高等数学大学课件97

1、第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第七节第七节 场论初步场论初步一、 场论知识简介 一、场概念一、场概念 1、定义、定义：场是发生物理现象的空间部分。像我们熟场是发生物理现象的空间部分。像我们熟悉的重力场、将要讨论的电磁场等。悉的重力场、将要讨论的电磁场等。2、分类分类: 可分为向量场和数量场。可分为向量场和数量场。向量场：反映场性质的量既有大小上的不同，也有向量场：反映场性质的量既有大小上的不同，也有方向上的差异。方向上的差异。数量场：反映场性质的量只有大小上的不同，没有数量场：反映场性质的量只有大小上的不同，没有方向上的差异。方向上的差异。场的变化规律的描述场的变化规律的

2、描述 散度：反映其通量源与场的关系散度：反映其通量源与场的关系向量场向量场 旋度：反映其漩涡源与场的关系旋度：反映其漩涡源与场的关系只有对场的散度和旋度同时确定后，其变化规只有对场的散度和旋度同时确定后，其变化规律才是确定的，缺一不可。律才是确定的，缺一不可。数量场数量场 梯度：反映数量场中各点沿某个方向变梯度：反映数量场中各点沿某个方向变化的快慢程度。是由数量场决定的一个向量函化的快慢程度。是由数量场决定的一个向量函数。数。定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 d 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点dyxp ),(，都可定出一个向量都可

3、定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxp的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .二、数量场的等值面与梯度 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.结论结论 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 g 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点gzyxp ),(，都可定

4、义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三、向量场的通量与散度设设有有向向量量场场kzyxrjzyxqizyxpzyxa),(),(),(),( 沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为1. 1. 通量的定义通量的定义: : rdxdyqdzdxpdydzdsnasda0称称为为

5、向向量量场场),(zyxa向向正正侧侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量. .设设有有向向量量场场),(zyxa, ,在在场场内内作作包包围围点点m的的闭闭曲曲面面 , , 包包围围的的区区域域为为v, ,记记体体积积为为v. .若若当当v收收缩缩成成点点m时时, ,极限极限vsdamv lim存在存在, ,则则称称此此极极限限值值为为a在在点点m处处的的散散度度, , 记记为为adiv. .2. 2. 散度的定义散度的定义: :散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dsvdvzryqxpn)( dsvvdvzryqxpvn1)(1 dsvvzryqxpn1)(),( dsvvzryqx

6、pnm1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zryqxpadiv 高斯公式可写成高斯公式可写成 dsadvadivn)coscoscos(0 rqpnaan 的边界曲面，的边界曲面，是空间闭区域是空间闭区域其中其中 .的外侧法向量上的投影的外侧法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 aan四、向量场的环流量与旋度.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场cardzqdypdxsdacakzyxrjzyxqizyxpzyxacc 1.

7、1. 环流量的定义环流量的定义: :sdrqpzyxkjisdac 环流量环流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(arotrqpzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 .)()()(kypxqjxrzpizqyr rqpzyxkjiarot 旋度旋度斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为kjit coscoscos 的的单单位位切切向向量量为为dsypxqxrzpzqyrcos)(cos)(cos)( dsrqp)coscoscos( 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstadsnarot dsadsarottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(ypxqxrzpzqyrnarotarotn coscoscosrqpnaat stokes公式的物理解释公式的物理解释:向量场向量场a沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场a的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量.(.( 的正的正向与向与 的侧符合右手法则的侧符合右手法则