概率论与数理统计教程朱庆峰第7章假设检验7.1

1、 第第 七七 章章 假 设 检 验四、检验的显著性水平与两类错误四、检验的显著性水平与两类错误二、假设检验的基本思想和原理二、假设检验的基本思想和原理三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、一、假设检验假设检验的基本概念的基本概念7.1 假设检验的基本思想和概念1、问题的提法、问题的提法一、一、假设检验假设检验的基本概念的基本概念 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设. 假设检验就是根据样本对所提出的假设作出假设

2、检验就是根据样本对所提出的假设作出判断判断: 是接受是接受, 还是拒绝还是拒绝.例如例如 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; 又如，对于正态总体提出数学期望等于 的假设0 假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.（1）统计假设）统计假设（2）原假设（零假设）原假设（零假设）（3）备择假设（对立假设）备择假设（对立假设）0h1h注：在处理问题时，应把着重考察且不轻易被否定的问题注：在处理问题时，应把着重考察且不轻易被否定的问题作为作为0h2 2、基本概念、基本概念统计假设检验统计假设检验参数参数非参数非参数单参数单参数多参数多参数如何利用

3、样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验?假设检验问题是统计推断的另一类重要问题假设检验问题是统计推断的另一类重要问题.二、假设检验的基本思想和原理二、假设检验的基本思想和原理-带有概率性质的反证法思想和小概率原理带有概率性质的反证法思想和小概率原理小概率原理小概率原理: 一个小概率事件在一次试验中几乎是一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的不可能发生的. .若小概率事件在一次试验中发生了，若小概率事件在一次试验中发生了，就被认为不合理，从而予以否定。就被认为不合理，从而予以否定。下面结合下面结合例题例题来说明假设检验的基本思想来说明假设检验的基本思想.实例实

4、例 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的包得的袋装糖重是一个随机变量袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布. .当当机器正常时机器正常时, 其均值为其均值为0.50.5公斤公斤, 标准差为标准差为0.0150.015公斤公斤. .某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常, 随机随机地抽取它所包装的糖地抽取它所包装的糖9 9袋袋, 称得净重为称得净重为( (公斤公斤):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.

5、515 0.512.0.520 0.515 0.512.由长期实践可知由长期实践可知, 标准差不变标准差不变, 问机器是否正常问机器是否正常? ? ,用和分别表示这一天袋装糖重总体 的均值和标准差分析分析:标准差不变标准差不变, 即即 0.015,2 ( , 0.015 ),n则 .未知未知其中其中 问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断 . 0.5 0.5 还是还是提出两个对立假设提出两个对立假设. : 5 . 0:0100 hh和和再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设h0(拒绝假拒绝假设设h1), 还是拒绝假设还是拒绝假设h0(接受假设接受假设h1). 如果作

6、出的判断是接受如果作出的判断是接受h0, 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的, 否则否则, 认为是不正常的认为是不正常的., 0 则则由于要检验的假设涉及总体均值由于要检验的假设涉及总体均值, 故可借助于样本故可借助于样本均值来判断均值来判断. , 因为是的无偏估计量 , | , 00不应太大不应太大则则为真为真所以若所以若 xh00,(0,1),/hnn当为真时 , /|00的大小的大小的大小可归结为衡量的大小可归结为衡量衡量衡量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k,00 , /xxkhn当观察值满足时 拒绝假设00(0,1),/hunn因为当为真时由标准

7、正态分布分位数的定义得由标准正态分布分位数的定义得1/2,ku0001/2, , /hun因而当为真 即时是一个小概率事件.0/pkn 00,/xxkhn反之当 满足接受假设. 01/2001/20,/, ./xuhnxuhn即当时 拒绝；当时接受0000, , /hkhn因为当为真 即时 小概率事件没有发生,应当接受的正确性。 0.05, 在实例中若取定在实例中若取定1/20.975 1.96,kuu则 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由样本算得由样本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒绝假设于是拒绝假设h0, 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.假

8、设检验过程如下假设检验过程如下: 小概率小概率 假设检验的显著性水平假设检验的显著性水平小概率事件小概率事件-由样本描述的概率不超过由样本描述的概率不超过的事件的事件拒绝域拒绝域0h-拒拒绝绝的的取取值值区区域域. .接受域接受域0h-接接受受的的取取值值区区域域. .00.5|u |1.96(, 1.96)(1.96,)0.0159xc 00.5|u |1.96( 1.96,1.96)0.0159xc 0.05, 0.01, , 一般取一般取总是取得很小总是取得很小由于通常由于通常三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤 ; h h ,1假设及备择提出原假设根据实际问题的要求01. ;

9、w, .1确确定定拒拒绝绝域域给给定定显显著著性性水水平平3.h ,.0的判断的判断或者接受或者接受作出拒绝作出拒绝中中拒绝域拒绝域根据统计量值是否落入根据统计量值是否落入15w ; 计量的值根据样本观察值计算统. 4;,.确定它的概率分布成立的条件下在选择适当的检验统计量02h四、检验的显著性水平与两类错误四、检验的显著性水平与两类错误1、第一类错误、第一类错误-弃真错误弃真错误00(|phh拒拒绝绝真真) )注：可用显著性水平的大小来控制犯第一类错误的概率的大小。注：可用显著性水平的大小来控制犯第一类错误的概率的大小。那么，是否显著性水平越小，假设检验的准确性就越那么，是否显著性水平越小，

10、假设检验的准确性就越高呢？高呢？ 事实上不然，因为，一般来说，当样本容量事实上不然，因为，一般来说，当样本容量给定时，在降低显著性水平的同时，往往会增大犯第给定时，在降低显著性水平的同时，往往会增大犯第二类错误的可能性。二类错误的可能性。 3 3、关系、关系n当样本容量 固定时， 与 不能同时都控制得很小。当样本容量 固定时， 与 不能同时都控制得很小。 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加样本容量除非增加样本容量.2、第二类错误、第二类错误-纳伪错误纳伪错误00(|phh 接受不真)接受不真)真实情况真实情况(未知未知)所所 作作 决决 策策接受接受h0拒绝拒

11、绝h0h0为真为真正确正确犯第犯第一一类错误类错误h0不真不真犯第犯第二二类错类错误误正确正确假设检验的两类错误假设检验的两类错误五、关于检验的p值假设检验的结论通常是简单的假设检验的结论通常是简单的: : 在给定的显在给定的显著水平下，不是拒绝原假设就是保留原假设。著水平下，不是拒绝原假设就是保留原假设。然而有时也会出现这样的情况：在一个较大然而有时也会出现这样的情况：在一个较大的显著水平（的显著水平（下得到拒绝原假设的下得到拒绝原假设的结论，而在一个较小的显著水平（结论，而在一个较小的显著水平（）下却会得到相反的结论。下却会得到相反的结论。这种情况在理论上很容易解释：这种情况在理论上很容易

12、解释：因为显著水平变小后会导致检验的拒绝域变因为显著水平变小后会导致检验的拒绝域变小，于是原来落在拒绝域中的观测值就可能小，于是原来落在拒绝域中的观测值就可能落入接受域。落入接受域。但这种情况在应用中会带来一些麻烦：假如但这种情况在应用中会带来一些麻烦：假如这时一个人主张选择显著水平这时一个人主张选择显著水平，而，而另一个人主张选另一个人主张选，则第一个人的结，则第一个人的结论是拒绝论是拒绝h h0 0，而后一个人的结论是接受，而后一个人的结论是接受h h0 0，我们该如何处理这一问题呢？我们该如何处理这一问题呢？定义定义 在一个假设检验问题中，利用观测在一个假设检验问题中，利用观测 值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平值能够做出拒绝原假设的最小显著性水平称为称为检验的检验的p 值值. 引进检验的引进检验的p p 值的概念有明显的好处值的概念有明显的好处: : 第一，它比较客观