(完整版)高数下册复习资料

1、高等数学（一）教案期末总复习第七章常微分方程1 .基本概念：通解，特解，初始条件2 .可分离变量的微分方程3 .齐次方程（简单类型）4 . 一阶线性方程：公式法（掌握交换自变量与因变量类型）5 .二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程法求通解正确的设出特解）6 .二阶常系数非齐次线性微分方程（非齐次特解与齐次通解关系,第八章向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表小向量uuu有大小、后方向.记作a或ABa axi ayj azk (ax,ay,az) rrraxprjxa,ayprjya,azprjza模向量a的模记作aaJax2ay2az2和差cabax bx,ay b

2、y,az bzcabc ab单位向量o ao aa(ax,ay,az)j a ayaaa22222 ayaz力向余弦设a与x, y,z轴的夹角分别为 , 贝U方向余弦分另为 cos , cos , coscosea ( co2,cos +axayaz十,cos 千,cos -raaa)s , cos , cos )22cos cos 1点乘（数量积）a b角a b|cos , 为向量a与b的夹a b axbxavbvazbzx xy yz z叉乘（向量积） cabc a b sin为向量a与b的夹角 向重c与a , b都垂直a bijkaxayazbxbybz定理与公式垂直a b a b 0a

3、 b axbxavbv azbz0x xy yz z平行a/b a b 0axay aza /bbxbybz交角余弦皿八旦力舄人. 一一a bcosaxbxaybyazbz也If里大川本？区cosabTax2ay2 az2 Tbx2by2bz2向量a在非零向量b上的投影，.、a bprj aaxbxay byazbzprjbaacos(a b)-IblpiJ baJbx2by2bz2平向直线法向量 n A,B,C点 Mo(X0,yo，Zo)方向向量 T m,n, p点 M0(x0, y0,z)方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式Ax By Cz D 0一般式AxB1 y Cz D

4、10A2x B2y C2z D20点法式A(x xJ B(y y) C(z z)0点向式x x y y zz0mnp三点式xxyyz z1x2xy2y1z2z1x3xy3y1z3z10参数式xx0mtyyntzz0pt截距式x y z 1 a b c两点式xxyNozz0xxyy乙z0卸回垂直A1A2B1B2C1C20线线垂直m1m2 n1n2p1P20囿囿平行上旦 C1a2b2c2线线平行m1n1p1m2n2p2线圆垂直ABCm n p线面平行Am Bn Cp 0点面距离Mo(xo, yo,zo)Ax By Cz D 0向向距离Ax By Cz D1 0 Ax By Cz D2 0d|Axo

5、 By。Cz。DdD1D2IJa2b2 c2Ta2 b2 c2向向夹角线线夹角线向夹角n1 A1,BGn24星。S1 m1,n1, p1 S2 m2,n2,p2s m,n,p n A,B,C|AA2BB2 CiC2|cos|m1m2n1n2p1p21|Am Bn CpSin222222A Bl Ci 飞 a B2 C2;222/222m min1p1m m2 n2 p2I1 _ 2_ 27222A A B C y m n px ，y (t)，z (t),(t )切向量T ( (t),(t), (t)切“线”方程： y y0-zz(t)(t)(t)空 间 曲法平“面”方程：(t)(x x)(t)

6、(y y)(t)(z 。)0线:y(x)z(x)切向量切“线”方程：x x0y V。 z z01(x)(x)T (1, (x),(x)法平“面”方程：(x x)(x) (y y)(x)(z 4) 0空 间 曲 面F(x,y,z) 0法向量r ，l，、n ( Fx(x0, y0,z0),Fy(x0, y0,z0),Fz(x0, y0,z。)切平“面”方程：Fx(x0，y0，z)(x x) Fx(x, y0，z)(y y)Fx(x0, y0，z)(z zO)0法”线”方程：x X0y y。z z0Fx(x, y, z)Fy(x, y, z)Fz(x0, y0,z)Z f(x, y)In ( fx(

7、x0,y), fy(X0, y0) , 1 )或r ,，、n (fx(X0,y。)，fy(x0,y。)，1)切平“面”方程：fx(x0,y0)(x X0) fy(x0,y)(y y) (z z0) 0法”线”方程：X X0y yz z0fx(x0,y0)fy(x0,y0)1第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、 多元函数：z f（x,y）,图形：3、4、连续:（x,y）%0）f（X，y）Af(Xo,yQ)-5 -6、全微分：设Z（二） 性质5、偏导数：f(X0X, y0) f(x0, y0)f

8、x(Xc yo) lim x 0xfy(xo，yo)lim f(x0，y0 y) f(x0，y0)y 0yf(x，y),则dz 1dx *y高等数学(一)教案期末总复习2：闭区域上连续函数的性质(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)3、 微分法1) 定义：u2) 复合函数求导：链式法则若 z f(u,v),u u(x,y),v v(x,y),则zzuzvzzuzvxuxvxyu yvy3) 隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三) 应用1) 极值2) 无条件极值：求函数z f (x, y)的极值fx 0解方程组fy求出所有驻点，对于每一个驻点仇小)，令A fxx(x0,y0), B f

9、xy(2,y0),C fyyd*),若AC B2 0 , A 0 ,函数有极小值，若AC B2 0, A 0,函数有极大值；若AC B20 ,函数没有极值；若AC B20 ,不定。2)条件极值：求函数 z f (x, y)在条彳(x, y) 0下的极值令：L(x,y) f (x,y)(x,y)Lagrange 函数Lx 0解方程组Ly 0(x, y) 02、几何应用1)曲线的切线与法平面x x(t)曲线: y y，则 上一点M(x0,y0,z0)(对应参数为tO)处的 z z(t)切线方程为:x Xox(t0)y Vo z Zo y(to) z(to)x-8 -Vo)z (to)(zzo)法平

10、面方程为：x (t0)( xx0) y (t0)( y3) 曲面的切平面与法线曲面 ：F (x, y, z) 0 ,则 上一点M(X0，y0,Z0)处的切平面方程为：Fx(X0，y0，Zo)(x X。) Fy(X0,y0，4)(y y。) Fz(%, 丫。，4)(2 zj 0法线方程为:X X0Fx(x0,y0,Z0)y yz Z0Fy(x0,y0,Z0)Fz(x0,y0,Z0)第十章重积分重积分积分类型计算方法二重积分I f x, y dD(1) 利用直角坐标系b2 (X)X一型f (x, y)dxdydxf (x, y)dyai(x)Dd2 (y)Y一型f (x, y)dxdy c dyf

11、 (x, y)dxD1(2)利用极坐标系使用原则典型例题课上的例题及课后 作业平面薄片的质 量质量=面密度 面积(1)积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧，直线段)；(2)被积函数用极坐标变量表示较简单(含(x2y2), 为实数)f ( cos , sin ) d dD2 ( )(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当D关于y轴对称时，(关于x轴对称时，有类似结论)0f (x, y)对于x是奇函数，应用该性质更方便即( x, y) f(x,y)I 2 f(x,y)dxdy f (x, y)对于 x是偶函数，Di 即( x, y) f(x,y) D1是D的右半部分 计算步骤及注

12、意事项1 .画出积分区域2 .选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数:3 .确定积分次序原则4 .确定积分限方法5 .计算要简便注意关于坐标变量易分离积分区域分块少，累次积分好算为妙 图示法先积一条线，后扫积分域 充分利用对称性，奇偶性二重积分If(x,y,z)dv空间立体物的 质里质量=密度面积-E+ “一一投影法(1)利用直角坐标5不、小 截面法by2(x)Z2(x,y)投影 f(x,y,z)dV dx dyf(x,y,z)dzay1(x)z1(x,y)x r cos(2)利用柱面坐标y r sinz z相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围：积分区域表面用柱面坐标

13、表示时方程简单；如旋转体被积函数 用柱面坐标表示时 变量易分离.如f(x2 y2)f(x2 z2) b弓()f(x,y, z)dV a dz d r( ) f( cos , sin ,z) dx cos r sin cos(3)利用球面坐标y sin r sin sinz r cos2 dv r sin drd d适用范围：积分域 表面用球面坐标表示时 方程简单；如，球体，锥体.222被积函数 用球面坐标表示时 变量易分离.如，f(x y z )222( , )2Id df( sin cos , sin sin , cos ) sin d11式,)(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性高

14、等数学(一)教案期末总复习曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分I Lf(x,y)ds 曲形构件的质量 质量二线密度 弧长参数法(转化为定积分)(1)L:y (x)If( (t), (t)7 2(t)2(t)dt(2) L: x (t) ( t ) I bf(x, y(x)/l y2(x)dx y (t)ax r( )cos(3) r r( ) () L:y r( )sinIf(r( )cos ,r( )sin )Jr2( ) r2( )d(1) 参数法(转化为定积分)L: x(t) (t单调地从到)y (t)LPdx QdyP (t), (t) (t) Q (t), (t)

15、 (t)dt平囿第一类曲线 积分I l Pdx Qdy(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件：L封闭，分段光滑，有向(左手法则围成平面区域D)P, Q具有一阶连续偏导数结论：o Pdx Qdy ( )dxdy Ld x y满足条件直接应用应用：有瑕点，挖洞不是封闭曲线，添加辅 助线变力沿曲线所做 的功(3)利用路径无关定理 (特殊路径法)等价条件：_Q_ 上。Pdx Qdy 0xyLLPdx Qdy与路径无关，与起点、终点有关Pdx Qdy具有原曲数u(x, y) (特殊路径法，偏积分法，凑微分法)(4)两类曲线积分的联系I LPdx Qdy JPcos Qcos )ds空间第二类曲线 积分

16、I LPdx Qdy Rd变力沿曲线所做 的功(1)参数法(转化为定积分)Pdx Qdy Rdz P (t), (t), (t) (t) Q (t), (t), (t) (t)R (t), (t), (t) (t)dtlz(2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分) 然件：L封闭，分段光滑，有向P, Q, R具有一阶连续偏导数:Pdx Qdy Rdz结论：/ R Q、z 川 / pR、z/ Q川()dydz ()dzdx ()dxdyy zz xx y满足条件直接应用应用,不是封闭曲线，添加辅 助线第一类曲面积分I f(x,y,Zdv曲面薄片的质量 质量=面密度 面积投影法:z z(x, y)

17、投影到xoy面22I f (x, y, z)dvf (x,y,z(x,y) 1 zx zydxdyDxy类似的还用投影到 yoz面和zox面的公式第二类曲面积分IPdydz Qdz(流体流向曲面一侧的流量(1)投影法 Pdydz p(x(y,z),y,z)dydz Dyz:z z(x, y), 为 的法向量与x轴的夹角 前侧取“ +”，cos 0 ；后侧取“”，cos 0 Qdzdx p(x, y(x, z),z)dzdxDyz:y y(x, z), 为 的法向量与y轴的夹角 右侧取“ +”，cos 0 ；左侧取“”，cos 0以 Rdxy Qdxdy Q(x, y, z(x, y)dxdyD

18、yz:x x(y, z), 为的法向量与x轴的夹角 上侧取“ +”，cos 0 ；下侧取“，cos 0(2)高斯公式右手法则取定的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧巳Q, R具有一阶连续偏导数PQ R结论：o Pdydz Qdzdz Rdxdy()x y z满足条件直接应用应用：不是封闭曲面，添加辅 助面(3)两类曲面积分之间的联系Pdydz Qdzdx Rdxcy (Pcos Qcos Rcos )dS转换投影法：dydz ( -z)dxdydzdx ( -z)dxdyxy所有类型的积分：定义：四步法一一分割、代替、求和、取极限； 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十二章级数若级数收敛，各项同乘同一常数仍收敛两个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散用