§6-3厄米算符的对易关系

1、易关系 一算符的一般运算规那么和对易式1 、算符之和与积1 )单位算符I对于任意的波函数，有I(6. 42)2 )算符A和 E?相等如果对于任意的波函数A B ,那么有A R.(6. 43)3 )算符A与 E?之和A B对于任意的波函数，有(A B) A B .(6. 44)显然：? B? B? ?,(满足交换律)A (B C) (A B C?,(满足结合律)可证：两个线性算符之和仍为线性算符.两个厄米算符之和仍为厄米4 )算符A与E?之积AB对于任意的波函数，有(AB) A(B ).(6. 45)问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符研究两个算符作用是否与次序有关2、对易式及其满足的恒等式算符

2、之积一般并不满足交换律，即AB BA 0.对易式的定义A,内 AB BA.(6. 46)假设A, B 0，那么称算符A与B?对易；假设氏B0,那么称算符A与不对易。两个厄米算符之积一般并不是厄米算 符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，假设A A，B I?，那么有(BB) B A SB,(6. 47)只有当?, B 0或时，才有(AB)AR,这时两个厄米算符A与B的积AE?才是厄米算符对易式满足以下恒等式:A,B C A, B A,C,A, BC A, BC BA,(S,AB,C ?,CB AR,C1.3、逆算符A1假设由A能够唯一地解出，贝U有?1 .假设算符A的逆算符A 1存在，那么有

3、AA1 ?1A I.可以证明，假设A与I?的逆算符均存在，贝U(A?B?) 1 B? 1A? 1.(6. 49)学的基量子力本对易式1、动量算符的各个分量之间可对易p?x, p?y 0,p?y, p?z 0,p?z, p?x 0.由坐标表象中的动量算符为p? i 立即可证 .2、 量子力学的根本对易式 位置算符和动量算符各分量之间的对易式， 重要 ！x , p i ,其中 , x, y, z 或 1, 2, 3 ，这里用了 克罗内克符号1,0 . .可见，动量算符的各个分量只与位置算符的不同分量对易x, p?y0,Jx, p?z0,y, p?x0,y, p?z0,z, p?x0,z, p?y0

4、;J动量算符的相同分量之间是不可对易的x, ?x y, ?y z, ?z i .凡与经典力学量相对应的力学量之间 的对易关系，均可由此导出。显然，克普朗 常量/在力学量的对易关系中起着关键性 的作用。证明：考虑坐标算符x和动量算符的x分量?x.对于任一波函数，有x?xi xx?xXi ：(x ) ii xx将以上两式相减，得(X?x?xX)i.由于是体系的任意波函数，所以有X?x ?xX i .其它等式与此类似证明。(典型证法，要掌握)角动量算符各分量之间的对易式1、角动量算符各分量之间【l?x，攻0,L?y, l?y0,l?z，l?z0,l?x,l?yi l?z,ly,l?zi l?x，l?

5、z,l? A)2 d .(6. 57)假设令A(6. 58)对于任意两个力学量A和B,普遍的不确定关系为(省略证明)1 A B -A, B.2(6. 59)可见：如果A Bl 0,那么一般来说 A和B不可能同时为零，即A与B不可能同时具有确定值，或者说，它们不可能具有共同本征态。如果ABl=0，那么可以找到使A=0和 B=0同时得到满足的态，即可以找到这两个算符的共同本征态。可以证明，一组算符具有共同本征 函数的充要条件是，这组算符中的 任意两个算符都可以对易。例、动量算符？的三个分量?x，py, ?z中的 任意两个算符都可以对易，它们的共 同本征函数是p(r)Px(x) Py(y) Pz(z

6、)1i(x Px yPy ZPz)/(2严e(2iP r/)3/2相应的本征值是P Px，Py，Pz 。二 角动量(L2, ?z)的共同本征函数球谐函数1、角动量z分量?的本征值方程以及正交 归一化的本征函数L?z m() mm(),(6. 60)1m( )2 em , (m 0,1,2,)(6. 61)其相应的本征值为Lzm . (m 0, 1, 2,)2、l?,l?z的共同本征函数考察L的本征值方程|?丫，.1*:2丫(,),(6. 62) j f .*41?的本征值，疋待定的无量纲参量?的本征函数从?和L?z的表达式sin2 J2I?(sinsinL?zi可以看出，本征值方程6. 62可

7、以用别离变量法来求解。取其本征函数为Y( , )( ) m().(6. 63)将它代入本征值方程(6. 62)，利用Lz的本征值方程，可得关于函数()的方程为sin ddm2sin20.为了保证上述方程解的有限性，待定参量 满足1(1 1), (1 0,1,2,)通过计算，可以得到(L2,的正交归一化共同本征函数为x/m,、/八m f21 1 (I m)! m、imYl(,) (1) P (cos)e(6. 65)其中的pm(cos )为关联勒让德函数,Y|m(,)为球谐函数(见表6 - 1)表6 - 1球谐函数Y|m(,)l ml、Y| (,)r Y0 01/441/VT1 03/4 cos

8、J3/4 z1 1a/3/8 sin e iJ3/82 02 1&5/16 (3cos21)J5/162 2J15/8 cos sin e i ,5/32 sin2 e 2iJ15/8v15/32总之，i?,Lz的共同本征函数是球谐函数L2 Y|m(，|(|1) 2Y|m(,),(6.6LzY|m(，m Y|m(,),(6. 620 d 0sind Y|m( , )*Y|m(,)| mm,(l 0,1,2,； m |,|1, , | 1, |)(6.6Y|m,它们满足以下两个本征值方程以及正交归一化条件：其中L2和Lz的本征值都是量子化的，I称为 轨道量子数或角量子数，而m称为磁量子数。对于给

9、定的轨道量子数I，L2的本征函数 是不确定的，由于m =I, I 1, , I，因此共有 (2I 1) 个简并态，这些简并态由Lz的本征值 m 来区分三 力学量完全集和本征函数的完全 性1、解除简并一个力学量 A?1 的一个本征值对应于假设 干个本征函数，因此只利用 Ai的本征值缺乏 以完全确定波函数；找力学量A?2 与A独立而又与A对易,得A和A的共同本征函数，仍然是简并的找力学量A 与几和A独立又对易得A, A和A的共同本征函数2、 力学量完全集假定A( A, A2,)是一组彼此独立而又 相互对易的厄米算符，它们的共同本征函数 记为 ，其中是一组量子数的笼统记号(如Y|m(,)。如果在给定

10、一组量子数之后，就能够完全确定体系的一个可能状态， 那么称这一组力学量(Al,A2,)构成了体系的 一组力学量完全集。例、一维谐振子哈密顿算符H?的本征 函数全部是非简并的，因H本身就是力学 量完全集，自由度为1.共同本征函数的正交归一性表示力学量的算符必定是厄米算符,而厄米算符的属于不同本征值的本征函数是彼此正交的。因此，力学量完全集的共同本征函数具有正交性，对于已经归一化的，有(,),(6. 69)态叠加原理如果一个体系刚好处于它的力学量完全集的共同本征态 ，那么力学量A 的取值就是相应的本征值A .如果体 系所处的状态不是力学量A的共同 本征态，而是假设干个共同本征态的线 性叠加，即c1

11、 1 2 2cnn，(6. 70)那么按照态叠加原理可以认为，处于 态下的体系是局部地处于i态，局部 地处于2态局部地处于n态。由 于力学量的取值只能是其本征值，所 以只要式6. 70中存在某个项，那么相应的本征值A就是A的一种可能 取值，即力学量A的取值既可以是A, 也可以是A2, A3, , An .希尔伯特空间与波函数统计诠释 包含哈密顿量在内的力学量完全 集的共同本征态，构成了量子体系的态 空间的一组完全的基矢，即体系的任何态均可用它们来展开。于是，力学量完 全集的共同本征函数 所张开的空间， 就构成了体系的一个完全的态空间，称 为希尔伯特空间。如此，体系的任何一个状态均可用希尔伯特空

12、间中的矢量来描写，即 用力学量完全集的共同本征函数(设量子数是离散的)来展开，即c ,(6. 71)那么共同本征函数系必须是一组完全的函数系。利用的正交归一性，可以得到式(6. 71)中的展开系数为c(,)* d .(6. 72)如果是归一化的波函数，那么有c 2 1.(6. 73)如果是连续变化的，那么可将以上各式中求和化为积分d .按照态叠加原理，展开式(6. 71) 表示该体系可以局部地处在展开式中 所包含的共同本征函数系的任何一个态中。展开系数c的模方表示态部分地处于 态的概率，或者说，表示在态下测量力学量A得到A值的概率四狄拉克符号狄拉克符号特点：运算简捷，无需采用 具体表象。微观体

13、系的状态： 用希尔伯特空间中 的一个矢量| )来表示，称为 右矢(ket) ?. dtt ii(6. 77)因为H?是厄米算符(H H),有d (H? )*Ad *H?,代入式(6. 77)可得dAdtdA冲 1 d*(AV H?A),dt丄丽.i(6. 78)如果力学量A不显含时间t ( ? 0 ), 有竽0.(6. 79)如果力学量A满足+ 0和A, H? 0,有dAdt(6.0)即力学量A的平均值不随时间改变。二守恒量if -A 0 和A, HF o, or 观 o tdt那么力学量A称为体系的一个守恒量。例、哈密顿量不显含时间假设体系的哈密顿量H不显含时间t，二H是体系的守恒量，体系的

14、能量是守恒的。例、自由粒子T H? ?2/2m,?, H?0,I?,吊 0二 动量和角动量都是守恒量。例、在中心力场中运动的粒子T H? p?2/2m V(r), I?, H?0,p?, H? 0.二角动量是守恒量，而动量却不是 守恒量的意义：无论在什么状态下，量子体系的守恒量的平均值和概率分布都不随时间 改变。 好量子数：如果 初始时刻体系处在守恒量 A 的 本征态 ，那么随着时间的推移，体系将 保持在该本征态， 守恒量 A 总是具有 确定值 。在这种情况下，守恒量 A 的 量子数称为 好量子数 。 如果初始时刻体系并不处在守恒量 A 的本征态，那么以后的状态也不会是 A 的本征态。在这种情

15、况下， 尽管守恒量 A并不具有确定值，但守恒量A的观测值的概率分布却不再随时间而改变。量子体系的 守恒量 与定态守恒量 是体系的一种 特殊的力学 量，它与体系的哈密顿量对易；守恒量 在一切状态 不管是否是定态 下的平 均值和概率分布都不随时间改变。定态 是体系的一种 特殊的状态 ，即 能量本征态；在定态下， 一切不显含时 间 t 的力学量 不管其是否是守恒量 的 平均值和测值概率分布都不随时间改 变，这正是称之为定态的原因。守恒量与对称性经典力学中守恒定律与对称性的密切关系。体系具有空间平移不变性或空间均甸A性 体系的动量守恒；空间转动不变性或空间各向同性 体系的角动量守恒；时间平移不变性或时

16、间均匀性体系的能量守恒。在量子力学中，对于一个体系的对称性 的仔细分析，可以有助于了解体系的总体性 质，开掘出隐藏的守恒量，得出一些非常重 要的结论，而防止严格地求解薛定潯方程 21 - 6 量子力学的根本框、量子理论根底1、热辐射一普朗克量子假说：物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子方式进行，每个能量子的能量 为 h。2、 光电效应爱因斯坦光子假说光和粒子相互作用时表现出粒子性，每一个光量子的能量E与辐射频率的关系 E h 。3、康普顿效应光量子具有动量，p E/c -在定量 上是正确的；在微观的单个碰撞事件 中，动量和能量守恒定律仍成立。4、 玻尔理论原子具有离散能量的定态，两个定态 之间的

17、量子跃迁的概念以及频率条 件：h En Em 5、德布罗意的波粒二象性假设 德布罗意波-物质波de Broglie relati onEP二、量子力学的根本框架1、量子系统的状态用波函数描述。波函数的概率诠释(r)2 x y z :在r点处的体积元d x y z中找到粒子的概率。态叠加原理女口 1,2, , n,等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态c11225 ncn n也是这个体系的一个可n能状态，2、描写物理系统的一个力学量，对应于一个线性厄米算符。p ? i，本征值p本征函p (x)L? r ? i r(l?,l?z)的共同本征函数是球谐函数 Y|m(,):L2Y|m( , )|(|1) 2Y|m(,)LzY|m( , ) m Y|m(,)对易式A, B AR B?根本对易式x , p i厄米算符的本征值为实数，对应不同本 征值的本征矢相互正交。3、任一状态的波函数，都可以用力 学量算符的本征函数系，或一组力学 量完全集的共同本征函数系来展开。当系统处在由波函数所描述的状态时，每次测量一个力学量所得到的 结果，只可能是与该力学量相对应的算 符的所有本征值中的一个。对与算符A相应的力学量进行足够 屡次的测量，所得的平均值A是 与A的内积，A ，同 与其自身的内积,的商，即A,或者说，对与算符A