孟华自动控制原理ch411

1、第第4章章 根轨迹分析法根轨迹分析法 闭环传函为闭环传函为:kssksrsc) 1()()( 特征方程特征方程:02kss解方程得闭环特征根解方程得闭环特征根:ksks412121412121211. 什么是根轨迹什么是根轨迹系统结构：系统结构：k1/4，为一对共轭复根。，为一对共轭复根。4-1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念k k取不同值对应的闭环根取不同值对应的闭环根 s1,s2k 0 1/8 1/4 1/2 s1 0-0.146-0.5-0.5+j0.5 -0.5+js2 -1-0.854-0.5-0.5-j0.5 -0.5-jk=0k=0k=0.25k=0.5k=0.5k=1.25k

2、=1.25根轨迹：根轨迹： 当系统中某个（或几个）参数从当系统中某个（或几个）参数从 0 +0 +变化时，变化时，系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（系统闭环特征方程的根（即闭环极点）在根平面（s平面）上描绘的一些轨迹。平面）上描绘的一些轨迹。根轨迹法根轨迹法： 在已知系统开环传递函数的极点、零点分布的基础上，研究某个或某些参数变化对系统闭环特征根分布影响的一种图解方法。特点特点： 是一种图解方法； 利用开环极点和开环零点确定闭环极点。2.开环零点、极点及根迹增益开环零点、极点及根迹增益) 1).(1() 1).(1()()(11ststsskshsgnm开环传函开环传函系统方框图：系

3、统方框图：)1).(1()1).(1(.1111nmnmtstsssttk)()()()(11nmpspszszskk为系统的开环增益为系统的开环增益k 为系统开环根迹增益为系统开环根迹增益mizii, 2 , 1,1称为开环零点njtpjj, 2 , 1,1称为开环极点3. 闭环根与开环传递函数的关系闭环根与开环传递函数的关系0)()(1shsg 闭环特征方程：闭环特征方程：整理，得整理，得0)()()()(11mnzszskpsps0)()()()(111nmpspszszsk也即也即, nm所以：所以： 闭环特征方程闭环特征方程 = 开环传函分母开环传函分母 +开环传函分子开环传函分子

4、= 0上式的解就是闭环根，上式的解就是闭环根，闭环根也叫闭环极点。闭环根也叫闭环极点。4-2 4-2 根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法一、根轨迹方程一、根轨迹方程其特征方程其特征方程: 0)()(1shsg1)()(shsg 向量形式向量形式:1)()()()(shsgshsg,.)2 , 1 , 0() 12(1801)()(llshsg幅角条件：幅角条件：设系统结构：设系统结构：11)()(shsg幅值条件：幅值条件：规定：幅角以逆时针方向为正。规定：幅角以逆时针方向为正。幅角条件及幅值条件又可写成幅角条件及幅值条件又可写成 ：kpspszszsnm1.11) 12(180)()()()(

5、11lpspszszsnmn幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。幅角条件是绘制根轨迹的重要依据。n用幅值条件确定相应的用幅值条件确定相应的 k 值。值。说明：说明：例例4-1 设系统的开环传函为设系统的开环传函为: 1)利用幅角条件利用幅角条件-p1-p3-z1-p2s126o79o45o18026-79-120-45 )()()()(31211111pspspszs120o解解: :满足幅角条件的点是根轨迹上的点满足幅角条件的点是根轨迹上的点, ,所以所以)6 . 6)(2()4()()(ssssshsgk检验点检验点s1= 1.5+j2.5是否是否在根轨迹上在根轨迹上; 并确定与其相对应的并确

6、定与其相对应的 k 值。值。2)由幅值条件求由幅值条件求s1相对应相对应的的 k 值值15.126 . 38 . 56 . 29 . 246 . 621111ssssk =12.15k二、根轨迹的绘制规则二、根轨迹的绘制规则 结论结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点，根轨迹的起点为系统的开环极点，终点终点 是开环零点。若是开环零点。若mn，则有，则有n-m条根轨条根轨 迹终止于无穷远处。迹终止于无穷远处。1. 起点和终点起点和终点当当k =0时时,).2 , 1(njpsj).2 , 1(mizsi当当k时时, j起点起点终点终点规定：根轨迹起始于规定：根轨迹起始于k =0的点，的点， 终止于

7、终止于k 的点。的点。由幅值条件由幅值条件kpspszszsnm1.11开环极点开环极点开环零点开环零点2. 分支数分支数 4. 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根轨迹的分支数等于开环极点根轨迹的分支数等于开环极点数，也等于闭环特征根的个数数，也等于闭环特征根的个数n 。n试探点试探点s1满足幅角条件满足幅角条件jjs13. 根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性 根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。根轨迹是连续的且以实轴为对称的曲线。) 12(180)()(11lpszsnjjmii由幅角条件：由幅角条件：结论：实轴上属于根轨迹的部分，结论：实轴上属于根轨迹的部分，其右边零、极点个数为奇

8、数。其右边零、极点个数为奇数。s2ns2点不满足幅角条件点不满足幅角条件复数极、零点对实轴上复数极、零点对实轴上的根轨迹没有影响的根轨迹没有影响 5. 渐近线渐近线 ), 2 , 1 , 0() 12(180lmnlmnzpmiinjj11)()(结论：如果结论：如果mn，则当，则当k时，伸向无穷远处根轨时，伸向无穷远处根轨迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是迹的渐近线在实轴上共交于一点，其坐标是:jjs1123) 12(180321l3) 12(180l当s时，321交角为：交角为：60oj会合点会合点converging pointj分离点分离点breakaway point(1) 重根

9、法重根法0)()(dsshsgd(2) 用幅角条件用幅角条件minjjiapaz11011一般情况下一般情况下, ,两个极点间的根轨迹上必有一个分离点两个极点间的根轨迹上必有一个分离点, , 两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。两个零点间的根轨迹上必有一个会合点。一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，一个零点与一个极点之间既没有分离点也没有会合点，特殊情况下两者同时存在。特殊情况下两者同时存在。计算方法：计算方法： 6. 分离点及会合点分离点及会合点 根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。5.渐近线渐近线6.分离点和会合点分离点和会合点4. 实轴上的根轨迹分布实轴上的根轨迹分布解解 按规则

10、按规则: 1.画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图.-1-2-32. 根轨迹有两条分支。根轨迹有两条分支。 画极点画极点画零点18012) 12(180l0123)21 (11mnzpnjmiij分离点会合点23aaaa211131例例4-2 某系统开环传函为某系统开环传函为:试绘制根轨迹。试绘制根轨迹。 ) 2)(1() 3()()(ssskshsg321aaak =0.172k =5.818k7. 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 (1) (1) 用用s=js=j代入求代入求0)14()510(32jk 例例4-36)2)(1()()(2ssshsgk系统的特征方程为系统的特征

11、方程为06)2)(1(1)()(12sskshsg以以s=j 代入代入06)2)(1(2kss6074. 314k=0=0因此因此,与虚轴交点的坐标为与虚轴交点的坐标为j3.74j-j3.74j3.74(2) (2) 用劳斯判据求用劳斯判据求 将特征方程写为将特征方程写为: 0)10(14523ksss=0 k = 60 07052s74. 32, 1js10+k 劳斯阵列表为劳斯阵列表为: 3s1 14 2s5 1s5)10(70k0s10+k 例例4-4 某控制系统的开环传函为某控制系统的开环传函为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。 )2)(1()()(ssskshsg解:1. 画

12、出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 -1-22. 实轴上的根轨迹分布。实轴上的根轨迹分布。3. 渐近线。渐近线。103210180,6003) 12(180l4. 分离点和会合点。分离点和会合点。舍去）故可得(58.142.002630)()(212ssssdsshsgd-0.425.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。kskskssksssksss01232336321023) 2)(1(=0k=60632sj1.414k=6k=6-j1.414414. 122, 1jjs8.复数极零点的出射角和入射角复数极零点的出射角和入射角 j1p2p1zplzlj1z(1)出射角出射角(2

13、)入射角入射角mjnliiijppszsl11)()(180mljjniijzpszsl11)()(18033.5o63.5o135o90o180) 12()5 .3390135(5 .63ljipz37515)5 .3390135(5 .63180或例例4-5 已知已知4)2)(5()3()()(2sssskshsg，试求出射角。，试求出射角。)22)(22)(5()3()()(jsjsssskshsg解：系统满足系统满足n m2时，闭环极点之积可表示为：时，闭环极点之积可表示为：系统满足系统满足n m2时时系统闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之和等于开环极点之和。 9. 闭环极点

14、之和闭环极点之和 10. 闭环极点之积闭环极点之积)()(11njjnjjps即：)() 1()(111miinjjnnjjzkps若有极点在原点，则若有极点在原点，则miinnjjzks11) 1()(若没有开环零点，则若没有开环零点，则11miiz闭环极点之积与根迹增益成正比。闭环极点之积与根迹增益成正比。14111111mnzpnjmiij135454) 12(180或l1. 画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 2. 根轨迹有四条分支。根轨迹有四条分支。 3. 根轨迹对称实轴。根轨迹对称实轴。 例例4-6 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为解解:-

15、17 .1211016316530)181)(181() 1(3 , 21232jsssssdsjsjssd解上式得得由分分离离点点ksksksskskssss32516741300167325167652432533010325652330401234234，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。)181)(181() 1()()(2jsjsskshsg令s1次项系数=0得 k=268960272211672s =26896-j12.8k4. 实轴上没有根轨迹分布。实轴上没有根轨迹分布。j12.8 =26896k5. 渐近线和实轴的交点。渐近线和实轴的交点。6. 分离点和会合点。分离点和会合点。

16、7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。s=j12.8三、根轨迹绘制举例三、根轨迹绘制举例分离点方程：分离点方程：055. 022 ss解出分离点：解出分离点：33. 0,67. 121dd)5 . 0)(1 . 0() 1()()(*ssskshsg例例4 47 7 设系统开环传函如下，试绘制系统的根设系统开环传函如下，试绘制系统的根轨迹，并证明复平面上的根轨迹是圆。轨迹，并证明复平面上的根轨迹是圆。实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹： 1, 5 . 01 . 05 . 0, 1 . 021pp有限终点：有限终点： 11z解解：根轨迹有两条分支。起点：根轨迹有两条分支。起点：22267. 0

17、) 1( 为一圆方程，圆心（为一圆方程，圆心（1 1，0 0），半径），半径r=0.67r=0.67。圆与实轴得交点就是两个分离点。圆与实轴得交点就是两个分离点。 0-1.67-1-0.5 -0.1j用用s= +j代入特征方程代入特征方程1+g(s)h(s) = 0中，并整理中，并整理得得例例4-8 某负反馈控制系统的开环传递函数为某负反馈控制系统的开环传递函数为，试绘制根轨迹图。，试绘制根轨迹图。)50)(20)(5()125. 0()()(2ssssskshsg5.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点:=8.16 , k=8.65104。2. 实轴上根轨迹分布。实轴上根轨迹分布。 4. 分

18、离点和会合点。分离点和会合点。1. 画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 3. 渐近线渐近线: -18.7, 45， 135（1）略去远离原点的极点）略去远离原点的极点 ：分离点：分离点0 ；会合点；会合点 - 0.25（2）求远离原点的分离点：）求远离原点的分离点：-2.26 , -40.32)125. 0()()(sskshsg)50)(20)(5()()(sssskshsg作业l4-5l4-7l4-84-3 广义根轨迹的绘制广义根轨迹的绘制参变量根轨迹参变量根轨迹: :以非开环增益为变量的根轨迹。以非开环增益为变量的根轨迹。 设系统的开环传函设系统的开环传函: :)()()()(

19、sqspkshsg则特征方程则特征方程: : 0)()(1sqskp用不含待讨论参数的各项除方程两端，得用不含待讨论参数的各项除方程两端，得0)( )( 1)()(111sqspkshsg 等效开环等效开环传递函数传递函数0)()(skpsq展成多项式展成多项式: :例例4-9 系统如图。参数系统如图。参数ks为速度反馈系为速度反馈系数。试绘制以数。试绘制以ks为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。 解解:010)102(2skss01021012sssks0)()(111shsg10210)()(211ssskshsgs1. 画出开环零、极点分布图画出开环零、极点分布图 2. 实轴上的根轨迹分

20、布。实轴上的根轨迹分布。3. 分离点和会合点分离点和会合点。4求复数极点的出射角求复数极点的出射角 198)10890(1803 . 412. 365. 365. 31012. 3100)()(211111spspszspsksdsshsgdmiinjjs90o108o198o0101022sksss例例4-10 4-10 负反馈系统开环传函为负反馈系统开环传函为 )2)(1(2stss试绘制以试绘制以 为参变量的根轨迹图。为参变量的根轨迹图。 t解：闭环特征方程解：闭环特征方程022)2()()(122ssstsshsg(1)(1)求等效开环传函。求等效开环传函。022)2(122sssts

21、等效开环传函等效开环传函22)2()()(2211ssstsshsg(2)(2)有两个有两个 的零点和一个的零点和一个 的零点，的零点，0z2z极点为极点为jpjp1,121(3)(3)实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹位于 之间。之间。 2 1p0-2j1 j1 j-1(4) (4) 复数极点出射角复数极点出射角45360213545901801p 452p则例例4-11 4-11 闭环系统的特征方程如下，试绘制系统的根轨闭环系统的特征方程如下，试绘制系统的根轨迹图。迹图。03)(s2)2s6)(s5)(ss(s*2k解：系统的开环传递函数为解：系统的开环传递函数为)22)(6)(5()3()

22、()(2*sssssskshsg绘制根轨迹步骤绘制根轨迹步骤: : 根轨迹有根轨迹有5 5条分支条分支 起点有起点有5 5个：个：0 0 -5 -5 -6 -6 -1 -1j j实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 0 0 -3-3及及-5-5 -6-6之间之间复数极点复数极点-1+j-1+j的出射角的出射角8 .43)4 .1114901356 .26(180)6()5()1() 3(1803ssjsssp分离点分离点用试探法求得用试探法求得53. 5d135,45渐近线夹角渐近线夹角5 . 24)3() 1111650(jja渐近线交点渐近线交点与虚轴交点与虚轴交点*0*1*2*3*4*53212

23、. 06 .65163. 010539403212. 06 .65769. 0607 .4738213605412kskkkskksksksks要求要求00163. 010539400212. 06 .65*2kkkk6 .350* k6 .35*k此时此时35. 1 js绘出根轨迹绘出根轨迹。-5.53-3-6-5-10j34. 134.1例例4-12 4-12 闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为解：开环传函为解：开环传函为)204)(4()()(2*sssskshsg开环极点开环极点 p1=0, p2=-4, p3=-2+j4, p4=-2-j4p1=0, p2=-4, p3=-2+

24、j4, p4=-2-j4实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹位于0 04 4之间。之间。分离点为分离点为45. 2245. 222321jdjdd0)204)(4(*2kssss绘制控制系统的大致根轨迹。绘制控制系统的大致根轨迹。与虚轴交点与虚轴交点渐近线交点渐近线交点24424240jja135,45 渐近线夹角渐近线夹角16. 310260*k根轨迹如图根轨迹如图-40-2+j4-2-j4-2+j2.45-2-j2.45j解：当a=10，)10() 1()()(2*ssskshsg3 3个开环极点个开环极点 p1=0, p2=0, p3=-10p1=0, p2=0, p3=-10，有限的开环零

25、点为有限的开环零点为 z=-1z=-1实轴上的根轨迹位于实轴上的根轨迹位于-1-1-10-10之间。之间。研究以研究以 为参变量，为参变量，a取以下几个特殊值时的根轨迹：取以下几个特殊值时的根轨迹： 当当a =10=10和和a =3=3时的根轨迹时的根轨迹 确定使根轨迹上仅有一个非零值分离点时确定使根轨迹上仅有一个非零值分离点时a 的数值的数值 *k0*23kskass例例4-13 4-13 已知负反馈系统的特征方程为已知负反馈系统的特征方程为求分离点5 . 2, 421dd根轨迹如图渐近线夹角902)12(la渐近线交点5 . 42110a求分离点235 . 12, 1jd解为复数，故根轨迹

26、在实轴上无分离点。由分析知，d1、d2应舍去。 当a=3，开环传函 )3() 1()()(2*ssskshsg渐近线的交点1213a夹角902)12(la-4-3-2-1012-4-3-2-101234real axisimag axis求仅有一个分离点时的值，即求方程 有重根时的 值。 02)3(22adada416)3()3(2aaad若方程有重根，则有 016) 3(2aa即 或 。当 时，开环传递函数出现零极点对消，故 为所求。 时的根轨迹如图4-7（c）。1a9a9a9a1a-10-50-8-6-4-202468real axisimag axis正反馈系统特征方程：正反馈系统特征方

27、程：0)()(1shsg正反馈系统的根轨迹正反馈系统的根轨迹1)()(shsg1)()(shsg，2102)()(llshsg幅值条件：幅值条件： 幅角条件：幅角条件： 所以，通常称负反馈系统的根轨迹为所以，通常称负反馈系统的根轨迹为180180根轨迹，正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹，正反馈系统的根轨迹为零度根轨迹。根轨迹。 即正反馈系统的幅角满足即正反馈系统的幅角满足l 20 书上例题书上例题4-9正反馈系统的根轨迹（续）正反馈系统的根轨迹（续）实质正反馈系统实质正反馈系统 设负反馈系统的开环传函为设负反馈系统的开环传函为) 0, 0()1 ()1 ()()(ttssskshsg特征方程特征

28、方程0) 1() 1(1)1 ()1 (1)()(1tsssktssskshsg即有即有1)1()1(tsssk例例 设负反馈系统的开环传递函数为设负反馈系统的开环传递函数为)164()32()()(22ssssskshsg试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：解：)164()3)(1()()(2*ssssskshsg应按应按00根轨迹的规则作图。根轨迹的规则作图。 两个开环零点为两个开环零点为 3, 121zz开环极点为开环极点为 322,03,21jpp分离点分离点 6.3d复数极点出射角为复数极点出射角为3 . 53 . 5901209 .1308 .730)()()()(0323

29、2122212ppppppzpzp与虚轴交点与虚轴交点14. 3, 021作出根轨迹：作出根轨迹：0 0j2p3p1p2z1z例例4-14 若一正反馈控制系统的开环传递函数为若一正反馈控制系统的开环传递函数为求该系统的闭环根轨迹求该系统的闭环根轨迹。 )2)(1()()(ssskshsg解:-1.58正反馈正反馈 此时为零度根轨迹此时为零度根轨迹 渐近线和实轴方向的夹角渐近线和实轴方向的夹角为为2l /（n-m)，即，即 0, 2 /3 实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹为(-2,-1)及线段及及线段及(0,+)线段线段.故故-1.58为分离点。为分离点。-1-2-0.42j1.414k=6k=6

30、-j1.414与负反馈比较与负反馈比较4.4.1 开环零、极点对根轨迹的影响开环零、极点对根轨迹的影响一、增加零点对根轨迹的影响一、增加零点对根轨迹的影响)4)(1)(1() 1()(sssstksgddt1:零点为时41dt时141dt时1dt例例4-15 控制系统开环传函：控制系统开环传函：) 12)(15)(110(6 . 3)(sssksgck解解:)5 . 0)(2 . 0)(1 . 0(036. 0)(sssksgck)5 . 0)(2 . 0)(1 . 0(sssk60os1=j0.17kc=0.778s2=-j0.17kc=0.778s3=0kc=0.278-0.027试问采取

31、何种措施可使系统的稳定性提高。试问采取何种措施可使系统的稳定性提高。278. 00778. 0,17. 0289. 0027. 0180,602 . 0:,321 ccckkka对应对应对应对应根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点相应相应根轨迹的分离点根轨迹的分离点渐近线的倾角渐近线的倾角渐近线交点坐标渐近线交点坐标其关键数据为其关键数据为根据作图规则根据作图规则， ss。j应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，应采取的措施：将比例调节变为比例微分调节，即增加开环零点。即增加开环零点。)5 . 0)(2 . 0)(1 . 0()4 . 0()(ssssksgks1=0kc=0.278-0.

32、06278. 0, 0322. 006. 0901 . 0:,112cckka对应根轨迹与虚轴的交点分离点处的根轨迹的分离点渐近线的倾角渐近线交点坐标其关键数据为根据根轨迹作图规则s。5 . 2dt60os1=j0.17kc=0.778s2=-j0.17kc=0.778s3=0kc=0.278-0.027二、增加极点对根轨迹的影响二、增加极点对根轨迹的影响k=0k=0一、一、系统性能指标在根平面上的表示系统性能指标在根平面上的表示1.1.等阻尼比线等阻尼比线22, 11nnjs2211nntg对应一定的超调量对应一定的超调量po21njn2.2.等时线等时线nst3过渡过程时间只取决于根的实部

33、过渡过程时间只取决于根的实部o大stst小st垂直横轴的线为等时线垂直横轴的线为等时线3.3.等频线等频线21nd振荡频率是根的虚部振荡频率是根的虚部o高频高频低频低频平行于横轴的线为等频线平行于横轴的线为等频线综上，特征根平面上有三种规律：综上，特征根平面上有三种规律：第一，是在通过原点射线上的极点，它们对应衰第一，是在通过原点射线上的极点，它们对应衰减比相同的过程。减比相同的过程。第二，是在垂直于实轴直线上的极点，它们对应第二，是在垂直于实轴直线上的极点，它们对应有相同的过渡过程。有相同的过渡过程。第三，是在平行于实轴直线上的极点，它们对应第三，是在平行于实轴直线上的极点，它们对应振荡频率

34、相等的过程。振荡频率相等的过程。o质量合格区质量合格区二、从闭环零极点求过渡过程二、从闭环零极点求过渡过程典型系统的闭环传函为典型系统的闭环传函为 njjmiisszskshsgsgsrsc11)()()()(1)()()(其中其中-zi闭环零点闭环零点:由前向通路传函零点和由前向通路传函零点和 反馈通路传函极点组成。反馈通路传函极点组成。-sj闭环极点：由根轨迹确定。闭环极点：由根轨迹确定。输入输入r(t)=1时，时，njjmiissszsksc11)()()(njtskkeaascltc101)()(ksskksssscassca)()()(00ak与零极点分布有关与零极点分布有关三、闭环

35、零、极点对系统瞬态性能的影响三、闭环零、极点对系统瞬态性能的影响1. 极点的分布决定了瞬态响应的类型。极点的分布决定了瞬态响应的类型。 极点位于s平面：左半面稳定 右半面不稳定 实轴上单调 复平面上振荡2. 零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状零、极点的分布决定了瞬态响应曲线的形状及指标及指标。 要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴要求系统快速性好，则闭环极点应远离虚轴。 要求平稳性好，则共轭复数极点应位于等线与负实轴夹角45线附近。 3.要求过渡过程尽快结束，则系数要求过渡过程尽快结束，则系数ak要小。要小。4.主导极点与偶极子主导极点与偶极子 主导极点主导极点 偶极子：一对靠得很近的闭

36、环零、极点偶极子：一对靠得很近的闭环零、极点5. 不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。不能忽略的闭环零点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度加快，超调量增大，可使系统响应速度加快，超调量增大，在一定条件下调节时间缩短。在一定条件下调节时间缩短。 dttcdztctc)(1)()(116.不能忽略的闭环不能忽略的闭环极点对瞬态响应的影响。极点对瞬态响应的影响。可使系统响应速度减慢，超调量减小，可使系统响应速度减慢，超调量减小，调节时间加长。调节时间加长。111)()(1spscscnkjjjkkmiikkssszska11)()(应使分母大，分子小。应使分母大，分子小。四、利用闭环主导极点估算系统

37、的性能指标四、利用闭环主导极点估算系统的性能指标解：闭环极点有解：闭环极点有3个：个：-1.5 ，-5j8.66 实数极点可看作是主导极点。则实数极点可看作是主导极点。则试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标%，ts 。) 11 . 001. 0)(167. 0(1)(2ssss例例4-16 某系统闭环传递函数某系统闭环传递函数动态性能指标动态性能指标 %=0 ts =3t=30.67=2秒秒 (=5%)167.0(1)(ss解：闭环极点有解：闭环极点有3个：个：-1.5 ，-5j8.66 闭环零点有闭环零点有1个：个：-1.7 实数零、极点构成偶极子。则实数零、极点构成偶极

38、子。则试近似计算系统的动态性能指标试近似计算系统的动态性能指标%，ts 。) 11 . 001. 0)(167. 0(159. 0)(2sssss例例4-17 某系统闭环传递函数某系统闭环传递函数动态性能指标动态性能指标 %=16.3% ts =0.6秒秒 (=5%)11 . 001. 01)(2sss=0.5，n=10kkssskgh2,)2)(1(式中(1)画根轨迹画根轨迹=0.5 =60s1,2= - 0.33j0.58 试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭试应用根轨迹法分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点具有阻尼比为环主导极点具有阻尼比为0.5时的性能指标时的性能指标。 ) 15

39、. 0)(1(sssk解:例例4-18 一系统的开环传函为一系统的开环传函为(2)分析系统稳定性分析系统稳定性 0k3(3)由由=0.5确定闭环主导确定闭环主导极点极点s1,s2的位置的位置-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.4146004453. 066. 0)(221ssssss用根之和公式，计算用根之和公式，计算s3：-0.33-j0.58-0.33+j0.58+ s3 =0-1-2 , s3 =-2.34 2.34/0.33=7 ,由闭环主导极点由闭环主导极点s1,s2确定响应确定响应-1-2-0.42j1.414k=6k=6-j1.41460445. 0667. 0445. 0)(667. 02667. 0,445. 022sssnnn则取 93%3 .16%21秒nste关于绘制根轨迹的几点说明：l闭环极点相同而闭环零点不同的系统，它们的闭环极点相同而闭环零点不同的系统，它们的根轨迹可能相同，但其瞬态响应是不同的。根轨迹可能相同，但其瞬态响应是不同的。l开环零、极点位置微小的变化可能引起根轨迹开环零、极点位置微小的变化可能引起根轨迹形状较大的变化。形状较大的变化。 如：图如：图a a是某系统的根轨迹，当开环零点右移，是某系统的根轨迹，当开环零点右移，根轨迹的形状发生了较大变化，如图根轨迹的形状发生了较大变化，如图 b b所示。所示。 j