概率论与数理统计_第1章3节

1、 前面讲到：前面讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件事件就是某些样本点组成的集合，事件之间的运算也就是集合运算之间的运算也就是集合运算. 前苏联学者柯尔莫哥洛夫于前苏联学者柯尔莫哥洛夫于1933年在年在概率论基概率论基础概念础概念一书中，用一书中，用公理化的方法与集合论的观点公理化的方法与集合论的观点成功地解决了这一问题，提出了成功地解决了这一问题，提出了概率空间概率空间的概念的概念. 但是，并没有对但是，并没有对事件的集合事件的集合进行限制进行限制. 对于事件，对于事件，一个很明显的要求就是一个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、所有事件组成的集合对于并、交、余这三种运算封闭交、余

2、这三种运算封闭.第一章 随机事件和概率一、概率空间及其三要素一、概率空间及其三要素1、样本空间、样本空间2、 与可测空间与可测空间F3、概率、概率P与概率空间与概率空间二、概率的可列可加性与连续性二、概率的可列可加性与连续性三、概率空间的实际例子三、概率空间的实际例子1.3 概率的公理化定义 概率空间第一章 随机事件和概率一、概率空间及其三要素一、概率空间及其三要素1、样本空间、样本空间 是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称为为样本点样本点，相应于随机试验的结果，相应于随机试验的结果.2、 与可测空间与可测空间F 我们把我们把事件事件A定义为定义为

3、的一个子集，它包含若干的一个子集，它包含若干样本点，事件样本点，事件A发生当且仅当发生当且仅当A 所包含的样本点中有所包含的样本点中有一个发生一个发生. 一般并不把一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将的一切子集都作为事件，因为这将对给定概率带来困难对给定概率带来困难.同时，又必须把问题中感兴趣同时，又必须把问题中感兴趣的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该为事件，也应该有相应的概率为事件，也应该有相应的概率. 中的元素称为中的元素称为事件事件，也，也称称 为为事件域事件域. . 称为称为必必然事件然事件， 称为称为不可能事件不可能事件

4、.FF 于是，我们把于是，我们把事件的全体记为事件的全体记为 ，它是由，它是由 的的某些子集构成的集合族某些子集构成的集合族，并且还应满足下面的，并且还应满足下面的条件条件：(i);F(ii);AAFF ;如果 ，那么 称满足上述条件的集合族为称满足上述条件的集合族为 域域，也称，也称 -代数代数.1(iii)1,2,;iiiAA如果 ，i那么 FF ; 很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的事件域中，事件的有限及可列交、并以及差有限及可列交、并以及差也都在事也都在事件域中件域中.F例例1 , F为一为一 -代数代数.例例2 ,A

5、A F为一为一 -代数代数.例例31,n F是由是由 的一切子集构成的一切子集构成.这时，这时， 是一个有限的集合，共有元素是一个有限的集合，共有元素2n 个个.F为一为一 -代数代数.F例例4F为一为一 -代数代数.可以验证可以验证对于一般的对于一般的 ，若，若 由由 的一切子集构成，的一切子集构成， F注注事件域可以很简单，也可以十分复杂，要根事件域可以很简单，也可以十分复杂，要根据据问题的不同要求问题的不同要求来选择适当的事件域来选择适当的事件域.把任一样本空间 ，以及由 的子集所组成的一个-代数 写在一起，记为F x，F结构的样本空间，简称为可测空间-，称为具有代数3、概率、概率P与概

6、率空间与概率空间（i）,( )0;AP A 非负性：有F 概率概率P 为定义在事件域为定义在事件域 上的函数上的函数，即它是一个从，即它是一个从 到到 的映射：的映射： ，且它满足，且它满足FF0,1:0,1PF（ii）( )1;P 规范性： 性质（性质（iii）也称为）也称为可列可加性可列可加性.11()()iiiiPAP A（iii）完全可加性：）完全可加性： 1,2,iijAiA Aij对于有F 称这样的称这样的P为可测空间为可测空间 上的一个概率测度上的一个概率测度 ，简称为简称为概率概率， 称为概率空间称为概率空间. ( ,) F( , )P F 数学上所说的“公理”，就是一些不加证

7、明而承认的前提，这些前提规定了所讨论的对象的一些基本关系和所满足的条件，然后以之为基础，推演出所讨论的对象的进一步的内容.几何学就是一个典型例子.成功地将概率论实现公理化的是现代苏联大数学家柯莫哥洛夫.值得赞赏的不止在于他实现了概率论的公理化，还在于他提出的公理为数很少且极为简单，而在这么一个基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 概率概率测度测度P P的性质与推广的性质与推广:1( )0;P 性质反之不然！12,2nAAA性质是两两互不相容事件 则（有限可加性）若)()()()(2121APAPAPAAAPnn3()()()()()ABP BAP BP AP BP A性质（减法公式）若，则有， 且

8、第一章 随机事件和概率1)(4AP性质; )(1)(5APAP性质6()( )( )()P A BP AP BP AB性质（一般加法公式）第一章 随机事件和概率重重 要要 推推 广广)()()()()()()()() 1ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP)()()()2ABPBPABP加法公式的推广（多除少补原理）加法公式的推广（多除少补原理）nnnkjikjinjijiniiniinAAAPAAAPAAPAPAPAAAn2111111211,有个事件对任意第一章 随机事件和概率提示：可用归纳法证明提示：可用归纳法证明推论推论 （次可加性）（次可加性）1211,nnniiiinAA

9、APAP A对任意 个事件有 利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路清晰，计算便捷清晰，计算便捷.例例5（匹配问题）匹配问题） 某人写好某人写好 n 封信，又写好封信，又写好 n 只信封，只信封，然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率有一封信放对的概率.（1708年为年为Montmort所解决，后所解决，后由由Laplace等人推广）等人推广）解解若以若以 Ai 记第记第i 封信与信封符合，则所求的事件为封信与信封符合，则所求的事件为12nAAA不难求得不难求得(1)!()

10、,!inP An(2)!(),!ijnP A An(3)!(),!ijknP A A An121, ()!nP A AAn12122 !1()!nnnnP AAACCnn因此因此313 !1( 1)!nnnCnn 11111( 1)2!3!nn 二、概率的可列可加性与连续性二、概率的可列可加性与连续性定义定义1若若 且且 ，则，则 是是 中的一个中的一个单调不减的集序列单调不减的集序列.,1,2,nAnF1nnAAnAF若若 且且 ，则，则 是是 中的一个中的一个单调不增的集序列单调不增的集序列.,1,2,nAnF1nnAAnAFlim()(lim)nnnnP APA定义定义2F对于对于 上的

11、集合函数上的集合函数 ，若它对，若它对 中任何一中任何一个单调不减的集序列个单调不减的集序列 均有：均有：FnA( )P 成立，则我们称成立，则我们称它是它是下连续的下连续的.（1） 若若（1）式对式对 中任何一个单调不增的集序中任何一个单调不增的集序列列 均成立，则我们称均成立，则我们称它是它是上连续上连续的的.FnA定理定理若若 为为 上满足上满足 的的非负集合函数非负集合函数，则，则它具有可列可加性的它具有可列可加性的充要条件充要条件为：为：PF( )1P （ii）它是下连续的它是下连续的.（i） 它是有限可加的；它是有限可加的；分析分析即要证明即要证明 1111()()1()()(li

12、m)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S .nS 提示提示()101,nniiiSSSS其中-=-= U因为因为,nS 故故且且()111limnniinniSSSS-=-UU其中其中 互不相容，互不相容， 为单调不减的集序列，即为单调不减的集序列，即 nSiA证明证明（1）已证明，下面证明（）已证明，下面证明（2）.1limniniPSPS 1111()()1()()(lim)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S ( )11()iiiP SS11()()iiiP SP S11lim()()niiniP SP Slim().n

13、nP S11()iiiPSS0S = （2）得证）得证.nS 其中其中 互不相容，互不相容， 为单调不减的集序列，即为单调不减的集序列，即 nSiA 1111()()1()()(lim)lim()2nniiiinnnnnnnnPAP APAP APSP S 11limniiniiPAPA(2)1limniniPA.nS 其中其中 互不相容，互不相容， 为单调不减的集序列，即为单调不减的集序列，即 nSiA(1)1limniniP A1.iiP A这样，我们便证得这样，我们便证得 式式.( )*11.niinP A因对，有推论推论1 概率是下连续的概率是下连续的.推论推论2 概率是上连续的概率是

14、上连续的.证明证明11 lim()1niniP APA lim()(lim)nnnnP APA因而因而设设nA ，则则nA ，这样，由推论这样，由推论1可知：可知：1()iiPA1iiPA即即1lim()niniP APAlim.nnPA三、概率空间的实际例子三、概率空间的实际例子( , )P F 在柯尔莫戈罗夫得的概率论公理化结构中，称三元在柯尔莫戈罗夫得的概率论公理化结构中，称三元总体总体 为概率空间，其中为概率空间，其中 为样本空间，为样本空间， 为为事件域，事件域， 为概率，为概率，它们都认为是给定的，并以此为它们都认为是给定的，并以此为出发点讨论种种问题出发点讨论种种问题.至于实际问

15、题中，如何选定至于实际问题中，如何选定 ，怎样构造怎样构造 ，怎样给定，怎样给定 ，要视具体情况而定，要视具体情况而定.FPFP例例6 Bernoulli概率空间概率空间 ,A A F取取 ，其中，其中 为为 的非空真子集的非空真子集.任取任取两个正数两个正数 p 与与 q ( p+q=1 )，令，令 A()0, ( ), ( ), ( )1PP Ap P Aq P 易证此易证此P是一个概率测度，从而是一个概率测度，从而 是一个概是一个概率空间率空间.它是描述它是描述Bernoulli试验的概率空间试验的概率空间.( , )P F例例7 有限概率空间有限概率空间1,n 样本空间为样本空间为有限

16、集有限集的的一切子集（共一切子集（共2n 个）组成的集类个）组成的集类.F 事件域事件域 取为取为取取n个非负实数个非负实数12,np pp使121.nppp最后，对最后，对 的每一个子集的每一个子集 ，令，令A( )iiAP Ap 易证此易证此P是一个概率测度，从而是一个概率测度，从而 是一个是一个 概率空间概率空间.( , )P F特别取特别取 ，就是，就是古典概型空间古典概型空间.1,1,2,ipinn（4）例例8 离散概率空间离散概率空间12, 样本空间为样本空间为可列集可列集取非负实数列取非负实数列np使使11.nnp再按（再按（4）式定义概率）式定义概率 ，则，则 是一概率空间是一

17、概率空间,称为离散概率空间称为离散概率空间. ( )P A( , )P F例例9 一维几何概率空间一维几何概率空间对每个事件对每个事件 ，取，取 ，则它为一概率，则它为一概率.A( )( )()m AP Am( , , )PF于是得到于是得到几何概型的概率空间几何概型的概率空间 .的的一切子集组成的集类一切子集组成的集类. 事件域事件域 仍取为仍取为F(,) 样本空间样本空间 为为 中的博雷尔点集，具有正的有限中的博雷尔点集，具有正的有限的的勒贝格测度勒贝格测度 .事件域事件域 取作取作 中的博雷尔集类中的博雷尔集类 . F( )m 从上面的例子可以看到下面两点：从上面的例子可以看到下面两点：

18、（1）选定了选定了 之后，对于事件概率的给定还有之后，对于事件概率的给定还有相当大的灵活性相当大的灵活性.因为只有这样，才能用概率空间来因为只有这样，才能用概率空间来描述不同的随机现象描述不同的随机现象.( ,) FA（2）事件事件 的概率不能任意给定的概率不能任意给定，即在事件域中，即在事件域中,各事件的概率有一定的关系，给定概率必须满足这各事件的概率有一定的关系，给定概率必须满足这些关系些关系.例例10 已知已知,5 . 0)()(BPAP证明证明)(BAP)(BAP)(1BAP)()()(1ABPBPAP)(ABP)()(BAPABP证明例例11,3 . 0)(, 6 . 0)(BPBAP已知()P AB求解解)()()(ABAPBAPBAP)()(ABPAP()( )( )()P ABP AP BP AB由于 ( )()0.60.30.3P AP AB所以()0.3P AB 选例选例例例12 已知已知,25. 0)()()(CPBPAP125. 0)(ACP,0)()(BCPABP求求 A,B,C 中至少有一个发生中至少有一个发生解解)(CBAP)()()(CPBPAP)()()(BCPACPABP)(ABCPABCAB由于()()=0P A