复变函数与积分变换6.3分式线性映射

1、1第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 6.3 分式线性映射分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式一、分式线性映射的一般形式 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 三、三、保形性保形性 四、保圆性四、保圆性 五、保对称点性五、保对称点性 六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性映射的条件 七、两个典型区域间的映射七、两个典型区域间的映射 2第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 一、分式线性映射的一般形式一、分式线性映射的一般形式 定义定义 ( ( 为复数且为复数且 ) ) dzcbzaw dbca 由分式线性函数由分式线性函数 dcba,构成的映射，称为构成的映射，称为

2、分式线性映射分式线性映射； 特别地，若特别地，若 ,0 c则称为则称为( (整式整式) )线性映射线性映射。 (2) 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射：分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射： (1) 两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射；两个分式线性映射的复合，仍是一个分式线性映射； 注注 3第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 分析分析 分式线性函数分式线性函数 可改写为：可改写为： dzcbzaw dzcbczcacw 10 c(1) 当当 时，时， (2) 当当 时，时， 0 c;1dzccdabcca dzcbcadd

3、zcac )(1.)(abzda dbzaw 4第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 分析分析 因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种因此，一个一般形式的分式线性映射可以由下面四种 最简单的分式线性映射复合而成。最简单的分式线性映射复合而成。 ,bzw (1) ( ( b 为复数为复数 ) )； ,0ezwi (2) ( ( 为实数为实数 ) )； 0 ,zrw (3) ( ( r 为正数为正数 ) )； 复合成复合成( (整式整式) )线性映射。线性映射。 在后面的讨论中，有时会根据需要，只对在后面的讨论中，有时会根据需要，只对( (整

4、式整式) )线性映射线性映射 和第和第 (4) 种映射分别进行讨论。种映射分别进行讨论。 复合成分式线性映射。复合成分式线性映射。 (4) . wz15第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 1. 平移映射平移映射 ,bzw ( ( b 为复数为复数 ) ) ,v iuw ,21bibb ,yixz 令令 ,1bxu .2byv 则有则有 向量向量 的方向平移一段距离的方向平移一段距离 . b|b 它将它将点集点集( (点点 曲线曲线 区域等区域等) )沿着沿着 、 、 下面分别对四种映射进行讨论。为了比较映射前后的变化，下面分别对四种映射进行讨论

5、。为了比较映射前后的变化， 将将 w 平面与平面与 z 平面放在同一个平面上。平面放在同一个平面上。 6第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 2. 旋转映射旋转映射 旋转一个角度旋转一个角度 .0 它将它将点集点集( (点点 曲线曲线 区域等区域等) ) 、 、 ,0ezwi ( ( 为实数为实数 ) ) 0 令令 ,|e izz 则有则有 .|)(0e izw 当当 时，沿逆时针旋转；时，沿逆时针旋转； 00 当当 时，沿顺时针旋转。时，沿顺时针旋转。 00 7第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解

6、 3. 相似映射相似映射 其特点是保持点的辐角不变，其特点是保持点的辐角不变， ,zrw ( ( r 为正数为正数 ) ) 令令 ,|e izz 则有则有 .|e izrw 但模扩大但模扩大( (或缩小或缩小) )r 倍倍。 它将曲线或者区域它将曲线或者区域相似相似地地扩大扩大( (或缩小或缩小) )r 倍倍。 特别适合于过原点特别适合于过原点( (或含原点或含原点) )的曲线或区域。的曲线或区域。 8第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 单位圆外单位圆外( (或内或内) )，且辐角反号。，且辐角反号。 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 4. 反演反演( (或倒数或倒数) )映射

7、映射 它将单位圆内它将单位圆内( (或外或外) )的点映射到的点映射到 令令 ,|e izz wz1则有则有 .)(e i w|z1 如图，如图，反演反演( (或倒数或倒数) )映射映射通常还可以分为两步来完成：通常还可以分为两步来完成： (1) 将将 映射为映射为 z,1w满足满足 ,|1 w|z1;argarg1zw (2) 将将 映射为映射为 1w,w满足满足 , |1ww .argarg1ww 9第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 圆周对称的概念圆周对称的概念 定义定义 设某圆周设某圆周 c 的半径为的半径为 r ， 则称则称 a 和和

8、 a , b 两点位于从圆心两点位于从圆心 o 5. 两个特殊的对称映射两个特殊的对称映射 自然地，规定圆心自然地，规定圆心 o 与无穷远点与无穷远点 关于该圆周对称。关于该圆周对称。 c b a r o b 是是关于圆周关于圆周 c 对称对称的。的。 出发的射线上出发的射线上(如图如图)， 且且 ,2roboa t p145定义定义 6.3 10第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射关于单位圆周的对称映射 wz1令令 ,|e izz 则有则有 .e i w|z1,| w|

9、z1;argargzw 即即 (2) 关于实轴的对称映射关于实轴的对称映射 zw 令令 ,|e izz 则有则有 .|)(e izw, |zw .argargzw 即即 zwzz11第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 二、分式线性映射的分解二、分式线性映射的分解 5. 两个特殊的对称映射两个特殊的对称映射 (1) 关于单位圆周的对称映射关于单位圆周的对称映射 wz1(2) 关于实轴的对称映射关于实轴的对称映射 zw z w共形映射来使用。共形映射来使用。 注意注意 上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为上述两个映射并不是解析的，因此它们不能单独地作为 映射的变化过程。映射的变化过

10、程。 ; z1. w, wz1 即即 其主要作用是为了能更好地看清倒数其主要作用是为了能更好地看清倒数 12第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解解 izzw 2iziiz 222izi 22.1222eizi z1ziz 平移平移 2z1z1倒数倒数 3z22ezi 旋转旋转 4z32z相似相似 w24 z平移平移 比如比如 0 z;0 w(1) iz ;1 w(2) 2 ii211 i2i1 i p43 例例6.5 13第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 则点则点 对应于点对应于点 z.0 记为记为 , )( 因此，因此，函数函数 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 )(z

11、f z函数函数 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。 )( 0 三、三、保形性保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。某些技术处理和补充说明。 z1令令 , 即即 , z 1则则 “认为认为” 函数函数 在无穷远点在无穷远点 也也解析解析。 )(zf z比如比如 若函数若函数 在原点在原点 解析解析， )( 0 (1) 对于函数对于函数 , )(zf fzf )( 1则有则有 思想思想 ( (回顾回顾) ) 其思想已在其思想已在5.2 节中介绍过。节中介绍过。 14第六章 共形映射 6.3

12、分式线性映射 则点则点 对应于点对应于点 z.0 三、三、保形性保形性 为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行 某些技术处理和补充说明。某些技术处理和补充说明。 z1令令 , 即即 , z 1思想思想 ( (回顾回顾) ) 其思想已在其思想已在5.2 节中介绍过。节中介绍过。 曲线曲线 在无穷远点在无穷远点 的的性态性态可由可由 c z像曲线像曲线 在原点在原点 的的性态性态来刻画。来刻画。 0 比如比如 z 平面上两曲线在无穷远点的平面上两曲线在无穷远点的交角交角， (2) 对于对于 平面上过无穷远点平面上过无穷远点 的曲线的

13、曲线 c ， z z它们在映射它们在映射 下的像曲线在原点的下的像曲线在原点的交角交角。 z1同样有同样有 可定义为可定义为 15第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、三、保形性保形性 1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz1由此，由此，倒数映射在扩充复平面上是倒数映射在扩充复平面上是双方单值双方单值的的。 (1) 当当 且且 时，时， z0 z 单值性单值性 当当 时，时， 当当 时，时， z0 z. w;0 w规定：规定： 解析性解析性 函数函数 解析解析，且，且 wz121zdzdw .0 (2) 当当 时，时， z令令 , z1则则 )( w, 函数函数 在在 处处 解析

14、解析，且，且 1)0( .0 0 )( 倒数映射倒数映射 在扩充复平面上除在扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 wz10 z16第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、三、保形性保形性 1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz1倒数映射倒数映射 在扩充复平面上除在扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 wz10 z映射映射 在在 w 扩充复平面上除扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 zw10 w同理，同理， 映射映射 在在 处是处是共形映射共形映射， zw1 w特别有，特别有， 倒数映射倒数映射 在在 处是处是共形映射共形映射。 wz10 z结论结论 倒数映射倒数

15、映射 在扩充复平面上是在扩充复平面上是共形映射共形映射。 wz1由此即得：由此即得： 17第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、三、保形性保形性 1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz1由此，由此，线性映射在扩充复平面上是线性映射在扩充复平面上是双方单值双方单值的的。 当当 时，时， z 单值性单值性 当当 时，时， z. w规定：规定： 解析性解析性 2. 线性映射线性映射 的保形性的保形性 )0( , abzaw函数函数 解析解析，且，且 adzdw .0 bzaw 线性映射线性映射 在扩充复平面上除在扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 zbzaw ( (结论同上结论

16、同上, 跳过跳过?)?)18第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、三、保形性保形性 1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz12. 线性映射线性映射 的保形性的保形性 )0( , abzaw线性映射线性映射 在扩充复平面上除在扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 zbzaw 当当 时，时， z令令 , z1, w1函数函数 在在 处处 解析解析，且，且 )0( ,0 0 )( a1则则 ,)(ab , w 1;0)0( 且且当当 时，时， 0 因此，因此， 0 )( 映射映射 在在 处是处是共形映射共形映射, 19第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 三、三、保形性保形性

17、1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz12. 线性映射线性映射 的保形性的保形性 )0( , abzaw线性映射线性映射 在扩充复平面上除在扩充复平面上除 外是外是共形映射共形映射。 zbzaw 当当 时，时， z令令 , z1则则 ,)(ab , w1, w 1映射映射 在在 处是处是共形映射共形映射, 0 )( ;0)0( 且且 又映射又映射 在在 处也是处也是共形映射共形映射， 0 w 1线性映射线性映射 在在 处是处是共形映射共形映射。 zbzaw 结论结论 线性映射线性映射 在扩充复平面上是在扩充复平面上是共形映射共形映射。 bzaw 即得：即得： 20第六章 共形映射 6.

18、3 分式线性映射 三、三、保形性保形性 1. 倒数映射倒数映射 的保形性的保形性 wz12. 线性映射线性映射 的保形性的保形性 )0( , abzaw3. 分式线性映射的保形性分式线性映射的保形性 由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合，由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合， 因此就得到了如下定理因此就得到了如下定理。 定理定理 分式线性映射在扩充复平面上是分式线性映射在扩充复平面上是共形映射共形映射。 注意注意 该定理不仅从该定理不仅从理论上理论上确保了分式线性映射是确保了分式线性映射是共形映射，共形映射， 而且其中的而且其中的保角性保角性在分式线性映射的构造中非常实

19、用。在分式线性映射的构造中非常实用。 p146 定理定理6.5 21第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性四、保圆性 1. 倒数映射倒数映射 的保圆性的保圆性 wz1分析分析 ,0)(22 dycxbyxa,0)(22 avcubvud令令 ,viuw ,yixz viuyix 1由由 有有 zw1,2222vuvivuu .22vuvy ,22vuux ( a ) 将将 ( a ) 式代入，即得到其像曲线所满足的方程为：式代入，即得到其像曲线所满足的方程为： ( (当当 时为直线时为直线 ) )， 0 a( (当当 时为直线时为直线 ) )。 0 d对于对于 平面上一个任意给定的

20、圆：平面上一个任意给定的圆： z22第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性四、保圆性 1. 倒数映射倒数映射 的保圆性的保圆性 wz12. 线性映射线性映射 的保圆性的保圆性 )0( , abzaw由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆，由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆， 线性映射可分解为线性映射可分解为平移映射平移映射 旋转映射旋转映射和和相似映射相似映射的复合的复合 , , 、3. 分式线性映射的保圆性分式线性映射的保圆性 约定约定 将直线看作是半径为无穷大的将直线看作是半径为无穷大的圆圆。 将圆映射为圆。将圆映射为圆。 因此线性映射能因此线性映射能 p147 定理定理6.6 2

21、3第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性四、保圆性 3. 分式线性映射的保圆性分式线性映射的保圆性 定理定理 在扩充复平面上，分式线性映射能在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆把圆变成圆。 约定约定 将直线看作是半径为无穷大的将直线看作是半径为无穷大的圆圆。 (1) 如果给定的圆如果给定的圆( (或直线或直线) )上没有点映射成无穷远点，上没有点映射成无穷远点， 注注 则它就映射成半径有限的圆；则它就映射成半径有限的圆； (2) 如果给定的圆如果给定的圆( (或直线或直线) )上有一点映射成无穷远点，上有一点映射成无穷远点， 则它就映射成直线；则它就映射成直线； ( (精彩之处

22、精彩之处 ) ) ！(3) 对称映射对称映射 和和 也具有保圆性。也具有保圆性。 wz1zw 24第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 四、保圆性四、保圆性 在分式线性映射下，求圆在分式线性映射下，求圆( (或圆弧段或圆弧段) )的像曲线的方法的像曲线的方法 方法一方法一 分解为四种简单映射的复合。分解为四种简单映射的复合。 方法二方法二 利用保圆性，选三点定圆。利用保圆性，选三点定圆。 对于圆弧段对于圆弧段( (或直线段或直线段) )，两个端点必须选定，两个端点必须选定。 方法三方法三 综合利用保圆性与保角性。综合利用保圆性与保角性。 (1) 找出原像曲线中的一些找出原像曲线中的一些 “特

23、殊点特殊点” 所对应的像点，所对应的像点， 从而能够大致地确定出像曲线的位置。从而能够大致地确定出像曲线的位置。 (2) 找出一些找出一些 “特殊曲线特殊曲线” ( (如坐标轴等如坐标轴等) )所对应的像。所对应的像。 (3) 由原像之间的关系由原像之间的关系( (如夹角等如夹角等) )确定像之间的关系。确定像之间的关系。 25第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解解 方法一方法一 分解为四种简单映射分解为四种简单映射 .1222eizwi z1z2z3z4zwiz 32z24 z22ezi 1z1平移平移 倒数倒数 旋转旋转 相似相似 平移平移 iz 平移平移 1z1倒数倒数 32z相似

24、相似 24 z平移平移 22ezi 旋转旋转 ii21 121i 2p147 例例6.6 修改修改 26第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解解 方法二方法二 利用保圆性，直接三点定圆利用保圆性，直接三点定圆 i 1i 1i5256 2 找找 三三 点点 i 2i 1i2123 2 另另 找找 三三 点点 i12i 1i 2 ( ( 不是蛮好直接定圆不是蛮好直接定圆 ) ) ( ( 可以了，可以了，okok了了) ) 27第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解解 方法三方法三 借助特殊点和特殊曲线借助特殊点和特殊曲线 (3) 由于由于 和和 在在 点点正交正交， cciz (1) 特殊

25、点特殊点 故故 和和 在在 点点正交正交； 1 w故其像曲线故其像曲线 是经过是经过 两点的圆两点的圆( (或直线或直线) )； 2, 1,c将虚轴记为将虚轴记为 在直线在直线 c 上取两点上取两点 和和 i, ,2, 1 , i由于由于 (2) 特殊线特殊线 则其像曲线则其像曲线 为实轴；为实轴； cci21 ( (?) ) 28第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 解解 首先作一个简单的定性分析首先作一个简单的定性分析 (3) 由于由于 被映射为被映射为 被映射为被映射为 0， , i i被映射为从原点出发且相互被映射为从原点出发且相互垂直垂直的两条射线。的两条射线。 (1) 区域区域

26、d 的边界的边界 和和 是是圆弧圆弧段，段， 1c2c且且 和和 的的交角交角为为 90 度；度； 1c2c(2) 由于所给的映射为分式线性映射，由于所给的映射为分式线性映射， 因此具有因此具有保圆保圆性与性与保角保角性；性； 12 21 i 1 i11c2c因此因此圆弧圆弧 和和1c2cp148 例例6.7 29第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 12 21 i i1c2c解解 方法一方法一 利用保圆性，直接三点定圆利用保圆性，直接三点定圆 12 i i 1c21 ii )1(ia 0)1(ia 0 2c.1)12()12(22 a其中其中 1 21 12 1 30第六章 共形映射 6.

27、3 分式线性映射 12 21 i i1c2c2解解 方法二方法二 利用保圆性，保角性利用保圆性，保角性 12 i i)1(ia 0 1c(1) 1(2) 由由 和和 在在 点正交，点正交， 1c2ciz (3) 由由 顺时针旋转顺时针旋转 90 度到度到 ， 1c2c知知 和和 在在 点正交；点正交； 120 w( (保大小保大小) ) 知知 顺时针旋转顺时针旋转 90 度到度到 。 12( (保方向保方向) ) 1 11 31第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 12 21 i i1c2c0c2解解 方法三方法三 借助特殊曲线借助特殊曲线 1 0 0(2) 由由 与与 的交角及位置关系，的

28、交角及位置关系， 21, cc0c知知 与与 的交角及位置关系，的交角及位置关系， 21, 0从而很容易地确定出从而很容易地确定出 和和 。 12(1) 将虚轴上从将虚轴上从 到到 的一段记为的一段记为 ,0ci i0ii 0c则则 1 1032第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 12 21 i i1c2c0c102中一个中一个交点交点 映射为无穷远点，映射为无穷远点， i 本例的重要启示本例的重要启示 (1) 区域区域 d 很特别很特别！ 圆弧围成，它们圆弧围成，它们相交相交于于 和和 ； i i(2) 映射很特别映射很特别！ 它的分母它的分母 将其将其 iz 它的分子它的分子 将另一个

29、将另一个交点交点 映映 iz i射为原点。射为原点。 顶点在原点的顶点在原点的角形域角形域。 1 1 它的边界由两段它的边界由两段 从而将区域从而将区域 d 映射为映射为 33第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 五、保对称点性五、保对称点性 引理引理 扩充复平面上两点扩充复平面上两点 关于关于“圆圆” c 对称的充要条件是对称的充要条件是 过过 的任意的任意“圆圆” 都与都与 c 正交。正交。 21, zz21, zz(1) 当当 c 为直线时，结论显然为直线时，结论显然( (?) )成立。成立。 (2) 当当 c 为半径有限的圆，为半径有限的圆， 且在且在 和和 中有一个中有一个 1z为

30、无穷远点时，为无穷远点时， 结论结论 2z显然显然( (?) )成立。成立。 c1z 2z1z2zcp149 引理引理6.1 ( (一道中学的几何题，跳过一道中学的几何题，跳过?)?)证明证明34第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 五、保对称点性五、保对称点性 引理引理 扩充复平面上两点扩充复平面上两点 关于关于“圆圆” c 对称的充要条件是对称的充要条件是 过过 的任意的任意“圆圆” 都与都与 c 正交。正交。 21, zz21, zz证明证明 且且 和和 均为有限点，均为有限点， (3) 设设 c 为半径有限的圆，为半径有限的圆， 1z2zcr 必要性必要性 “ ” 已知已知 关于关于

31、 c 对称，且对称，且 为过为过 的任意一个圆，的任意一个圆， 21, zz21, zz 当当 为直线时，为直线时， 如图，设如图，设 与与 c 交于交于 点，点， z故故 与与 c 正交。正交。 由切割线定理有，由切割线定理有， 为的为的 切线，切线， zo 即即 时，时， 显然与显然与 c 正交正交 ,zo 221rzozo 2则有则有 zo1z2z35第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 且且 和和 均为有限点，均为有限点， 五、保对称点性五、保对称点性 引理引理 扩充复平面上两点扩充复平面上两点 关于关于“圆圆” c 对称的充要条件是对称的充要条件是 过过 的任意的任意“圆圆” 都与

32、都与 c 正交。正交。 21, zz21, zz证明证明 (3) 设设 c 为半径有限的圆，为半径有限的圆， 1z2z充分性充分性 “ ” 已知过已知过 的任意圆都与的任意圆都与 c 正交，正交， 21, zz,2r zozozo21 由过由过 的的圆圆 与与 c 正交，正交， 21, zz又又 与与 c 正交，故正交，故 为的为的 切线，切线， zo故故 关于关于 c 对称。对称。 21, zz由切割线定理有由切割线定理有 cr zo1z2z21, zz故故 被被 c 隔开，隔开， 21, zz知知 与圆心与圆心 o 共线共线 36第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 五、保对称点性五、保

33、对称点性 的象点的象点 也关于象曲线也关于象曲线 对称。对称。 设点设点 关于圆周关于圆周 c 对称，则在分式线性映射下，它们对称，则在分式线性映射下，它们 21, zzc 定理定理 21, wwc c证明证明 (1) 设设 是过点是过点 的任意一个的任意一个“圆圆”， 21, ww 由于分式线性映射具有由于分式线性映射具有双方单值性双方单值性和和保圆性保圆性， 因此因此 的原像的原像 一定是过点一定是过点 的一个的一个“圆圆”； 21, zz2w1wo 1z2zop150定理定理 6.7 37第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 五、保对称点性五、保对称点性 (2) 根据引理的必要性可得，

34、根据引理的必要性可得， 与与 c 正交，正交， 由于分式线性映射具有由于分式线性映射具有保角性保角性，故，故 与与 正交，正交， c 再根据引理的充分性可得，再根据引理的充分性可得，点点 关于关于 对称。对称。 21, wwc 的象点的象点 也关于象曲线也关于象曲线 对称。对称。 设点设点 关于圆周关于圆周 c 对称，则在分式线性映射下，它们对称，则在分式线性映射下，它们 21, zzc 定理定理 21, ww c 1w2wc1z2z 证明证明 oo 38第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 分析分析 六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性映射的条件 分式线性映射分式线性映射 中

35、含有四个常数中含有四个常数 dzcbzaw .,dcba 如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将 分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式 线性映射。线性映射。 p151定理定理 6.8 39第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性映射的条件 设分式线性映射为设分式线性映射为 ， dzcbzaw 证明证明 ( (仅证明存在性仅证明存在性) ) ,111

36、dzcbzaw 代入条件得代入条件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,11dzczzdzcbcad dzcbzadzcbzaww 111,222dzczzdzcbcadww 同理同理 ,122121dzcdzczzzzwwww 40第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 设分式线性映射为设分式线性映射为 ，六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性映射的条件 证明证明 dzcbzaw ,111dzcbzaw ( (仅证明存在性仅证明存在性) ) 代入条件得代入条件得 ,333dzcbzaw ,222dzcbzaw ,122121dzcdzczzzzwwww 同理同理

37、,1223132313dzcdzczzzzwwww ,:231321231321zzzzzzzzwwwwwwww 将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。 41第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 注注 (1) 由于分式线性映射具有保圆性，由于分式线性映射具有保圆性， 为过为过 三点的三点的圆圆。 把过把过 三点的三点的圆圆映射映射 直接应用于：直接应用于： 321,zzz321,www(2) 如果如果 和和 中有一个为中有一个为 321,zzz, 321,www将对应点公式中含有将对应点公式中含有 的项换成的项换成 1。 因此对应点公式通常因此对应点

38、公式通常 则只需则只需 p152推论推论 6.1 六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性映射的条件 42第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 特别地，特别地， 若若 ,)(,0)(21 zfzf.21zzzzkw 则则 ( (k 待定待定) ) k1z2z设设 为分式线性映射，且为分式线性映射，且 推论推论 )(zfw ,)(,)(2211wzfwzf 则它可表示为则它可表示为: ,2121zzzzkwwww ( ( k 为任意复常数为任意复常数 ) )。 非常实用非常实用 k,21zz各有妙用各有妙用 p152推论推论 6.2 六、唯一决定分式线性映射的条件六、唯一决定分式线性

39、映射的条件 43第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 例例 已知区域已知区域 , 0im,1|: zzzd求一分式线性映射，将区域求一分式线性映射，将区域 d 映射映射 为第一象限。为第一象限。 解解 方法一方法一 (1) 令令 1)1( zz ,11 zz 11 0 i11 2c01 1 1c则则 )( 2i 11 i 0 21 11c2c0)(zid这个可以没有)(w1 2 i1(2) 旋转旋转 iwe .11 zz可由保角性直接得可由保角性直接得 ,2p152 例例6.9 44第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 例例 已知区域已知区域 , 0im,1|: zzzd求一分式线性映射，

40、将区域求一分式线性映射，将区域 d 映射映射 1 11c2c解解 0)(zi)(w2 为第一象限。为第一象限。 d1 1故故 .11 zzw0 z,1 w再要求将再要求将 得得 ,1 k方法二方法二 令令 ,1)1( zzkwk 待定，待定， k1 1(2) 可否要求将可否要求将 或者其它点或者其它点? 0 z2 w思考思考 (1) 式子式子 中中 各自有何作用各自有何作用? k,1,1 1)1( zzkwk1 1如何进一步将其映射到上半平面或者单位圆如何进一步将其映射到上半平面或者单位圆? 问题问题 45第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 七、两个典型区域间的映射七、两个典型区域间的映射

41、 1. 将上半平面映射成单位圆域将上半平面映射成单位圆域 特点特点 这两个区域的边界都是这两个区域的边界都是圆圆。 求解求解 方法一方法一 ( ( 三点定圆三点定圆 ) ) 在实轴上和单位圆周上分别取三点：在实轴上和单位圆周上分别取三点： ,1,1321 wiww根据对应点公式有根据对应点公式有 ,11:10)(1)1(1:)()1( zziiww11.izizw 整理得整理得 显然，如果取另外的三点则会得到另外的结果。显然，如果取另外的三点则会得到另外的结果。 )(wi 11 )(zc 10,1,0321 zzz p153 例例6.10 46第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 七、两个典

42、型区域间的映射七、两个典型区域间的映射 1. 将上半平面映射成单位圆域将上半平面映射成单位圆域 特点特点 这两个区域的边界都是这两个区域的边界都是圆圆。 求解求解 方法二方法二 ( ( 求通式求通式 ) ) 根据前面的推论有根据前面的推论有 在上半平面任取一点在上半平面任取一点 0z,01 w由保对称点性，则有由保对称点性，则有 ,2 w0z( ( k 待定待定 ). ). ,00zzzzkw )(w11 )(zc00z0z047第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 七、两个典型区域间的映射七、两个典型区域间的映射 1. 将上半平面映射成单位圆域将上半平面映射成单位圆域 特点特点 这两个区域

43、的边界都是这两个区域的边界都是圆圆。 求解求解 方法二方法二 ( ( 求通式求通式 ) ) ( ( k 待定待定 ).). ,00zzzzkw )(w11 )(zc00z0zi0又当又当 在实轴上取值时，有在实轴上取值时，有 z00zzzz ,1 ,1| w,1| k,e ik 即即 特别，取特别，取 则得到方法一得结果。则得到方法一得结果。 ,0 , iz .00ezzzzwi 故故 48第六章 共形映射 6.3 分式线性映射 11 c11 七、两个典型区域间的映射七、两个典型区域间的映射 2. 将单位圆域映射成单位圆域将单位圆域映射成单位圆域 求解求解 ( ( 直接求通式直接求通式 ) ) 根据前面的推论有根据前面的推论有 在在 内任取一点内任取一点 0z,01 w1| z由保对称点性，则有由保对称点性，则有 ,2 w0z1( ( k 待定待定 ). ). ,0zzkw z0z1即即 ,1001zzzzkw ( ( 待定待定 ) ). 01zkk )(w )(z0z100zp154