北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试文科数学试题及答案

1、北京市东城区普通高中示范校2015届上学期高三年级综合能力测试数学试卷（文科）本试卷分第i卷和第ii卷两部分，共150分。考试时长120分钟。第i卷（选择题 共40分）一、选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ）a. b. c. d. 2. 已知复数，若是纯虚数，则实数的值为（ ）a. b. 1c. 2d. 4 3. “”是“”成立的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件 4. 下图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为，则在判断框中应填入关于的判断条件是（ ）a

2、. b. c. d. 5. 已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是（ ）a. b. c. d. 6. 已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）a. -3b. -2c. -1d. 0 7. 如图，直线与圆及抛物线依次交于a、b、c、d四点，则（ ）a. 13b. 14c. 15d. 16 8. 已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 第ii卷（非选择题 共110分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 不等式组表示的平面区域的面积为_。 10. 设平面向量，若，则=_。 11. 在等差数列中，则_。 12

3、. 直线被圆截得的弦长为_。 13. 已知，且，则的值为_。 14. 已知数集具有性质p：对任意，其中，均有属于a，若，则_。三、解答题。（本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15. （本小题共13分）设数列的前项和为，且。（i）求数列的通项公式；（ii）若数列满足，求数列的通项公式。 16. （本小题共13分）在abc中，分别是角的对边，满足，且。（i）求c的大小；（ii）求的最大值，并求取得最大值时角a，b的值。 17. （本小题共14分）如图，将矩形abcd沿对角线bd把abd折起，使a点移到点，且在平面bcd上的射影o恰好在cd上。（i）求证：bc；（i

4、i）求证：平面平面；（iii）若ab=10，bc=6，求三棱锥的体积。 18. （本小题共13分）设，已知函数。（i）当时，求函数的单调区间；（ii）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围。 19. （本小题共13分）已知椭圆的左焦点为，过点m（-3，0）作一条斜率大于0的直线与w交于不同的两点a、b，延长bf交w于点c。（i）求椭圆w的离心率；（ii）求证：点a与点c关于轴对称。 20. （本小题共14分）已知定义在上的函数（i）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（ii）若，且对任意的1恒成立，求的最大值。参考答案：一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. a2.

5、d3. a4. b5. d6. c7. b8. a二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9. 110. 511. 12. 13. 14. 30三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15. （共13分）解：（i）因为，则，所以当时，整理得，由，令，得，解得。所以是首项为1，公比为2的等比数列，可得（6分）（ii）因为，由，得，由累加得，当时也满足，所以。（13分） 16. （共13分）解：（i）由，得，又，所以由正弦定理得。因为，所以，从而，即。（6分）（ii）由余弦定理，得，又，所以，于是。当时，取得最大值（13分） 17. （共14分）解：（i）因为在平面上的射影o在cd上，

6、所以平面bcd。又bc平面bcd，所以bc。又bcco，co，平面，平面，所以bc平面。又平面，所以。（5分）（ii）因为矩形abcd，所以。由（i）知bc。又平面，所以。又，所以平面。（10分）（iii）因为，所以。因为cd=10，所以。所以。（14分） 18. （共13分）解：（i）当时，则，由，得，或，由，得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为（0，2）。（6分）（ii）依题意，对，这等价于，不等式对恒成立。令，则，所以在区间上是减函数，所以的最小值为。所以，即实数的取值范围为。（13分） 19. （共13分）解：（i）由题意，解得。所以椭圆。离心率。（5分）（ii）设直线的方程为。联立得。由直线与椭圆w交于a、b两点，可知，解得。设点a，b的坐标分别为（），则，。因为f（-2，0），设点a关于轴的对称点为c，则c（），所以，。又因为，所以b，f，c共线，从而c与c重合，故点a与点c关于轴对称。（13分） 20. （共14分）解：（i）由，可得，故在上单调递增，而，所以存在唯一的零点。（7分）