现代信号处理研究生课程报告

1、华南师范大学现代信号处理课程设计课程名称： 现代信号处理 课程题目： wiener滤波器和kalman滤波器 的原理分析及其matlab实现 指导老师： 李xx 专业班级： 2015级 电路与系统 姓 名： xxxx 学 号： xxxx wiener滤波器和kalman滤波器的原理分析及matlab实现摘要：信号处理的实际问题，常常是要解决在噪声中提取信号的问题，因此，我们需要寻找一种所谓有最佳线性过滤特性的滤波器。这种滤波器当信号与噪声同时输入时，在输出端能将信号尽可能精确地重现出来，而噪声却受到最大抑制。Wiener滤波Kalman滤波就是用来解决这样一类从噪声中提取信号问题的一种过滤(或

2、滤波)方法1。Wiener滤波与Kalman滤波都是解决最佳线性过滤和预测问题，并且都是以均方误差最小为准则的。但与Wiener滤波器不同的是，Kalman滤波器是一种自适应滤波器，Kalman滤波器提供了推导称作递推最小二乘滤波器的一大类自适应滤波器的统一框架。关键词：Wiener滤波 Kalman滤波 均方误差最小 自适应滤波器 目 录第一章 绪论41.1滤波器的发展历程41.2 现代信号处理的滤波器分类51.3 wiener和kalman滤波各自的运用领域61.3.1 wiener滤波的运用范围61.3.2 kalman滤波的运用范围6第二章 wiener和kalman的各自的滤波原理7

3、2.1 wiener滤波器的原理分析722维纳-霍夫方程92.2 kalman滤波的自适应原理分析112.3 wiener滤波和kalman滤波的区别与联系13第三章 wiener和kalman滤波的matlab仿真实现143.1 FIR维纳滤波器的matlab实现143.2 kalman滤波器的matlab实现19第四章 总结与展望23参考文献25第一章 绪论1.1滤波器的发展历程从滤波器的发展现状来看，滤波器从处理信号的类型可以分为模拟滤波器和数字滤波器，模拟滤波器可分为无源滤波器(Passive filter)和有源滤波器(Active filter)，而数字滤波器已可用计算机软件实现，

4、也可用大规模集成数字硬件实时实现。本文主要针对数字滤波器。 从形式上看，数字滤波有线性滤波和非线性滤波。线性滤波是指卷积滤波，又分为频域滤波和时域滤波，在实域中根据滤波方式又分为递归滤波和递归滤波。非线性滤波主要是指同态滤波，它是用取对数的方法将非线性问题线性化。近些年，线性滤波方法，如Wiener滤波、Kalman滤波和自适应滤波得到了广泛的研究和应用2。同时一些非线性滤波方法，如小波滤波、同态滤波、中值滤波和形态滤波等都是现代信号处理的前沿课题，不但有重要的理论意义，而且有广阔的应用前景。Wiener滤波是最早提出的一种滤波方法，当信号混有白噪声时，可以在最小均方误差条件下得到信号的最佳估

5、计。但是，由于求解Wiener-Hoff方程的复杂性，使得Wiener滤波实际应用起来很困难，不过Wiener滤波在理论上的意义是非常重要的，利用Wiener滤波的纯一步预测，可以求解信号的模型参数，进而获得著名的Levinson算法。 Kalman滤波是20世纪60年代初提出的一种滤波方法。与Wiener滤波相似，它同样可以在最小均方误差条件下给出信号的最佳估计。所不同的是，这种滤波技术在时域中采用递推方式进行，因此速度快，便于实时处理，从而得到了广泛的应用。Kalman滤波推广到二维，可以用于图象的去噪。当假设Wiener滤波器的单位脉冲响应为有限长时，可以采用自适应滤波的方法得到滤波器的

6、最佳响应。由于它避开了求解Wiener-Hoff方程，为某些问题的解决带来了极大的方便阔。小波滤波就是利用信号和噪声的目的。同态滤波主要用于解决信号和噪声之间不是相加而是相乘关系时滤波问题。另外，当信号和噪声之间为卷积关系的时候，在一定条件下可以利用同态滤波把信号有效地分离开来，由同态滤波理论引申出的复时谱也成为现代信号处理中极为重要的概念.Wiener滤波、Kalman滤波等自适应滤波都是线性滤波，线性滤波的最大缺点就是在消除噪声的同时，会造成信号边缘的模糊。中值滤波是20世纪70年代提出的一种非线性滤波方法，它可以在最小绝对误差条件下，给出信号的最佳估计。这种滤波方法的优点，就是能够保持信

7、号的边缘不模糊。另外它对脉冲噪声也有良好的清除作用。形态滤波是建立在集合运算上的一种非线性滤波方法，它除了用于滤除信号中的噪声外，还在图象分析中发挥了重要的作用。1.2 现代信号处理的滤波器分类数字滤波分空间域和频率域的方法。空间域的滤波处理，是根据平滑窗口内的统计值或自适应参数进行处理，很难达到在消除相干斑噪声的同时又能很好地保留边缘和纹理细节的理想状态。一般只能在相干斑噪声消除和细节信息保留两个方面进行折衷，综合这两个方面的较好效果。频率域的傅立叶变换能够进行高频或低频的带通滤波，但不能区分噪声和信息相近的频率。基于小波分析的方法由于具有多分辨率和时频联合分析的特征，使得频率域的去噪有了更

8、好的途径。空间域的几种著名滤波器可分为以下两类：传统方法、局域统计自适应滤波方法。均值滤波器和中值滤波器属于经典传统滤波器范畴。传统方法在对SAR影像进行滤波时，对噪声和边缘信息是不加区分的。为了解决传统方法存在的问题，人们提出了各种形式的自适应滤波器，自适应滤波器一般通过局域统计参数的调节，对噪声进行较强的平滑，而对边缘则尽量予以保留3。基于频率域的滤波方法有Fourier变换滤波方法以及近年兴起的小波变换滤波的方法，传统的建立在傅里叶变换基础上的频率域滤波方法在提高信噪比和提高空 间分辨率两项指标上存在矛盾。低通滤波能较好地平滑抑制噪声，但同时也模糊了图像的边缘。高通滤波可以使边缘更加陡峭

9、，但背景噪声同时也被加强。此外相干平均也是滤除噪声常用的手段，但需时间较长，不能作动态提取，而且当各次纪录中的信号没有对齐时处理结果也会产生低通模糊。与之相比，基于小波变换的多分辨率滤波技术有明显优点。小波分析最大的特点在于具有极敏感的变焦特征，在不同的分辨率下，反映出不同的图像结构特征，使其在处理突变信息方面具有特殊的能力，利于噪声的滤除和边缘的保留。1.3 wiener和kalman滤波各自的运用领域Weiner滤波是一种线性滤波的方法，而kalman是对Weiner滤波理论的发展，即与weiner滤波器不同的是，kalman滤波器是一种自适应滤波器，kalman滤波器提供了推到称作递推最

10、小二乘滤波器的一大类自适应滤波器的统一框架。1.3.1 wiener滤波的运用范围维纳滤波通常用于深层地震勘探数据处理，特别在于深层石油天然气勘探开发中有诸多优点，然而当我们将维纳滤波的思路与原理应用于浅层地震勘探的数据处理中时，发现维纳滤波仍然能够较好地滤除噪音信号，提高信号的信噪比。微地震勘探技术中，信噪比是衡量地震资料好坏的一个重要指标，信噪比越高，则地震资料质量越好，处理结果就越可信。所以，信噪比的估值无论是对处理资料还是对地质解释都有一定的参考价值。微地震勘探中，噪声是不可避免的，提高信噪比是地震资料数据处理中一项最基本的任务。目前数字滤波技术的应用是提高信噪比最常用的方法。维纳滤波

11、是数字信号处理中滤波技术研究的一个主要内容。作为最佳滤波器，其最优化的准则是使均方误差最小。1.3.2 kalman滤波的运用范围简单来说，卡尔曼滤波器是一个最优化自回归数据处理。对于解决很大部分的问题，他是最优，效率最高甚至是最有用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。卡尔曼滤波是根据前一个估计值和最近一个观察数据来估计当前值，用状态方程和递推方法估计，解是以估计值形式给出。卡尔曼滤波不要求信号和噪声都是平稳过程的假设条件。对于每个时刻的系统扰动和观

12、测误差（即噪声），只要对它们的统计性质作某些适当的假定，通过对含有噪声的观测信号进行处理，就能在平均的意义上，求得误差为最小的真实信号的估计值。因此，自从卡尔曼滤波理论问世以来，在通信系统、电力系统、航空航天、环境污染控制、工业控制、雷达信号处理等许多部门都得到了应用，取得了许多成功应用的成果。例如在图像处理方面，应用卡尔曼滤波对由于某些噪声影响而造成模糊的图像进行复原。在对噪声作了某些统计性质的假定后，就可以用卡尔曼的算法以递推的方式从模糊图像中得到均方差最小的真实图像，使模糊的图像得到复原。第二章 wiener和kalman的各自的滤波原理2.1 wiener滤波器的原理分析维纳（Wien

13、er）是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤（或滤波）方法。这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。 一个线性系统，如果它的单位样本响应为，当输入一个随机信号，且 （1）其中表示信号，)表示噪声，则输出为 （2）我们希望通过线性系统后得到的尽量接近于，因此称为的估计值，用表示，即 （3） 则维纳滤波器的输入输出关系可用下面图1表示。图1实际上，式（2）所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值，来估计信号的当前值。因此，用进行过滤问题实际上是一种统计估计问题。一般地，从当前的和过去的观察值，估计当前的信号值成为过滤或滤波；从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值称为外推或

14、预测；从过去的观察值，估计过去的信号值称为平滑或内插。因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性过滤与预测或线性最优估计。这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。 （4）显然可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。因此，用它的均方误差来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计期望最小： （5）采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述，维纳滤波基本原理框图如下所示：22维纳-霍夫方程 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应或传递函数的表达式，其实质就是解维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程。我们从时域入

15、手求最小均方误差下的,用表示最佳线性滤波器。这里只讨论因果可实现滤波器的设计。因果的维纳滤波器,设是物理可实现的，也即是因果序列：, 当因此，从式上式中可推导： 要使得均方误差最小，则将上式对各,求偏导，并且等于零，得 即 。用相关函数来表达上式，则得到维纳-霍夫方程的离散形式： 由上式进一步化简得： 为了按（5）式所示的最小均方误差准则来确定维纳滤波器的冲激响应，令对的导数等于零，即可得 （6）式中，是与的互相关函数，是的自相关函数，分别定义为式（6）称为维纳滤波器的标准方程或维纳-霍夫（Wiener-Hopf）方程。如果已知和，那么解此方程即可求的维纳滤波器的冲激响应。式（6）所示标准方程

16、右端的求和范围即的取值范围没有具体标明，实际上有三种情况：（1） 有限冲激响应（FIR）维纳滤波器，从到取得有限个整数值；（2） 非因果无限冲激响应（非因果IIR）维纳滤波器，从到取所有整数值；（3） 因果无限冲激响应（因果IIR）维纳滤波器，从到取正整数值。 上述三种情况下标准方程的解法不同，本文只描述FIR维纳滤波器的求解。设滤波器冲激响应序列的长度为，冲激响应矢量为 (7)滤波器输入数据矢量为： （8）则滤波器的输出为： （9）这样，式（6）所示的维纳-霍夫方程可写成 或 （10）其中 （11）是与的互相关函数，它是一个维列矢量；是的自相关函数，是阶方阵 （12）利用求逆矩阵的方法直接求

17、解式（10），得 （13）这里表示“最佳”，这就是FIR维纳滤波器的冲激响应。 2.2 kalman滤波的自适应原理分析卡尔曼滤波的含义是现时刻的最佳估计为在前一时刻的最佳估计的基础上根据现时刻的观测值作线性修正。卡尔曼滤波在数学上是一种线性最小方差统计估算方法，它是通过处理一系列带有误差的实际测量数据而得到物理参数的最佳估算。其实质要解决的问题是要寻找在最小均方误差下的估计值。它的特点是可以用递推的方法计算，其所需数据存储量较小，便于进行实时处理。具体来说，卡尔曼滤波就是要用预测方程和测量方程对系统状态进行估计。设动态系统的状态方程和测量方程分别为： 上两式子中，是k时刻的系统状态，和是k-

18、1时刻到k时刻的状态转移矩阵，是k时刻的测量值，是测量系统的参数，和分别表示过程和测量的噪声，他们被假设成高斯白噪声。如果被估计状态和观测量是满足上述第一式，系统过程噪声和观测噪声满足第二式的假设，k时刻的观测的估计可按下述方程求解。进一步预测： (1)状态估计： (2) 滤波增益矩阵： (3) 一步预测误差方差阵： (4) 估计误差方差阵： (5)上述就是卡尔曼滤波器的5条基本公式，只有给定初值和，根据k时刻的观测值，就可以递推计算得k时刻的状态估计（K=1，2，N）。为了更形象地说明卡尔曼滤波的原理，下面给出卡尔曼滤波的系统模型框图如图1所示：2.3 wiener滤波和kalman滤波的区

19、别与联系维纳过滤与卡尔曼过滤都是解决最佳线性过滤和预测问题，并且都是以均方误差最小为准则的。因此在平稳条件下，它们所得到的稳态结果是一致的。然而，它们解决的方法有很大区别。维纳过滤是根据全部过去的和当前的观察数据来估计信号的当前值，它的解是以均方误差最小条件下所得到的系统的传递函数H(z)或单位样本响应h(n) 的形式给出的，因此更常称这种系统为最佳线性过滤器或滤波器。而卡尔曼过滤是用前一个估计值和最近一个观察数据(它不需要全部过去的观察数据)来估计信号的当前值，它是用状态方程和递推的方法进行估计的，它的解是以估计值(常常是状态变量值)形式给出的。因此更常称这种系统为线性最优估计器或滤波器。维

20、纳滤波器只适用于平稳随机过程，而卡尔曼滤波器却没有这个限制。维纳过滤中信号和噪声是用相关函数表示的，因此设计维纳滤波器要求已知信号和噪声的相关函数。卡尔曼过滤中信号和噪声是状态方程和量测方程表示的，因此设计卡尔曼滤波器要求已知状态方程和量测方程(当然，相关函数与状态方程和量测方程之间会存在一定的关系)。卡尔曼过滤方法看来似乎比维纳过滤方法优越，它用递推法计算，不需要知道全部过去的数据，从而运用计算机计算方便，而且它可用于平稳和不平稳的随机过程(信号)，非时变和时变的系统。第三章 wiener和kalman滤波的matlab仿真实现3.1 FIR维纳滤波器的matlab实现假设一个点目标在x，y

21、平面上绕单位圆做圆周运动，由于外界干扰，其运动轨迹发生了偏移。其中，x方向的干扰为均值为0，方差为0.05的高斯噪声；y方向干扰为均值为0，方差为0.06的高斯噪声。1) 产生满足要求的x方向和y方向随机噪声500个样本；2) 明确期望信号和观测信号；3) 试设计一FIR维纳滤波器，确定最佳传递函数：，并用该滤波器处理观测信号，得到其最佳估计。（注：自行设定误差判定阈值，根据阈值确定滤波器的阶数或传递函数的长度）。4) 分别绘制出x方向和y方向的期望信号、噪声信号、观测信号、滤波后信号、最小均方误差信号的曲线图；5) 在同一幅图中绘制出期望信号、观测信号和滤波后点目标的运动轨迹。Matlab仿

22、真及运行结果如下所示：用Matlab实现FIR滤波器，并将先前随机产生的500个样本输入，得到最佳估计。具体程序如下：clear;clf;sita=0:pi/249.5:2*pi;xnoise=sqrt(0.05)*randn(1,500);%产生x轴方向噪声ynoise=sqrt(0.06)*randn(1,500);%产生y轴方向噪声x=cos(sita)+xnoise;%产生x轴方向观测信号y=sin(sita)+ynoise;%产生y轴方向观测信号%产生维纳滤波中x方向上观测信号的自相关矩阵rxx=xcorr(x);for i=1:100 for j=1:100 mrxx(i,j)=r

23、xx(500-i+j); endendxd=cos(sita);%产生维纳滤波中x方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵rxd=xcorr(x,xd);for i=1:100 mrxd(i)=rxd(499+i);endhoptx=inv(mrxx)*mrxd;%由维纳-霍夫方程得到的x方向上的滤波器最优解fx=conv(x,hoptx);%滤波后x方向上的输出nx=sum(abs(xd).2);eminx=nx-mrxd*hoptx;%x方向上最小均方误差%产生维纳滤波中y方向上观测信号的自相关矩阵ryy=xcorr(y);for i=1:100 for j=1:100 mryy(i,j)=r

24、yy(500-i+j); endendyd=sin(sita);%产生维纳滤波中y方向上观测信号与期望信号的互相关矩阵ryd=xcorr(y,yd);for i=1:100 mryd(i)=ryd(499+i);endhopty=inv(mryy)*mryd;%由维纳-霍夫方程得到的y方向上的滤波器最优解fy=conv(y,hopty);%滤波后y方向上的输出ny=sum(abs(yd).2);eminy=ny-mryd*hopty;%y方向上最小均方误差subplot(2,4,1)plot(xd);title(x方向期望信号);subplot(2,4,2)plot(xnoise);title

25、(x方向噪声信号);subplot(2,4,3)plot(x);title(x方向观测信号);subplot(2,4,4)n=0:500;plot(n,eminx);title(x方向最小均方误差);subplot(2,4,5)plot(yd);title(y方向期望信号);subplot(2,4,6)plot(ynoise);title(y方向噪声信号);subplot(2,4,7)plot(y);title(y方向观测信号);subplot(2,4,8)plot(n,eminy);title(y方向最小均方误差);figure;plot(xd,yd,k);hold on;plot(x,y,

26、b:);hold on;plot(fx,fy,g-);title(最终结果);运行结果如下：x方向及y方向的期望信号、噪声信号、观测信号以及滤波后的最小均方误差如上图2所示4。滤波后的到的信号与原始信号和噪声信号的对比如上图3所示，滤波后的结果与期望信号还是很接近的，整体上达到了最优滤波的效果5。3.2 kalman滤波器的matlab实现假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设我们用一分钟来做时间单位）。有时候经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（WhiteGaussi

27、anNoise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们要用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。假如我们要估算k时刻的实际温度值。首先要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。(1)因为你相信温度是恒定的，所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏

28、差是5度。5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不确定度是4度，他们平方相加再开方。(2)然后，你从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟实际温度是多少呢？相信自己还是相信温度计呢？究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg2=52/(52+42)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最

29、优温度值偏向温度计的值。(3)现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：(1-Kg)*52)0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差。(4)就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。当然，为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)

30、。他们的值不用太在意，随便给一个就可以了，因为随着卡尔曼的工作，X会逐渐的收敛。但是对于P，一般不要取0，因为这样可能会令卡尔曼完全相信你给定的X(0|0)是系统最优的，从而使算法不能收敛。其卡尔曼滤波的Matlab仿真程序如下：clear clc; N=600;%采样点的个数 CON=25;%室内温度的理论值 x=zeros(1,N);%用来记录温度的最优化估算值 y=randn(1,N)+CON;%温度计的观测值，其中叠加了噪声 x(1)=20;%为x(k)赋初值 p(1)=2;%x(1)对应的协方差 Q=cov(randn(1,N);%过程噪声的协方差 R=cov(randn(1,N);

31、%测量噪声的协方差for k=2:N %循环里面是卡尔曼滤波的具体过程?x(k)=x(k-1);p(k)=p(k-1)+Q;Kg(k)=p(k)/(p(k)+R);%Kg为Kalman?Gain,卡尔曼增益?x(k)=x(k)+Kg(k)*(y(k)-x(k);p(k)=(1-Kg(k)*p(k);end%?%这个模块起到平滑滤波作用?Filter_Width=10;%滤波器带宽?Smooth_Result=zeros(1,N);%用来存放滤波后的各个采样点的值?for i=Filter_Width+1:NTemp_Sum=0;for j=i-Filter_Width:(i-1)Temp_Su

32、m=x(j)+Temp_Sum;endSmooth_Result(i)=Temp_Sum/Filter_Width;%每一个点的采样值等于这个点之前的filter_width长度的采样点的平均值?end%?t=1:N;figure(Name,Kalman?Filter?Simulation,NumberTitle,off);expected_Value=zeros(1,N);for i=1:Nexpected_Value(i)=CON;endplot(t,expected_Value,-b,t,y,-g,t,x,-k,t,Smooth_Result,-m);%依次输出理论值，叠加测量噪声的温度计测量值，?legend(expected,measure,estimate,smooth result);%经过kalman滤波后的最优化估算值，平滑滤波后的输出值?xlabel(sample?time);ylabel(temperature);title(Kalman Filter Simulation);运行结果如下：第四章 总结与展望信号处理的