使nN时恒有|AnBn-0|.由极限定义可知,lim(AnBn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.lim(AnBn)=lim(an+A)(bn+B)=lim(anbn+Ban+Abn+AB)=lim(anbn)+lim(Ban)+lim(A

5、bn)+limAB(法则1)=0+Bliman+Alimbn+limAB(引理3、引理2)=B0+A0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L0,则存在正整数N和正实数,使得对任何正整数nN,有|Xn|.证明：取=|L|/20,则存在正整数N,使得对任何正整数nN,有|Xn-L|N有|An-A|1,于是有|An|A|+1,我们取M=max(|A1|,.,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B0时(这是必要条件),正整数N1和正实数0,使得对正整数nN1,有|Bn|0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|M,|Bn|K.现在对0, 正整数N2和N3,使得:当nN2,有|An-A|N3,有|Bn-B|max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*0)(M+