大学高等数学ppt课件第五章2多元函数的偏导数VIP

1、l 对一元函数：对一元函数： yf x0000limxf xxf xfxx 导数导数描述了函数在描述了函数在0 xx处的瞬时处的瞬时变化率变化率，它的几何意义就是函数曲线上点它的几何意义就是函数曲线上点00,xf x处的处的切线的斜率切线的斜率。l 对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题，以二元函数以二元函数 为例，我们分别讨论：为例，我们分别讨论：,zf x yz相对于相对于xy以及以及z相对于相对于的瞬时变化率的瞬时变化率偏导数偏导数 偏导数的定义偏导数的定义 偏导数的定义偏导数的定义设函数设函数,zf x y在点在点00

2、,xy的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，00000,limxxf xf xyyx若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为00000000,x xx xxx xxy yy yy yzfzfxyxx或或00000,limyfyyyyxf x若若存在，则称此存在，则称此极限极限为为函数函数,zf x y在点在点00,xy处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作x函数函数,zf x y在点在点00,xy处处对对 的偏导数的偏导数，记作，记作y00000000,x xx xyx xyy yy yy yzfzfxyyy或或如果函数如果函数,zf x y在区域在区域 d 内每一点内每一点, x y处对处

3、对 和对和对 的的xy的偏导数都存在，那么我们就说函数的偏导数都存在，那么我们就说函数,zf x y在在 d 内可导，内可导，它在它在 d 内的偏导数仍是内的偏导数仍是x和和y的二元函数，称为的二元函数，称为偏导函数偏导函数，简称，简称偏导数偏导数，记为，记为,xxzfzfx yxx或或,yyzfzfx yyy求偏导方法求偏导方法：只需将：只需将其它变量视为常数其它变量视为常数，按一元函数求导则可。，按一元函数求导则可。 偏导数的定义偏导数的定义例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元函数的偏导数 221sincoszxyxy22cos2cossin2xzyxyxyxyx22cos2cossi

4、n1yzxxyxyxy 2arcsinxyzx e111arcsin12xxyyzex exyxx2arcsinxyzxx eyy解解 解解 例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元函数的偏导数 31yzxy11211yyxzyxyyyxylnln 1zyxy1ln 11yxzxyyzxy1ln 11yyxyzxyxyxy解解 例例1 求下列多元函数的偏导数求下列多元函数的偏导数 arctan4xyzux1221lnarctan1xyxyxyzz xzyxuzxx2lnarctanyxyuxxzyx12111xyxuxzzxz解解 222222,0,0,0 xyxyxyf x yxy例例2 讨

5、论讨论 在点在点0,0处的连续性和可导性。处的连续性和可导性。解解 令令,ykx则则222222000limlim11xxyxykxkxykxk 极限与有关，故极限不存在，即函数在点极限与有关，故极限不存在，即函数在点0,0处不连续。处不连续。但但000,00,0000,0limlim0 xxxfxffxx 000,00,0000,0limlim0yyyfyffyy 即函数在点即函数在点0,0处可导。处可导。 由此知，偏导存在未必连续。由此知，偏导存在未必连续。 高阶偏导数高阶偏导数 由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏由于二元函数的偏导数仍是二元函数，故可据实际需要再求偏导

6、数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶导数，称之为二阶偏导数，同理有三阶、四阶等等高阶偏导数。高阶偏导数。例例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数求下列二元函数的所有二阶偏导数 1ln2zxy12xzxy212xxzxy222xyzxy22yzxy242yyzxy222yxzxy解解 例例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数求下列二元函数的所有二阶偏导数 22x yze22x yzexyx22222242x yx yzex yyex222322x yx yzex yxex y 22x yzexy2242x yzx ey222322x yx yzex yxey x 若二元函数若二元函数,zf x y

7、的两个混合偏导的两个混合偏导22,zzx yy x 在区域在区域 d 上连续，则它们必相等。上连续，则它们必相等。解解 全微分的相关概念全微分的相关概念如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。如同一元函数，为解决函数增量的近似计算问题，引入全微分。设二元函数为设二元函数为 00( , ) , (,)fzf x yxyd全增量全增量：称：称 为函数在点为函数在点 处的全增量。处的全增量。 0000(,)(,)zf xyxxyfy 00(,)xy关于关于x的偏增量的偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处关于处关于x的偏增量。的偏增量。 0000(,)(,)yzf xf xxy00

8、(,)xy关于关于y的偏增量的偏增量：称：称 为函数在点为函数在点 处关于处关于y的偏增量。的偏增量。 0000(,)(,)zfyfyyxx 00(,)xy 全微分全微分,zf xyxyf x y 则称函数在则称函数在 处处可微可微，并称，并称, x y,a x yxb x yy 为函数在为函数在 处的处的全微分全微分，记为：，记为：, x y,dza x yxb x yy 显然有：显然有：zdz ,xya x yzb x yz又又10,01dxxyxdyxyy xydzz dxz dy22,a x yxb x yyoxy 可以表示成可以表示成 若二元函数若二元函数 在点在点 处的处的全增量全

9、增量( , )zf x y( ,)x y只要特取只要特取 即可以推出即可以推出0,0yx 全微分、偏导数、连续性之间的关系全微分、偏导数、连续性之间的关系 连续连续可微可微偏导存在偏导存在全微分存在全微分存在22,za x yxb x yyoxy 1212ln2xydzdxdy120.010.0212ln2 0.01 0.02xyxydz 例例1（1）xzx y求：求：11220.010.02,xxyyxydzdzdz 11ln2xxxdzyx yy dxx x ydyx 解解0.00391.011.01 (1.98)20.0035z 例例2 求函数求函数 的全微分的全微分 2sin2zxydz解解 因为因为 2