9讲-中心力场径向方程

1、1量子力学量子力学光电子学科与工程学院光电子学科与工程学院刘劲松刘劲松第九讲第九讲力学量完全集与守恒量力学量完全集与守恒量中心力场的径向方程中心力场的径向方程20、中心力场中的波函数（、中心力场中的波函数（1）+rrerV2)(氢原子中，电子的势能函数：氢原子中，电子的势能函数：半径。为BohraraererV02022, 10 ,)(碱金属原子中，电子的势能函数：碱金属原子中，电子的势能函数：它们都是球对称的，称之为中心力场。它们都是球对称的，称之为中心力场。30、中心力场中的波函数（、中心力场中的波函数（2）ErVrlrrrrlrrrrlrrrrprVrVrVpHHamiltonrV)(2

2、2)()(2)(2)(222222222222222222222能量本征方程标：的球对称性，采用球坐考虑到为中运动，则的粒子在中心势设质量为cossinrx sinsinry cosrz ？和本征值如何确定本征态E4目录目录一、态叠加原理与力学量完全集一、态叠加原理与力学量完全集二、守恒量与力学量完全集二、守恒量与力学量完全集三、守恒量与能级简并三、守恒量与能级简并四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程5一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（1）nnnnnnnnnnnaadraaAA1|,|,1223*且的概率是体系处于其中，函数可表示为描述体系状态的任一波和的本征

3、函数和本征值为设算符、态叠加原理的回顾6一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（2）22/2*32(1)1:(1/2),0,1,2,3,:( )(),0,1,2,na xnnnnnnnnnEnnxA eHax naadr 、波函数的展开（）对一维谐振子，能量本征值本征函数构成一组正交归一完备函数，任一函数可按来展开，即其中，展开系数7一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（3）/2(2)(1):(2)1( ),21( )()( )()21()( )2xxxxxixppxixpxpxxxixpxxepxpx dpp edppx edx 、波函数的展开一维谐

4、振子 离散情况。 动量本征态，连续情况本征函数为本征值（）它们也能构成正交完备态矢，因为从数学上讲，按傅立叶展开定理，任何平方可积函数均可展开如下：其中，展开系数为从态叠加原理出发：是描述体系状态的一个波函数8一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（4）何？那么，存在简并时，如的概率。下测得在状态其中，均可展开如下：何状态一完备态矢，系统的任能构成一组正交归都是不简并的，则如果的本征态与本征值，是算符和）一般情况：（动量本征态：连续谱离散谱。对一维谐振子、波函数的展开1|,)(,3)2(:) 1 ()3(2223*nnnnnnnnnnnnnaAadraaxAAA9一、态叠加

5、原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（5）dkxkkxxECeCeEmkECempHEikxEikxEikxEx),()()(),(2/,2/)4(:) 3()2(:) 1 ()4(2222一般情况下，则是二重简并的本征值两个本征态和本征值本征态况一维自由粒子：简并情不简并；一般情况动量本征态：连续谱离散谱；对一维谐振子、波函数的展开10一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（6）*222(5)( ),( )( )( , )|0EEEikxEikxExxkk x dkECedCed 、波函数的展开如果本征值 是简并的，则一般情况下，为什么？是因为属于同一个本征值

6、的本征态之间的正交性得不到保证。例如，一维自由粒子，两个本征态，则11一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（7）2(6)( ),( )( )( , ),0,(,)12ikxEikxEEkCeHCexxkk x dkH AH AEA、波函数的展开注意一维自由粒子的本征态是哈密顿算符的本征态。对来说，虽然对于但是 可以寻找另外的算符A 若则有可能用A的本征值对的共同本征函数进行分类，从而使同一个对应的简并态之间的正交性得到保证。问题是，、能找到这样的 吗？ 、如何进行分类？12一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（8）dkkxkCxdkkxkCxxkxk

7、xmkEkxCpmkEkxCppPPPHPHP)cos()()()sin()()(),()cos()sin(2/),sin(1,2/),cos(1110,)7(22222或有是正交归一完备的，和奇宇称偶宇称，可将他们划分为两类和的本征值按不简并和两个共同本征函数：拥有和，为宇称算符，不难证明设、波函数的展开奇偶奇偶13一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（9）1231232223(,),(,)(1),kkkkklmlmzklmzlmlmA A A AaA A Al Yl lYllYl Ym Yklm k 、力学量完全集设有一组彼此对易的厄密算符，它们拥有共同本征函数若构成

8、正交归一完备集，使得任给体系的一个量子态 ，总有则称构成体系的一组力学量完全集。如，和 的共同本征态一组量子数的笼统记号14一、态叠加原理与力学量完全集（一、态叠加原理与力学量完全集（10）集。构成体系的力学量完全如一维自由粒子，来展开函数可以用它们的共同本征，都集。体系任一量子态构成体系的力学量完全对易，而与量，其算符找到其它的力学的本征值简并，总可以）若体系（维谐振子。的力学量完全集，如一自身就构成体系集，此时就能构成正交归一完备应的本征函数的本征值不简并，其对）若体系（：个重要课题。可以证明寻找力学量完全集是一完全集、哈密顿算符与力学量),(),(,214321321pHaAAAHHAA

9、AHHHkkkk 15二、守恒量与力学量完全集（二、守恒量与力学量完全集（1）tAiHAAiHtAtAAttAdtdHtidrttAtttAttAA,)()()()()()(),()() 1 (13*含时薛定格方程下的平均值为在下，算符体系处于量子态依赖特性、力学量平均值的时间16二、守恒量与力学量完全集（二、守恒量与力学量完全集（2）,1)(0,1, ,1,1,1,)()2(1HAitAdtdtAtAtAHAitAHAitAHAiAHitAiHAAiHtAdtd，有，即不显含若依赖特性、力学量平均值的时间17二、守恒量与力学量完全集（二、守恒量与力学量完全集（3）。也可称为守恒量完全集能构成

10、力学量完全集，则如果为守恒量和。即，量为体系的一个守恒量对应的力学称此时都不随时间改变平均值下的在任何态若，有若集、守恒量与力学量完全),(0,0)(0)(0,1)(02HAAHAtAAAtAtAdtdHAHAitAdtdtA18三、守恒量与能级简并（三、守恒量与能级简并（1）, ,0, ,0, ,0 ,0, ,0,HFGF HG HG FF HFHHEFFG HHGGHGEEGHGEGGHE 能级是否简并，决定了 能否单独构成力学量完全集。【定理】设体系有两个彼此不对易的守恒量 和即但，则体系能级是简并的。【证】和有共同本征函数又也是 的对应本征值 的本征态。一个EG对应和两个态能级是简并的

11、。19三、守恒量与能级简并（三、守恒量与能级简并（2） ,0, ,0, ,0 ,0,F HG HG FEGGG FFGGFGFFGGFFG 【定理】设但，则体系能级是简并的。【证】 一个 对应和两个态能级是简并的。但和是否为同一个态？不是 的本征态 但是 的本征态，和不是同一个态。 能级是简并的20四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(1)？和本征值如何确定本征态能量本征方程标：的球对称性，采用球坐考虑到为中运动，则的粒子在中心势设质量为EErVrlrrrrlrrrrlrrrrprVrVrVpHHamiltonrV)(22)()(2)(2)(2222222222222222222222

12、1四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(2)nnnnnnnnnnkBBAAEHBAHHHzyxllHllErVrlrrr,),(,0,0,)(2222222找到其共同本征函数力学量完全集寻求全集自身不能构成力学量完得不到保证简并态之间的正交性来说，属于同一能级的函数自身的本征对体系能级是简并的和明：是角动量算符，可以证设能量本征方程22四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(3)?.,.,),(, 0,0,，如何寻找正交性问题得到保证。于同一能级的简并态的进行分类，从而使得属对，用可能是简并的，但可以对尽管找到其共同本征函数寻求力学量完全集体系能级是简并的和BABAEBBAAEH

13、BAHzyxllHlnnnnnnnnnnnnnnn23四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(4)2222222,0, 0,( , , )( ) ( , )( , )(1),0,1,2,1,zzlzzlmlmlmzlmlmlHllHllrR r fllllYl Yl lYl Ym Ylml ll 为寻求力学量完全集 考虑到且（ ，）组成完全集，设其共同本征函数为（球坐标）注意，球坐标下，和 只对 和起作用，且和 拥有共同本征函数：球谐函数( , )( , )( , , )( )( , )lmllmfYrR r Y ，即为什么？24四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(5)2222

14、222222( , , )( ) ( , )(, ),( , , )( ) ( , )( )( , )( , , )( , , )( ) ( , ),( , )( , ),(1),lzzzzllllmlmrR r fHlllLlllllrl R r fR r l flrLrLR r fl fLfl Yl lYf 是，的共同本征函数，则球坐标下，和 只对和起作用，有2( , )( , )(1)lmzYLl llm ，同理可证，25四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(6)mlYfYmYlflflfrRlrlrlflrRfrRlrlllllLlllHfrRrzlmlmlmzzzlzzzzllzzzzzzl，有起作用，和只对和球坐标下，本征函数，则的共同，是),(),(,),(),(),()(),(),(),()(),()(),(,),(),()(),(22226四、中心力场的径向方程四、中心力场的径向方程(7)的形式取决于径向波函数其中，或得到径向方程代入将)()()()(0)() 1()(2)(0)() 1()(2)(2)()(22),()(),(),(22