大学数学高数微积分第七章线性变换第六节课件课堂讲义

1、 若用集合的记号则 由a + a = a ( + ) ，k a = a (k)可知，a v 是非空的，由 a =0 与 a = 0 可知 a ( + ) =0， a (k) = 0 .a v 对加法与数量乘法是封闭的，同时，因此 a v 是 v 的子空间.这就是说， a -1(0) 对加法与数量乘法是封闭的.又因为 a (0) = 0，所以 0 a -1(0) ，即 a -1(0) 是非空的.所以 a -1(0) 是 v 的子空间.a v 的维数称为 a 的， a -1(0) 的维数称为a 的. 在线性空间 pxn 中，令d ( f (x) ) = f (x) .则 d 的值域为 pxn-1

2、， d 的核为子空间 p . 设 是 v 的任一向量，可用基表示为 = x11 + x22 + + xnn .于是a = x1 a 1 + x2 a 2 + + xn a n .这个式子说明， a l(a 1 , a 2 , , a n ) ,因此 a v l(a 1 , a 2 , , a n ) .这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像，也即l(a 1 , a 2 , , a n ) a v .a v = l(a 1 , a 2 , , a n ) .于是就有 根据 ， a 的秩等于基像组的秩.另一方面，矩阵 a 是由基像组的坐标按列排列成的.在前一章第八节中曾谈过，若在 n 维线性空间

3、 v 中取定了一组基之后，把 v 的每一个向量与它的坐标对应起来，就得到了 v 到 p n 的同构对应.同构对应保持向量组的一切线性关系，因此基像组与它们的坐标组(即矩阵 a 的列向量组)有相同的秩. 设 a v 的一组基为 1 , 2 , , r , 它们的原像为 1 , 2 , , r , a i= i ，i = 1 , 2 , , r . 又取 a -1(0) 的一组基为 r+1 , r+2 , , s .现在来证明 1 , 2 , , r , r+1 , r+2 , , s 为 v 的基. 若有l11 + l22 + + lrr + lr+1r+1 + + lss = 0 .用 a 去

4、变它的两端的向量，得l1 a 1 + l2 a 2 + + lr a r + lr+1 a r+1 + + ls a s= a 0 = 0 .因 r+1 , r+2 , , s 属于a -1(0) ，故a r+1 = a r+2 = = a s = 0 .又 a i= i ，i = 1 , 2 , , r . 于是上式就变成l11 + l22 + + lrr = 0 .但 1 , 2 , , r 是线性无关的，有l1 = l2 = lr = 0 .于是等式l11 + l22 + + lrr + lr+1r+1 + + lss = 0就变成lr+1r+1 + + lss = 0 .又因为 r+1

5、 , r+2 , , s 是 a -1(0) 的基也线性无关,就有lr+1 = = ls = 0 .这就证明了1 , 2 , , r , r+1, , s 是线性无关的.再证 v 的任一向量 是1 , 2 , , r , r+1, , s的线性组合.由 1 = a 1 , , r = a r 是 a v 的基，就有一组数l1 , l2 , , lr使a = l1 a 1 + l2 a 2 + + lr a r = a ( l1 1 + l2 2 + + lr r ) . 于是a ( - l1 1 - l2 2 - - lr r ) = 0，即 - l1 1 - l2 2 - - lr r a

6、-1(0) .又因为 r+1 , r+2 , , s 是 a -1(0) 的基，必有一组数lr+1 , lr+2 , , ls使 - l1 1 - l2 2 - - lr r = lr+1 r+1 + + ls s 于是就有 = l1 1 + l2 2 + + lr r + lr+1 r+1 + + ls s 这就说明 是 1 , 2 , , r , r+1, , s 的线性组合.也就证明了 1 , 2 , , r , r+1, , s 是 v 的一组基.由 v 的维数为 n ，知 s = n .又 r 是a v 的维数也即 a 的秩， s - r = n - r 是 a -1(0) 的维数，

7、即a 的零度.因而a 的秩 + a 的零度 = n . 显然，当且仅当 a v = v，即 a 的秩为 n 时， a 是满射；另外，当且仅当 a -1(0) = 0即 a 的零度为 0 时， a 是单射，于是由上述定理即可得出结论.应该指出， 设线性变换 a 在三维线性空间 v 的一组基 1 , 2 , 3 下的矩阵是.103012121a 求 a 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵，其中：.,2,32321332123211 求 a 的值域 a v 和核 a -1(0) ； 把 a v 的基扩充为 v 的基，并求 a 在这组基下的矩阵； 把 a -1(0) 的基扩充为 v 的基，并求 a 在这组基下的矩阵. 设 a 是一个 n n 矩阵，a2 = a . 证明a 相似于一个对角矩阵) 1 (.00111取一 n 维线性空间 v 以及 v 的一组基1 , 2 , , n .定义线性变换 a 如下：a (1 , 2 , , n ) = (1 , 2 , , n ) a .下面来证明， a 在一组适当的基下的矩阵是 (1) .这样，由也就证明了所要的结论.由 a2 = a，可知 a 2 =a .我们取 a v 的一组基为 1 , 2 , , r .由a 1