高等数学教学课件汇编12.2

1、第二节第二节两类问题两类问题: 在收敛域内在收敛域内和函数和函数)(xsnnnxa0幂级数求求 和和展展 开开本节内容本节内容:一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数的幂级数展开函数的幂级数展开 第十二章第十二章 一、泰勒一、泰勒 ( taylor ) 级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中其中)(xrn( 在在 x 与与 x0 之间之间)称为称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在则在若函数若函数0)(xxf在的

2、某邻域内具有的某邻域内具有 n + 1 阶导数阶导数, 此式称为此式称为 f (x) 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有该邻域内有 :)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为为f (x) 在点在点x0处处的的泰勒级数泰勒级数 . 记为记为 则称则称当当x0 = 0 时时, 泰勒级数又称为泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .若函数若函数的某邻域内具有任意阶导数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xf1) 对此级数对此级数, 它的收

3、敛域是什么它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上在收敛域上 , 和函数是否为和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :定理定理1 .各阶导数各阶导数, )(0 xu则则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的在该邻域内能展开成泰勒级数的充要充要条件条件是是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxrnn设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有(x)r)x(xi!)(xff(x)ni0n0i0(i),(x)r(x)sf(x)n1n即即)()(lim01xfxsnn )(limxrnn证明证明 则由则由f (x)

4、的泰勒公式知的泰勒公式知各阶导数各阶导数, )(0 xu设函数设函数 f (x) 在点在点 x0 的某一邻域的某一邻域 内具有内具有证明证明10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ,)!1(10 nxxmn,),()!1()(010收敛在nnnxx, 0)!1()(lim10nxxnn, 0)(lim xrnn故故.0的泰勒级数的泰勒级数可展成点可展成点x,)!1()(010r收敛半径nnnxx二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 直接展开法直接展开法: 利用泰勒公式利用泰勒公式间接展开法间接展开法:利用已知的幂级数展开式，通过利用已知的幂级数展开式，通过变量代换变量代换, 四

5、四则运算则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法,求所需函数的幂级数展开式求所需函数的幂级数展开式.(4) 写出函数写出函数f (x)的幂级数及收敛域的幂级数及收敛域 ,m(x)fr(n)nn或域0lim内讨论内讨论在收敛在收敛(3)(3)1. 直接展开法直接展开法;!)()1(0)(nxfann 求求(2) 写出写出f (x) 在点在点x0处处的的泰勒级数泰勒级数 )(xfi00i0(i)x(xi!)(xf并求出泰勒级数的收敛半径并求出泰勒级数的收敛半径 例例1. 将函数将函数xexf)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解: ,)()(xnexf

6、), 1 ,0(1)0()(nfn1xe其收敛半径为其收敛半径为 故故nrlim!1n! ) 1(1nx2!21x3!31xnxn!1对任何有限数对任何有限数 x , 其余项满足其余项满足 )(xrne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxnn0( 在在0与与x 之间之间),(!1! 2112 xxnxxenx例例2. 将将xxfsin)(展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nfx)sin(2 nx其收敛半径为其收敛半径为 ,r12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnxkn2,) 1(k,0)()(xfn因)2s

7、in( nx1 ),( xsin x1)!(2n1)(5!13!1sin12n1n53xxxxx),( xnnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出类似可推出:),(xn2xn!1)n(1)(x2!1)(x1x)(1称为称为二项展开式二项展开式 . 收敛区间收敛区间 :)()1 ()(的幂级数为展开成将xrxxf) 1 , 1(说明：说明：(1) 在在 x1 处的收敛性与处的收敛性与 有关有关 .(2) 当当 为正整数时为正整数时, 级数为级数为 x 的的 次多项式次多项式, 上式上式 就是代数学中的就是代数学中的二项式定理二项式定理.有有时时当当,21, 1 )

8、1 , 1()1(11132 nnxxxxx1,1!(2n)!3)!(2n1)(642314212111n1n32xxxxx1,1(!(2n)!1)!(2n1)(642531423121111nn32xxxxx) 11(1112xxxxxn2. 间接展开法间接展开法利用已知的幂级数展开式，通过利用已知的幂级数展开式，通过变量代换变量代换, 四四则运算则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分逐项积分等方法等方法,求所需函数的幂级数展开式求所需函数的幂级数展开式. xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例如例如211x x11例例3. 将函

9、数将函数展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解: 因为因为nnxxx) 1(12)11(x把把 x 换成换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得得例例4. 将将3412 xx展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1例例5将下列函数展开成将下列函数展开成 x 的幂级数的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nn