运动学第三章刚体的平面运动B

1、2021年年10月月13日日3-1 3-1 刚体的平面运动方程及运动分解刚体的平面运动方程及运动分解3-2 3-2 平面运动刚体上各点的速度分析平面运动刚体上各点的速度分析3-3 3-3 平面运动刚体上各点的平面运动刚体上各点的加加速度分析速度分析3-4 3-4 运动学综合应用运动学综合应用3-4 3-4 刚体的平面运动 =平动 + 转动 平面运动、平动、转动均相对于固定坐标系，是绝对运动，所有的运动参数都表示的绝对运动规律，而非相对运动。例例 1： 图示平面机构，杆图示平面机构，杆AC在导轨中以匀速在导轨中以匀速v平动，平动，通过铰链通过铰链A带动杆带动杆AB沿导沿导套套O运动，导套运动，导

2、套O可绕转动。可绕转动。导套导套O与杆与杆AC距离为距离为l。图。图示瞬时杆示瞬时杆AB与杆与杆AC夹角为夹角为600，求此瞬时杆，求此瞬时杆AB的角速的角速度及角加速度。度及角加速度。解：解：方法方法1： 点的运动合成法点的运动合成法动点动点：A；动系动系：固结于导套：固结于导套O，绕，绕O点转动；点转动；定系定系：固定基础，过：固定基础，过O点。点。AaAeArvvvvva2360sin260cosvvalvAOveAB43v点点A为匀速直线运动为匀速直线运动Ceaa lvvareC432222833lvAOaeABCreaaaaan0AeAeArACaaaa向向AB的垂线轴投影的垂线轴投

3、影方法方法2：建立直角坐标系建立直角坐标系OxyAB杆作平面运动，杆作平面运动，AC杆平动杆平动A点的运动方程为点的运动方程为 cotlxA2sinlvAB2sinsin2sin222lvlvAB lvAB4322833lvAB60 当vxA0v 已知运动机构已知运动机构 - 未知运动机构未知运动机构 连接点运动学分析合成运动接触滑动平面运动铰链连接例例2 图示平面机构，图示平面机构，AB长为长为l，滑块，滑块A可沿摇杆可沿摇杆OC的的长槽滑动。摇杆长槽滑动。摇杆OC以匀角速度以匀角速度绕绕O轴转动，滑块轴转动，滑块B以以匀速匀速vB=l沿水平导轨滑动。图示瞬时沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直

4、，铅直，AB与与水平线水平线OB夹角为夹角为30 。求此瞬时。求此瞬时AB杆的角速度及角加杆的角速度及角加速度。速度。解解：求角速度求角速度vBvAB1.杆杆AB作平面运动，以作平面运动，以B为基点，为基点，A为动点为动点ABABvvv2.再取再取A为动点为动点 动系固结于动系固结于OCvevr绝对运动绝对运动 ：未知平面曲线：未知平面曲线运动运动相对运动相对运动 ：直线运动（：直线运动（OC）牵连运动牵连运动 ：定轴转动（轴：定轴转动（轴O）ABABl? ABAB?aervvv沿沿方向投影方向投影eABBvvv30sinABvABAB沿沿 方向投影方向投影rABvv30coslvr23AvO

5、A？BABervvvvABABABABvvvl?？AB以以B为基点，为基点，A为动点为动点nABABBAaaaa再以再以A为动点，动系固于为动点，动系固于OCCrneeaaaaaannA BA BerCaaaaa沿沿C方方向投影向投影CnABABacosasina3030ABlvr23求角加速度求角加速度20ABABAABABarAvOAa2?02233laAB？233ABaABAB求求：该瞬时杆：该瞬时杆OA的角速度与的角速度与角加速度。角加速度。例例3图示平面机构，滑块图示平面机构，滑块B可沿杆可沿杆OA滑动。杆滑动。杆BE与与BD分别与滑块分别与滑块B铰接，铰接，BD杆可沿水平轨道运动。

6、滑块杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速以匀速v 沿铅直导轨向上运动，杆沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示长为。图示瞬时杆瞬时杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为 。l 245解解: 1求杆求杆OA的角速度的角速度杆杆BE作平面运动作平面运动,OEvBEvOBvBEBvBlv瞬心在瞬心在O点点绝对运动绝对运动 ： 相对运动相对运动 ：牵连运动牵连运动 ：取动点取动点 ：滑块：滑块B 动系动系 ： 固结于固结于OA杆杆方方向向大大小小?vvvvrea沿沿BD方向投影方向投影vvvae直线运动直线运动(BD)直线运动直线运动(OA)定轴转动定轴转动(轴轴O)0rv沿沿vr方向投影方向投影l

7、vOBveOA方向如图示方向如图示取取E为基点为基点 B为动点为动点nBEtBEEaaaaBBEE2? 0?大小 方向45cosnBEBaa 沿沿BE方向投影方向投影nBEBaa45coslv22lv222 求杆求杆OA的角加速度的角加速度BrnBetBeaaaaBa沿沿BD方向投影方向投影ateaa 222lvlv22OBateOA方向如图示方向如图示取动点取动点 ：滑块：滑块B 动系动系 ：固结于：固结于 OA杆杆?222llvOA大小方向例例4 4在图所示平面机构中，杆在图所示平面机构中，杆ACAC铅直运动，杆铅直运动，杆BDBD水平运动，水平运动，A A为铰链，滑块为铰链，滑块B B可

8、沿槽杆可沿槽杆AEAE中的直槽中的直槽滑动。图示瞬时滑动。图示瞬时60,30 ,10 3,10 3,50,10AABBABvava22mmmm/smm/smm/smm/s。解：解：1、考虑、考虑B点的运动合成点的运动合成 取动点取动点：滑块：滑块B 动系动系：固结于杆：固结于杆AE ( )( )aeraerCvvvaaaaab 绝对运动绝对运动：直线运动：直线运动 （沿（沿BD）相对运动相对运动：直线运动：直线运动 （沿（沿AE）牵连运动牵连运动：平面运动：平面运动 ( )( )eBAB AneBAB AB AvvvvcaaaaadaAB Arvvvv2、分析杆、分析杆AE的平面运动特征的平面

9、运动特征 取取基点：基点：A，动点动点：滑块：滑块B在杆在杆AE上的重合点上的重合点BnBAB AB ArCaaaaaaB AanB AaABABvvv60cos30cosrABvvv60sin30sinB Av沿沿方方向向投投影影10rvmm sAEABaAB Arvvvv列表列表大小大小方向方向vB已知已知vA已知已知rv沿沿 方方向向投投影影32B AAEvABrad ssrad23smm10ABvvABAErnBABABArCaaaaaa2AErvAEAB列表列表大小大小方向方向aB已知已知aA已知已知2AEAB已知已知 已知已知CABoAoBaaaa30sin30cosB Aa沿方向

10、投影rnABABaaaa30cos30sinra沿方向投影22srad63smm65ABaaABAErA 试求试求:图示瞬时图示瞬时(OAB=60 )B点的点的速度和加速度。速度和加速度。 平面机构中，曲柄平面机构中，曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕绕O轴轴转动，曲柄长转动，曲柄长OA=r，摆杆，摆杆AB可在套筒可在套筒C中滑中滑动，摆杆长动，摆杆长AB=4r，套筒套筒C绕定轴绕定轴C转动。转动。由已知条件，由已知条件，OA杆和套筒杆和套筒C均作定轴转动；均作定轴转动；AB杆作平面运动。现已知杆作平面运动。现已知AB杆上杆上A点的速度和加速度，点的速度和加速度，欲求欲求B点的速度和加速度，点的

11、速度和加速度，需先求需先求AB杆的角速度和角杆的角速度和角加速度加速度。因为。因为AB杆在套筒中滑动，所以杆在套筒中滑动，所以AB杆的角速度杆的角速度和角加速度与套筒和角加速度与套筒C的角速度和角加速度相同。的角速度和角加速度相同。 以以A为动点，动系固结于套筒为动点，动系固结于套筒C，则其绝对运动为则其绝对运动为以以O点为圆心，点为圆心，OA为半径的圆周运动；相对运动为沿为半径的圆周运动；相对运动为沿套筒套筒C轴线轴线AB的直线运动；牵连运动为绕的直线运动；牵连运动为绕C轴的定轴转轴的定轴转动。动。 vAa= vAe + vAr aAvr各矢量方向如图所示各矢量方向如图所示32Arvre12

12、Avre4AABvACtnaeerCa =a +a +a +a2ara n22e8ABraAC2Cr324ABavr各矢量方向如图所示，且各矢量方向如图所示，且将矢量方程中各项向将矢量方程中各项向aC方向投影，得方向投影，得 到到otaeCcos30aaat2e34art2e38ABaAC 继续使用基点法继续使用基点法可求得可求得B B点的速点的速度和加速度。度和加速度。 本例中确定速度时，也可取套筒本例中确定速度时，也可取套筒C为动点，为动点，AB杆杆为动系载体，其绝对运动为静止，相对运动为沿为动系载体，其绝对运动为静止，相对运动为沿AB直直线，牵连运动为平面运动。此时可根据绝对速度为零，线

13、，牵连运动为平面运动。此时可根据绝对速度为零，得相对速度和牵连速度等值、反向，从而由得相对速度和牵连速度等值、反向，从而由AB杆上与杆上与动点动点C重合点重合点C1（图中未示出）的速度方向和（图中未示出）的速度方向和A点的速点的速度方向及大小确定度方向及大小确定AB杆的速度瞬心和角速度；不过要杆的速度瞬心和角速度；不过要确定其角加速度就不如上述方法简便。确定其角加速度就不如上述方法简便。 曲柄连杆机构带动摇曲柄连杆机构带动摇杆杆O1C绕绕O1轴摆动。在连轴摆动。在连杆杆AB上装有两个滑块，上装有两个滑块，滑块滑块B在水平槽内滑动，在水平槽内滑动，而滑块而滑块D则在摇杆则在摇杆O1C的的槽内滑动

14、。已知：曲柄槽内滑动。已知：曲柄长长OA=50 mm，绕，绕O轴转轴转动的匀角速度动的匀角速度=10 rad/s。在图示位置时，曲柄与在图示位置时，曲柄与水平线间成水平线间成90角，；摇角，；摇杆杆O1C与水平线间成与水平线间成60角，角，OAB=60。距离距离O1D=70mm。求：求：摇杆的角速度摇杆的角速度和角加速度。和角加速度。 AD杆作瞬时平移，所以有杆作瞬时平移，所以有 ,0ABDADvvvOA选选动点动点：AD杆上的杆上的D点；点；动系动系：固于摇杆：固于摇杆O1D；绝对运动绝对运动：平面曲线；：平面曲线；相对运动相对运动：沿：沿O1D槽作槽作直线运动；直线运动；牵连运动牵连运动：

15、绕：绕O1轴定轴定轴转动。轴转动。各速度方向如图所示各速度方向如图所示va= ve + vr aAvvoraocos60cos600 5m/svvOA .ooeasin60sin600 433m/s.vvOAe116.19rad/svO D其中，其中，为求为求1，需要分析，需要分析D点的加速度，点的加速度，为此先求出为此先求出AD杆的角加速度杆的角加速度 基点法：基点法：以以A为为基点，基点，B为动点为动点tnaaaaBABABA各矢量的方向如图所示各矢量的方向如图所示2 OAaA0nBAa 将矢量方程中的各项向矢量将矢量方程中的各项向矢量aA的作用线方向投的作用线方向投影，解得影，解得AD杆

16、的角加速度杆的角加速度t23BAAaat23BAADaAB其中：其中：选选D为动点，动系为动点，动系固结于固结于O1D杆：杆：tnaeerCaaaaaaD上式中上式中ate、 ar的大的大小未知；小未知； aa的大小的大小及方向均未知，故及方向均未知，故有四个未知量，所有四个未知量，所以需要寻找补充方以需要寻找补充方程。程。 再以再以A为基点，分析为基点，分析D点加速度，有点加速度，有 tnaaaaDADADAt23BAAaat23BAADaABtnneerCaaaaaaaADADAate、 ar的大小未知的大小未知2 OAaAtDAADaAD211neDOar1C2va0nDAa其中：其中：

17、各矢量的方向如图所示各矢量的方向如图所示将矢量式中的各项向将矢量式中的各项向矢量矢量ate 上投影，上投影，tteCcos60cos30ADAaaaa由此解得由此解得tt322eCADAaaaat21178 2rad/se.aO D 本例已知本例已知OA杆的运动，欲求杆的运动，欲求O1D杆的运动，杆的运动，其关键是充分利用作瞬时平移的其关键是充分利用作瞬时平移的“中介中介杆杆”AD的已知条件。欲求的已知条件。欲求D点的速度和加速度，点的速度和加速度，又要充分利用又要充分利用B点的约束条件。点的约束条件。机械臂的运动分解机械臂的运动分解ABAB杆的转动杆的转动 + + BC BC杆的转动杆的转动

18、A A、B B轴为两轴为两个平行转轴个平行转轴刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成AOAOB已知：均质杆已知：均质杆OAOA长为长为l, , 绕绕O O轴转动的角速度轴转动的角速度 1 1, ,角加速角加速度度 1 1, ,圆盘半径为圆盘半径为r, , 相对杆的角速度为相对杆的角速度为 2 2 , ,角加速度角加速度 2 2 。求圆盘的绝对角速度和绝对角加速度。求圆盘的绝对角速度和绝对角加速度。解法一：解法一：21A11求导动点：B，动系：固于杆OA(转动)21Area即B1222再求导21Area求导法求导法AOB解法二：解法二：ev点的运动合成法点的运动合成法 + + 基点法基点法

19、Arlrrl1211122rvAvBAv求轮求轮A A的绝对角速度的绝对角速度动点：动点：B B，动系：固于杆，动系：固于杆OA(OA(转动转动) )reBvvv动点：动点：B B，基点：，基点：A ABAABvvvBAArevvvv21Area即向向 方向投影方向投影ev角速度合成定理角速度合成定理AOBBeaArlrrl1211122rvAa求轮求轮A A的绝对角的绝对角加加速度速度动点：动点：B B，动系：固于杆，动系：固于杆OA(OA(转转动动) )CreBaaaa动点：动点：B B，基点：，基点：A ABAnBAABaaaa21Area即即向向 方向投影方向投影rvBAnBAAnAa

20、aaaCBrnBrBenBeaaaaaBranBeanBraCanAaBAanBAa角加速度合成定理角加速度合成定理AO112221AAO112221A12A12A例例7平面四连杆机构平面四连杆机构,已知曲已知曲柄柄O1A以匀角速度以匀角速度1=3rad/s绕绕O1轴转动轴转动,O1A=10cm，AB=25cm，O2 B=17cm 。1.试求机构在图示位形状态的试求机构在图示位形状态的AB ，O2B及及 AB， O2B；2.若四连杆机构中的支承轴若四连杆机构中的支承轴O2不是固定点，而是按不是固定点，而是按xO2=10sin2t(cm)的规律运动的规律运动，试求机构在图示位形状态的试求机构在图示位形状态的AB ， O2B及及 AB， O2B 。解解：1.四连杆机构具有一个自由度，四连杆机构具有一个自由度，重点分析连接点重点分析连接点A和和B的运动的运动(cm/s)3011iiAOvA)(cm/s902211jjAOaA以以A为基点时为基点时ABrvvvvABABAABABABABABAABrraaaa2ABcm/s 1630jivBcm/s 16jvBArad/sABvBAAB2516rad/s2173422BOvBBOnBBBaaa2cm/s66.24)sin(cos1nBAnBBaaa2cm/s395.18cossinnBBABAaaaa2rad/s7358. 025395