31假设检验初述,两类错误

1、第一节第一节 假设检验假设检验二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理四、典型例题四、典型例题五、小结五、小结一、假设检验的基本原理一、假设检验的基本原理 在本节中，我们将讨论不同于参数估在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题计的另一类重要的统计推断问题. . 这就是这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确是否正确. .这类问题称作假设检验问题这类问题称作假设检验问题 . 在总体的分布函数完全未知或只知其形式、在总体的分布函数完全未知或

2、只知其形式、但不知其参数的情况下但不知其参数的情况下, 为了推断总体的某些性为了推断总体的某些性质质, 提出某些关于总体的假设提出某些关于总体的假设.例如, 提出总体服从泊松分布的假设提出总体服从泊松分布的假设; ; 提出总体服从正态分布的假设提出总体服从正态分布的假设; ; . ,0假假设设等等的的期期望望等等于于对对于于正正态态总总体体提提出出数数学学又又如如 假设检验假设检验参数假设检验参数假设检验非参数假设检验非参数假设检验总体分布已总体分布已知，检验关知，检验关于未知参数于未知参数的某个假设的某个假设总体分布未知时的假设检验问题总体分布未知时的假设检验问题 假设检验就是根据样本对所提

3、出的假设作假设检验就是根据样本对所提出的假设作出判断出判断: 是接受是接受, 还是拒绝还是拒绝.如何利用样本值对一个具体的假设进行检验如何利用样本值对一个具体的假设进行检验? 通常借助于直观分析和理通常借助于直观分析和理论分析相结合的做法论分析相结合的做法,其基本原其基本原理就是人们在实际问题中经常理就是人们在实际问题中经常采用的所谓采用的所谓实际推断原理实际推断原理:“一一个小概率事件在一次试验中几个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的乎是不可能发生的”.这一节我们讨论对参数的假设检验这一节我们讨论对参数的假设检验 . . 在假设检验中，我们称这个小概率为在假设检验中，我们称这个小概率为

4、显著性水显著性水平平，用，用 表示表示. 的选择要根据实际情况而定。的选择要根据实际情况而定。 实际推断原理实际推断原理:“一个小概率事件在一次一个小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的试验中几乎是不可能发生的”.常取常取.05. 0,01. 0, 1 . 0 下面结合实例来说明假设检验的基本思想下面结合实例来说明假设检验的基本思想.实例实例 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的包得的袋装糖重是一个随机变量袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布. .当当机器正常时机器正常时, 其均值为其均值为0.50.5千克千克, 标准差为标准差为0.0150.

5、015千克千克. .某日开工后为检验包装机是否正常某日开工后为检验包装机是否正常, 随机随机地抽取它所包装的糖地抽取它所包装的糖9 9袋袋, 称得净重为称得净重为( (千克千克):):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常问机器是否正常? ? ,的的均均值值和和标标准准差差装装糖糖重重总总体体分分别别表表示示这这一一天天袋袋和和用用X 分析分析:由长期实践可知由长期实践可知, 标准差较稳定标准差较稳定

6、, ,015. 0 设设),015. 0,( 2 NX则则 .未未知知其其中中 问题问题: 根据样本值判断根据样本值判断 . 0.5 0.5 还还是是提出两个对立假设提出两个对立假设. : 5 . 0:0100 HH和和再利用已知样本作出判断是接受假设再利用已知样本作出判断是接受假设 H0 ( 拒绝拒绝假设假设 H1 ) , 还是拒绝假设还是拒绝假设 H0 (接受假设接受假设 H1 ). 如果作出的判断是接受如果作出的判断是接受 H0, 即认为机器工作是正常的即认为机器工作是正常的, 否则否则, 认为是不正常的认为是不正常的., 0 则则由于要检验的假设涉及总体均值由于要检验的假设涉及总体均值

7、, 故可借助于样本故可借助于样本均值来判断均值来判断. , 的的无无偏偏估估计计量量是是因因为为 X , | , 00不不应应太太大大则则为为真真所所以以若若 xH),1 , 0(/,00NnXH 为真时为真时当当 , /|00的的大大小小的的大大小小可可归归结结为为衡衡量量衡衡量量nxx 于是可以选定一个适当的正数于是可以选定一个适当的正数k, ,/ 00Hknxx拒拒绝绝假假设设时时满满足足当当观观察察值值 .,/ ,00Hknxx接接受受假假设设时时满满足足当当观观察察值值反反之之 /2,ku ),1 , 0(/00NnXZH 为为真真时时因因为为当当U由标准正态分布分位点的定义得由标准

8、正态分布分位点的定义得2|P Uu 对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ， . ,/ ,/02/002/0HunxHunx接受接受时时拒绝拒绝时时当当 0.05, 在实例中若取定在实例中若取定 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由由样样本本算算得得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒绝假设于是拒绝假设H0, 认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.假设检验过程如下假设检验过程如下:,96. 1 025. 02/ uuk 则则以上所采取的检验法是符合实际推断原理的以上所采取的检验法是符合实际推断原理的. 0.05, 0.01, , 一般取一般取总是取得很小总是取

9、得很小由于通常由于通常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000几乎是不会发生的几乎是不会发生的的观察值的观察值等式等式由一次试验得到满足不由一次试验得到满足不为真为真就可以认为如果就可以认为如果根据实际推断原理根据实际推断原理小概率事件小概率事件是一个是一个时时即即为真为真因而当因而当xunxHunXH . ,/ ,002/0HHxunx因而拒绝因而拒绝正确性正确性的的的假设的假设则我们有理由怀疑原来则我们有理由怀疑原来的观察值的观察值得到了满足不等式得到了满足不等式在一次试验中在一次试验中 . , ,/ 002/0HHunxx因而只能接受因而只能接受没有理由拒绝假设没有理由拒绝假设则

10、则满足不等式满足不等式若出现观察值若出现观察值 如果如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入区域量落入区域 W(拒绝域拒绝域) 是个小概率事件是个小概率事件. 如果该统如果该统计量的实测值落入计量的实测值落入W，也就是说，也就是说， H0 成立下的小概成立下的小概率事件发生了，那么就认为率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它不可信而否定它. 否否则我们就不能否定则我们就不能否定H0 （只好接受它）（只好接受它）.这里所依据的逻辑是：这里所依据的逻辑是： 不否定不否定H0并不是肯定并不是肯定H0一定对，而只是一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达

11、到足以否定说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度的程度 .所以假设检验又叫所以假设检验又叫“显著性检验显著性检验”二、假设检验的相关概念二、假设检验的相关概念1. 显著性水平显著性水平 . / , , ,0来作决定来作决定还是小于还是小于值大于等于值大于等于的观察值的绝对的观察值的绝对然后按照统计量然后按照统计量定定就可以确就可以确数数后后选定选定当样本容量固定时当样本容量固定时kknxUk , ,/000Hxknxu则我们拒绝则我们拒绝的差异是显著的的差异是显著的与与则称则称如果如果 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在显在显有无显著差异的判断是有无显著差异的判断是与与上述关于

12、上述关于 x.称为显著性水平称为显著性水平数数 , , ,/ ,000Hxknxu则我们接受则我们接受不显著的不显著的的差异是的差异是与与则称则称如果如果反之反之 如果显著性水平如果显著性水平 取得很小，则拒绝域取得很小，则拒绝域 也会比较小也会比较小. 其产生的后果是：其产生的后果是： H0难于被拒绝难于被拒绝.如果在如果在 很小的情况下很小的情况下H0仍被拒绝了，则说明实际情仍被拒绝了，则说明实际情况很可能与之有显著差异况很可能与之有显著差异. 01. 0基于这个理由，人们常把基于这个理由，人们常把 时拒绝时拒绝H0称为称为是是显著显著的，而把在的，而把在 时拒绝时拒绝H0称为是称为是高度

13、高度显著显著的的.0 05. 2. 检验统计量检验统计量3. 原假设与备择假设原假设与备择假设假设检验问题通常叙述为假设检验问题通常叙述为: ,下下在在显显著著性性水水平平 . ,01”检检验验针针对对下下或或称称为为“在在显显著著性性水水平平HH . , 10称称为为备备择择假假设设称称为为原原假假设设或或零零假假设设 HH . : , : 0100 HH检检验验假假设设. /0称为检验统计量称为检验统计量统计量统计量nXZ U4. 拒绝域与临界点拒绝域与临界点 当检验统计量取某个区域当检验统计量取某个区域W中的值时中的值时, 我们我们拒绝原假设拒绝原假设H0, 则称区域则称区域W为为拒绝域

14、拒绝域, 拒绝域的拒绝域的边界点称为边界点称为临界限临界限.如在前面实例中如在前面实例中, /2|, uu 拒绝域为拒绝域为. ,2/2/ uuuu 临界限为临界限为5. 两类错误及记号两类错误及记号 假设检验的依据是假设检验的依据是: 小概率事件在一次试验小概率事件在一次试验中很难发生中很难发生, 但很难发生不等于不发生但很难发生不等于不发生, 因而假因而假设检验所作出的结论有可能是错误的设检验所作出的结论有可能是错误的. 这种错误这种错误有两类有两类:(1) 当原假设当原假设H0为真为真, 观察值却落入拒绝域观察值却落入拒绝域, 而而作出了拒绝作出了拒绝H0的判断的判断, 称做称做第一类错

15、误第一类错误, 又叫又叫弃弃真错误真错误, 这类错误是这类错误是“以真为假以真为假”. 犯第一类错犯第一类错误的概率是显著性水平误的概率是显著性水平. (2) 当原假设当原假设 H0 不真不真, 而观察值却落入接受域而观察值却落入接受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判断的判断, 称做称做第二类错误第二类错误, 又叫又叫取伪错误取伪错误, 这类错误是这类错误是“以假为真以假为真”. . 0001HPHHPH接受接受或或不真接受不真接受当当 当样本容量当样本容量 n 一定时一定时, 若减少犯第一类错误若减少犯第一类错误的概率的概率, 则犯第二类错误的概率往往增大则犯第二类错误的概率往往增大

16、.犯第二类错误的概率记为犯第二类错误的概率记为 若要使犯两类错误的概率都减小若要使犯两类错误的概率都减小, 除非增加除非增加样本容量样本容量.6. 显著性检验显著性检验. : , : , , , , : : 01000010100为双边假设检验为双边假设检验的假设检验称的假设检验称形如形如假设假设称为双边备择称为双边备择也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示备择假设备择假设中中和和在在 HHHHH7. 双边备择假设与双边假设检验双边备择假设与双边假设检验 只对只对犯第一类错误的概率加以控制犯第一类错误的概率加以控制, 而不考而不考虑犯第二类错误的概率的检验虑犯第二类错误的概率的检验, 称

17、为称为显著性检验显著性检验.8. 右边检验与左边检验右边检验与左边检验右边检验与左边检验统称为右边检验与左边检验统称为单边检验单边检验. . : , : 0100称称为为左左边边检检验验的的假假设设检检验验形形如如 HH . : , : 0100称称为为右右边边检检验验的的假假设设检检验验形形如如 HH9. 单边检验的拒绝域单边检验的拒绝域 , ,),(212 给给定定显显著著性性水水平平的的样样本本是是来来自自总总体体为为已已知知设设总总体体XXXXNXn证明证明 (1)右边检验右边检验 ,:,: 0100 HH./ ,/00 unxuunxu 左边检验的拒绝域为左边检验的拒绝域为右边检验的

18、拒绝域为右边检验的拒绝域为则则 , / 0nXU 取检验统计量取检验统计量 , 10要要小小中中的的都都比比中中的的全全部部因因 HH , , 1往往偏大往往偏大观察值观察值为真时为真时当当xH , , 为待定正常数为待定正常数因此拒绝域的形式为因此拒绝域的形式为kkx 00HHP为真拒绝为真拒绝由由 kXPH 0 nknXP/000 nknXP/00 上式不等号成立的原因上式不等号成立的原因:, 0 因为因为,/ 0nXnX 所以所以./000 nknXnknX 事事件件 , 00 HHP为为真真拒拒绝绝要要控控制制./00 nknXP只只需需令令故右边检验的拒绝域为故右边检验的拒绝域为),

19、1, 0(/ NnX 因因为为0,kun 0./xuun 即即0,xun ,/ 0 unk 所以所以证明证明 (2)左边检验左边检验 ,:, : 0100 HH 00HHP为为真真拒拒绝绝由由,/00 knxP , ku 得得 , ,/ 0待定待定拒绝域的形式为拒绝域的形式为kknxu ./0 unxu 故左边检验的拒绝域为故左边检验的拒绝域为三、假设检验的一般步骤三、假设检验的一般步骤 ; ,. 110HH假假设设及及备备择择提提出出原原假假设设根根据据实实际际问问题题的的要要求求 ; . 2n以及样本容量以及样本容量给定显著性水平给定显著性水平 3. 确定检验统计量以及拒绝域形式确定检验统

20、计量以及拒绝域形式; ;. 400求求出出拒拒绝绝域域为为真真拒拒绝绝按按 HHP . ,. 50H受受还还是是拒拒绝绝根根据据样样本本观观察察值值确确定定接接取取样样四、典型例题四、典型例题.05. 0 ? s,/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm40),(2 取显著水平取显著水平烧率有显著的提高烧率有显著的提高以往生产的推进器的燃以往生产的推进器的燃推进器的燃烧率是否较推进器的燃烧率是否较问用新方法生产的问用新方法生产的法下总体均方差仍为法下总体均方差仍为设在新方设在新方得燃烧率的样本均值为得燃烧率的样本均值为测测只只随机取随机取进器进器用新方法生产了一批推用

21、新方法生产了一批推现现从正态分布从正态分布推进器的燃烧率服推进器的燃烧率服某工厂生产的固体燃料某工厂生产的固体燃料xnN例例1 , )( : 01烧率烧率即假设新方法提高了燃即假设新方法提高了燃 H这是右边检验问题这是右边检验问题, . 0.05 0H下拒绝下拒绝故在显著性水平故在显著性水平 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高.解解根据题意需要检验假设根据题意需要检验假设 , )( 40: 00燃烧率燃烧率即假设新方法没有提高即假设新方法没有提高 H.645. 1/05. 00 unxu 拒绝域为拒绝域为,645. 13.125/0 nxu 因为因为 ,值落在拒绝域中值落在拒绝域中u 某织物强力指标某织物强力指标X的均值的均值 =21公斤公斤. 改进工艺改进工艺后生产一批织物，今从中取后生产一批织物，今从中取30件，测