数列型不等式的证明

1、 数列型不等式的证明 -作者 xxxx ?-日期 xxxx 【精品文档】 【精品文档】 数列型不等式证明数列型不等式证明的的常用方法常用方法 一放缩法放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧，例如归一技巧、抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧，仅供参考. 1 1 归一技巧归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或若干项全部转化为同一项，或是将和式的通项中的一部分转化为同一个式子（或数值），既达到放缩的目的，使新的和式容

2、易求和. 归一技巧有整体归一、分段归一。 例如 设n是正整数，求证121211121nnn 【证明】111122nnn1211112222nnnnnn个12. 另外：111122nnn11111nnnnnn个1. 【精品文档】 【精品文档】 【说明】在这个证明中，第一次我们把11n、12n、12n这些含n的式子都“归一”为12n，此时式子同时变小，顺利把不易求和的111122nnn变成了n个12n的和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和，这就是“归一”所达到的效果。而不等式右边的证明也类似. 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一

3、”. 例 1. 数列 na的各项均为正数，nS为其前n项和，对于任意*Nn，总有2,nnna S a成等差数列. ()求数列 na的通项公式； () 设数列 nb的前n项和为nT ，且2lnnnnaxb ，求证:对任意实数ex, 1（e是常数，e）和任意正整数n，总有nT 2； （）解：由已知：对于*Nn，总有22nnnSaa 成立 21112nnnSaa （n 2） 【精品文档】 【精品文档】 -得21122nnnnnaaaaa 111nnnnnnaaaaaa 1,nnaa均为正数，11nnaa （n 2） 数列 na是公差为 1 的等差数列 又 n=1 时，21112Saa， 解得1a=1

4、 nan.(*Nn) （）证明：对任意实数ex, 1和任意正整数 n，总有2lnnnnaxb 21n. （放缩通项，整体归一） nnnTn11321211112111222（放缩通项，裂项求和） 21211131212111nnn 例 2.已知数列 na中的相邻两项212kkaa，是关于x的方程2(32 )320kkxkxk的两个根，且212(12 3)kkaak， ， ， （I）求1a，2a，3a，7a； （II）求数列 na的前2n项和2nS； 【精品文档】 【精品文档】 （）记sin1( )32sinnf nn， (2)(3)(4)(1)123456212( 1)( 1)( 1)( 1)

5、ffff nnnnTa aa aa aaa， 求证：15()624nTn*N 【分析】（1）略. 12a ；34a ；58a 时；712a （II）略. 2nS2133222nnn （III）本题应注意到以下三点， ( )1, 2f n ，且( )f n具有周期性. ( )1, 2f n ，这就有( )( 1) 1, 1f n ，( )f n虽有周期性，可周期为2. 这就使当n很大时，和式通项(1)212( 1)f nnnaa的符号增加了不确定性. 很显然，当4n 时，213nan，22nna；当3n 时，212nna，23nan.纵然没有符号的问题，通项132nn如何求和？也需要解决. 11

6、2116Ta a，2123411524Ta aa a，本题相当于证明12()nTTT n*N 基于以上三点，我们可以看到：1nTT等价于从第二项开始的项之和为非负数，可否考虑将第三项开始的项缩【精品文档】 【精品文档】 小，此时可以做两方面的“归一”，一是符号“归一”，二是分母的部分“归一”，两者都是要达到容易求和的目的. 【解答】 当3n时， (1)3456212111( 1)6f nnnnTa aa aaa， 345621211116nna aa aaa从第三项起“归一”为负 =)2312431921(6416143nn =)21241231(6164161132nn 2341111116

7、6 26 222n (3,4,5,n “归一”为 2) 1166 2n 16， 至于不等式右边原理一样： (1)5678212511( 1)24f nnnnTa aa aaa 【精品文档】 【精品文档】 5678212511124nna aa aaa(从第四项起“归一”为正34551111249 23 4 23 5 232nn 3451111249 29 22n (4,5,n “归一”为3) 51249 2n 524 又112116Ta a，2123411524Ta aa a，原结论成立 1.21.2 分段归一分段归一 放缩法中，如果我们把和式分为若干段，每一段中的各个项都转化为同一项而达到放

8、缩并容易求和的目的的，称之为“分段归一”. 例 3 已知数列na和 nb满足112,1(1)nnnaaa a ，1nnba，数列 nb的前n和为nS. （1）求数列 nb的通项公式； 【精品文档】 【精品文档】 （2）求证：对任意的nN有21122nnSn成立 分析：（1）略. 1nbn （2）此问可以用数学归纳法证明，也可以用“分段归一”的放缩法解答. 【解答】左边证明 21111232nnS 1111111111111()()()()2345678916212nn 11128162111111111111()()()()2448888161622nnnn 个个 12111112222n 个

9、 =1+2n 【精品文档】 【精品文档】 这里我们以12，212，312，412，12n为界，将和式111232n分为n段，每段1121i1122i12i（1,2,3,in），每段中的数对缩小归一为12i，这就使每一段的数缩小后和为12，从而得证. 至于不等号右边，原理类似： 21111232nnS 111111111 1111111 () () ()()2345678 915221212nnnn 111111128816211111111111111 () () () ()()224444881616222nnnnn 个个16个 111 1 1 112nn 个 12nn 12n 【精品文档】

10、 【精品文档】 【说明】本题我们需要关注到不等号两边的性质：一方面，12111+1222nn 个，接着我们把不等式中间的和式除 1 外的部分拆分成n段，每段都不小于12；另一方面，111 1122nn 个1，接着我们把不等式中间的和式除12n外的部分拆分成n段，每段都不大于1； 在归一放缩时，我们需要注意到题设的条件和式子的性质，它是我们考虑如何归一、往哪个地方归一的关键. 2 2 抓大放小抓大放小 在将和式通项中，我们保留式子主要的、数值较大的部分，去掉次要的、数值相对较小的部分，以便达到放缩和容易求和的目的，这种放缩技巧，我们称之为“抓大放小”技巧. 例如求证: 2232322212132

11、nnn 通项放缩为 nnnnn22， 求和即证。 直接抓大放小 【精品文档】 【精品文档】 例 4 设数列 na的前n项和为nS，对任意的正整数n，都有51nnaS成立，记*4()1nnnabnNa. （I）求数列 nb的通项公式； （II）记*221()nnncbbnN，设数列 nc的前n项和为nT，求证：对任意正整数n都有32nT . 【解答】（）略. 14( 1)4( 1)nnnnnb （）由（）知54( 4)1nnb 221nnncbb221554141nn22225 4(41)(44)nnn 24225 443 44nnn 2425 44nn2516n（分母直接抓大放小） 又1211

12、343,33bbc 当1312nT时， 当234111225 ()3161616nnnTK时，12111 ()416162513116n 【精品文档】 【精品文档】 214162513116694832 【说明】这里的分母4243 44nn 阻碍了式子的求和，式子4243 44nn 中，最大的是44n，他起到了决定整个这个式子数值大小的作用，23 44n相比它来说小很多，由此，我们能把44n留在，去掉23 44n，这里既能起到放大式子的要求，也能使通项转化为等比数列，使和式容易求和. 就象整棵大树，我们留下了主干，把枝梢末节的地方去掉了。 拆大抵小拆大抵小 “拆”大“抵”小指的是通项中有一两个

13、数值在放缩时无法直接消去，只能从主要的数值中拆出一部分出来与之相抵，达到放缩的效果. 例 5 设数列 na的前n项和为Sn，满足121,nnSannN ，且1a，23a ，3a成等差数列. （1） 求a1，a2，a3的值； （2） 求数列 na的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n，有1211132naaa. 分析（1）略. a11，2=4a，3=13a （2）略. 1(31)2nna 【精品文档】 【精品文档】 （3）由（2）知1231nna 如果将通项231n分母中的1消去，通项将转化为等比数列23n，可这个转化是一个缩小的放缩，与和式放大矛盾，因而不能直接去掉1. 我们可以从通项23

14、1n分母中的3n中拆出一部分出来与1相抵，为了达到放大的目的，拆出来的部分必须比1大. 【解答】 （3）由111112221312 3312 33nnnnnna，（拆大抵小） 故有：11211111133nnaaa 113113n13122 3n32 【说明】抓大放小的技巧在于留住式子中主要的部分，既保留了式子的数值，也达到了放缩和容易求和的目的. 【精品文档】 【精品文档】 又例如 求证: 3512112112112132n 如果1111212212212nnnnn， 那么121121nn，则放大过头！ 因为)2(231223124122222nnnnnn 所以通项放缩为 )2(213112

15、12nnn，求和即证。 如果求证:213412112112112132n，则上述放大过头！ 可以用) 3(271227128123333nnnnnn 所以第一、二项不变，通项从第三项放大为 )3(21711213nnn，求和即证。 3 回头追溯技巧回头追溯技巧 许多的时候，我们在不等式放缩时，往往会因为式子放的过大，步子迈得太开，而得到一个比原题设证明更弱的命题，从而导致对题目的证明失败. 此时我们往往只能【精品文档】 【精品文档】 回头追溯我们原来的放缩，修改它，或者是保留若干项，这就是回头追溯技巧. 3.1 保留若干项的回溯 例 6 已知数列na满足12a ，2*112(1)()nnaan

16、Nn. （1）求证数列2nan是等比数列，并求其通项公式； （2）设nnnca，求证：123710ncccc. 分析：（1）略.22nnan （2）102nnnncan 这nc的通项，其分母由n与2n的乘积组成，不易求和，能否用归一技巧，将分母部分归一？ 如：123ncccc 234111111 22 23 24 22nn 2111222n112n 1 这里显然是放得太大了，不合题意。此时我们想能否回头追溯我们原来的放缩，修改它，或者是保留若干项，这就是回头追溯技巧，这道题我们可以保留若干项： 【精品文档】 【精品文档】 【解答】（3）设123nnTcccc， 则1234TTTT 当n4 时，

17、 234111111 22 23 24 22nnTn 45111111128244222n（从第四项开始放缩） 32112121734332330102 综上：123710ncccc 例 7已知数列na满足：112cos()nnnnaaa an且114a （1）求数列na的通项公式； *（2）设2) 12(sinnabnn，记数列bn的前n项和为Tn求证：对任意的nN*有Tn47成立 解：（1）由1112cos()( 1)nnnnnnnaaa ana a 【精品文档】 【精品文档】 所以121( 1)nnnaa ， 112( 1)nnnaa ， 1111( 1)2( 1)nnnnaa 11(

18、1)3a 所以1( 1) nna 是以 3 为首项，以-2为公比的等比数列 11( 1)3( 2)nnna ， 所以nnna) 1()2(311 （2）1) 1(2) 12(sinnn， 111( 1)13( 2)( 1)3 21nnnnnb 当3n时，则12311231123113112nnT 212211211321)(1 28112312312317141nn（从第三项开始放大，分母减去 1） 7484488447612811)21(1 6128112n 321TTT， 对任意的Nn，74nT 【精品文档】 【精品文档】 3.2 修改放缩的回溯 刚刚我们提到修改我们的放缩，那我们看看以下

19、这道题： 例 8.已知数列 na满足11a ，121nnaa *()nN. （I）求数列 na的通项公式； （II）证明：*122311.()232nnaaannnNaaa. 分析（I）略. *21().nnanN （II）证明：1121211,1,2,., ,12122(2)2kkkkkkakna 12231.2nnaaanaaa 在不等号左边的证明中，可能有部分人利用抓大放小，这样证明： 1111212111,1,2,., ,21222kkkkkkkakna 12231.nnaaaaaa21 111(.)22 222nn 11(1)222nn122n. 【精品文档】 【精品文档】 这里在放

20、缩的过程中想当然的就将分母中的-1 去掉，使分母变大，通项变小，但这样的放缩放得太大了，我们不得不放弃，必须回头去，看看原来的放缩能不能修改，能不能让放缩脚步迈得小一些，不要放得那么多. 以下是修改后的放缩： 【解答】（2）11121111111 1.,1,2,., ,2122(21)23.22223 2kkkkkkkkakna 1222311 111111.(.)(1),23 22223223nnnnaaannnaaa *122311.()232nnaaannnNaaa. 回溯技巧的使用更多的是在山穷水尽之时，弥补原有失误的技巧，其中保留若干项的方法最常见. 4. 利用函数的性质放缩 例 9

21、.已知函数( )ln 1f xxx,数列 na满足101a, 1nnaf a; 数列 nb满足1111,(1)22nnbbnb, *nN.求证: （）101;nnaa 【精品文档】 【精品文档】 （）21;2nnaa （）若12,2a 则当 n2 时,!nnban. 分析：可以考虑用：若xxxxx) 1ln(1, 1来证明。 解析：()先用数学归纳法证明01na,*nN. （1）当 n=1 时,由已知得结论成立; （2）假设当 n=k 时,结论成立,即01ka. 则当 n=k+1 时, 因为 0 x1 时,1( )1011xfxxx , 所以 f(x)在(0,1)上是增函数.（函数性质） 又

22、f(x)在0,1上连续,所以 f(0)f(ka)f(1),即00 构造函数 g(x)=22x-f(x)= 2ln(1)2xxx, 0 xg(0)=0. 【精品文档】 【精品文档】 因为01na,所以0ng a,即22nnaf a0, 从而21.2nnaa () 因为 1111,(1)22nnbbnb,所以0nb ,1nnbb12n , 所以1211211!2nnnnnnbbbbbnbbb , 下面只需证明12nna（逐步转化） 由()21,2nnaa知:12nnnaaa, 所以1naa=312121212 22nnnaaaaa aaaa , 因为122a , n2, 101.nnaa 所以 n

23、a11212 22naa aa112nnan 时，1111 313()( )(1)( )22nmmnbmnbmnmn， 1113214()(1) ( )(1)1233mmnnbmbmnm ，1nnbb 即数列nb是递减数列. 因为2n ，故只须证22231(1) ( )2mmbmm， 即证mmm1)23(2. 利用二项式定理，事实上，122111519()1224mmmmCCmmmm . 综上，原不等式成立. 【精品文档】 【精品文档】 需要指出的是，在许多的数列型不等式放缩中，往往不是一个技巧的使用，而是多个技巧，多种放缩方式的综合使用. 二构造构造新新数列数列，比较两个数列的通项，比较两个

24、数列的通项 例 13求证 ln(n1)13151712n1(nN*). 【解析】构造数列na且它的前 n 项和为ns=ln(n1)，则可得na=lnnn1 下面只需证明 lnk1k12k1 ( kN*) 令h(x)ln x2x11，h(x)1x2(x1)2x21x(x1)20， 函数h(x)在区间(0，)上是增函数. 当x1 时，h(x)h(1)0， 即 ln x2x11，即 ln xx1x1. 令xk1k，则有 lnk1k12k1. k1nlnk1kk1nl12k1 【精品文档】 【精品文档】 ln(n1)k1nlnk1k， ln(n1)131512n1. 点评：本题是构造数列以及换元方法。 三 数学归纳法与积分法 例 14 设函数f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的导函数 (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN N，求gn(x)的表达式； (2)若f(x)ag(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)设