(完整版)高数上册练习题

1、上册练习题、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1 设 f ( x) cos x (xsin x),则在xf (0)2(B)f (0) 1 0处有(f (0) 0(D).f (x)不可导.设2.(A)(x) ，(x) 3娠,贝当x 1时( 1 x(刈与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小；(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;无穷小.(D)是比(x)高阶的3.f.F若(x)x(x)0 (2t x)fdt,其中f(x)在区间上(1二阶可导且4.5.6.7.8.(A)(B)(C)0,则(函数F(x)必在 函数F(x)必在 函数F(x)在x0处取得极大值

2、；0处取得极小值；0处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y F(xq拐点;(D)函数F(x)在x 0处没有极值，点。F(0)也不是曲线y F(x)的拐点。设f(x)是连续函数，且f (x)222(A) 2 2(C) x填空题(本大题有4小题，每小题2lim (13x)sinTx 0 /已知cos二是f(x)的一个原函数 xlimn12一(cos2一c-2/x arcsin x2 12、解答题1 dx9.设函数y求10.(本大题有y(x)由方程7xdx.x(1 x )12 0 f(t)dt ,则 f (x)(D) x 2.4分，共16分)2 n 1 、 cos )n5小题,每小题8分，共40分)

3、ex y sin(xy) 1确定，求y(x)以及y.设 f (x)11.12.求 3 f(x)dx.f(x)x19的解.1g(x) f (xt)dt lim设函数f(x)连续，0，且x 0g(x)并讨论g(x)在x 0处的连续性.- y y13 .求微分方程xy 2y x 1nx满足 四、解答题(本大题10分)14 .已知上半平面内一曲线 y y(x) (x 0),过点(01),且曲线上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与 x轴、y轴、直线x x0所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)15 .过坐标原点作曲线y 1nx的切线，该切线与曲线y

4、1nx及x轴围 成平面图形D.(1)求D的面积A; (2)求D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)16 .设函数f(x)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q 0,1,q1f (x) d x q f (x)dx00f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 017 .设函数f (x)在0,上连续，且0,0证明：在,内至少存在两个不同的点1 , 2 ,使f ( ) f( 2) 0.(提xF(x) f(x)dx示：设0)解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有4

5、小题，每小题4分，共16分)1 ,cosx、26() C 5. e . 6. 2 x .7.2.8.3三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)9.解：方程两边求导ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0y (x)10.解:0,y x7xexe0y ycos(xy)yx cos(xy)y(0)r 6 .7x dxdu原式(1u(1(-u )du u 111.解:7(ln |u| 71n |x7 |13 f(x)dx2ln |u1|) cx7| C0xe3xdx120 2x xdx03xd(xxe12.解:2e34由 f(0)0,g(x)1f (xt )dt0知 g(0)

6、0。xf (u)duxt u0(x 0)g (x)xf (x)xf (u)du02x(x0)f(x)2xxf(u)dug(0)lim 2x 0 x. 1 (x 1)2dx0cos d (令x 1 sin ) xf (x) f (u)du02xA5, g(x)在x 0处连续。dy13.解：dx2一y x2dxx (In x2dxe x ln xdxC)1 .-xln x31 - y(1)-,c9Cx 21xlnx 3四、解答题(本大题14.解：由已知且y10分)x2 0 ydx y将此方程关于x求导得2y特征方程: 其通解为y CeC2e解出特征根:2x1,2.代入初始条件y(0)故所求曲线方程

7、为:，(0) 12y e3C12x五、解答题(本大题10分)15.解：(1)根据题意，先设切点为(xo,ln x)由于切线过原点，解出x0A则平面图形面积1(ey0(2)三角形绕直线3, C2y，切线方程：e,从而切线方程为:ey)dy ；e 1x=e一周所得圆锥体体积记为lnx0-(x Xo) 0Vi则曲线y 1nx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积 为V21V2 (e ey )2dy0D绕直线V旋转一周所得旋转体的体积V1 V2-(5e2 12e 3)六、证明题(本大题有qf (x) d x2小题,每小题4分,1qq f (x)dx共12分)qf (x)

8、d x q( f (x) d x1f (x)dx)16.证明：0(1 q) f(x)d x0q f(x)dxq1 0, q 2 q,1f( 1) f ( 2)q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)0故有：q1f (x) d x q f (x)dx00证毕。17.xF(x) f(t)dt ,0 x 上连续， 在 (0, )证： 构造辅助函数：0。 其满足在0,上可导。F (x) f(x),且FF( ) 00 f (x) cos xdx cos xdF (x) F (x)cosx | sin x F (x)dx由题设，有000，F (x)sin xdx 0有 0，由积分中值定理，存在(0, ) ，使