概率论与数理统计课件第6章

1、 数理统计问题：如何数理统计问题：如何选取样本选取样本来来对总体对总体的种种统计的种种统计特征特征作出判断作出判断。 参数估计问题：参数估计问题：知道知道随机变量（总体）的随机变量（总体）的分布类型分布类型，但但确切的形式不知道确切的形式不知道，根据样本来估计总体的参数根据样本来估计总体的参数，这，这类问题称为类问题称为参数估计参数估计（paramentric estimation）。）。参数估计的类型参数估计的类型点估计、区间估计点估计、区间估计 参数参数 的估计量的估计量 设总体的分布函数为设总体的分布函数为f(x, )（ 未知），未知），x1，x2，xn为样本，为样本，构造一个统计量构造

2、一个统计量 来来估计估计参数参数 ，则称，则称 为为参数参数 的估计量的估计量。12(,)nxxx12(,)nxxx将样本观测值将样本观测值 代入代入 ，得到的值得到的值 称为称为参数参数 的估计值的估计值。 12,nx xx12( ,)nx xx12(,)nxxx点估计点估计（point estimation)point estimation) ：如果：如果构造一个统计量构造一个统计量12(,)nxxx 来作为参数来作为参数 的估计量，则称为的估计量，则称为参数参数 的点估计的点估计。 区间估计区间估计（interval estimationinterval estimation） ：如果：

3、如果构造两个构造两个统计量统计量211212(,),(,),nnxxxxxx而用而用 来作为参数来作为参数 可能取值范围的估计，称为可能取值范围的估计，称为参数参数 的区间估计的区间估计。12( ,) 参数的点估计参数的点估计 点估计的方法点估计的方法：数字特征法、矩法、极大似然法数字特征法、矩法、极大似然法。 样本的数字特征法：样本的数字特征法：以样本的数字特征作为相应总体以样本的数字特征作为相应总体数字特征的估计量。数字特征的估计量。以样本均值以样本均值 作为总体均值作为总体均值 的点估计量的点估计量，即，即x11niixxn点估计值点估计值 11niixxn22211()1niisxxn

4、点估计值点估计值 以样本方差以样本方差 作为总体方差作为总体方差 的点估计量的点估计量，即，即2s222211()1niisxxn例例1 1 一批钢件的一批钢件的2020个样品的屈服点（个样品的屈服点（t/cmt/cm2 2）为）为4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 4.98 5.11 5.20 5.20 5.11 5.00 5.35 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 5.61 4.88 5.27 5.38 5.48 5.27 5.23 4.96 5.15 4.77 5.35 5.38 5.544.96 5.15 4.77

5、5.35 5.38 5.54试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。试估计该批钢件的平均屈服点及其方差。解解 由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为由数字特征法，得屈服点及方差的估计值为 2022211(5.21)0.04920 1iisx20115.2120iixx定义定义 设设 为随机变量，若为随机变量，若 存在，则称存在，则称 为为 的的 阶阶原点矩原点矩，记作，记作 ；若；若 存在，则称存在，则称 为为 的的 阶阶中心矩中心矩，记作，记作 x()ke xex()ke xxk()ke x()kkve xxk()ke xex()kkue xex样本的样本的 阶原点矩，记作阶原点矩，记作 k11

6、()nkkiibxxn样本的样本的 阶中心矩，记作阶中心矩，记作 k11nkkiiaxn阶矩的概念阶矩的概念 k参数的矩法估计参数的矩法估计 矩法估计矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量用样本的矩作为总体矩的估计量，即，即 1111, ()nnkkkkikkiiivaxubxxnn若总体若总体x的分布函数中含有的分布函数中含有m个参数个参数 1， 2， ， m，总体的总体的k阶矩阶矩vk或或uk存在，则存在，则1211( ,)nkkmiivxn (1,2,)km1211( ,)()nkkmiiuxxn (1,2,)km或或 参数的矩法估计参数的矩法估计 1211( ,)nkkmiivxn (

7、1,2,)km1211( ,)()nkkmiiuxxn (1,2,)km或或 得得m个方程构成方程组，解得的个方程构成方程组，解得的 即为参数即为参数12,m 12,m 的矩估计量，代入样本观测值，即得参数的矩估计量，代入样本观测值，即得参数的矩估计值。的矩估计值。 矩法估计矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量：用样本的矩作为总体矩的估计量，即，即 例例2 2 设某总体设某总体x的数学期望为的数学期望为ex= ，方差，方差dx= 2，x1，x2，xn为样本，试求为样本，试求 和和 2的矩估计量。的矩估计量。解解 总体的总体的k阶原点矩为阶原点矩为 1v22222()ve xdxex样本的样本

8、的k阶原点矩为阶原点矩为 1ax2211niiaxn由矩法估计，应有由矩法估计，应有 x22211niixn所以所以 x22211niixxn211()niixxn11niixxn22211()ninixxsn结论结论：不管总体：不管总体x x服从何种分布，总体期望和方差服从何种分布，总体期望和方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差的矩估计量分别为样本均值、样本方差，即，即估计值为估计值为 11niixxn2211()niixxn例例3 3 设设x1，x2，xn为为总体总体x的的样本，试求下列总体样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。分布参数的矩估计量。解解 （1）由于）由于 2(1) , (

9、2),(3( )xnxb n pnxp 已知）( ）2 exdx（2）由于）由于 npx所以参数所以参数 和和 2的矩估计量为的矩估计量为 x2211()niixxnexnp1111niipxxnn n所以所以得参数得参数p的矩估计量为的矩估计量为 例例3 3 设设x1，x2，xn为为总体总体x的的样本，试求下列总体样本，试求下列总体分布参数的矩估计量。分布参数的矩估计量。解解 （3）由于）由于 2(1) , (2),(3( )xnxb n pnxp 已知）( ）exdx所以参数所以参数 的矩估计量为的矩估计量为 11niixxn211()niixxn可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统

10、计量可见：同一个参数的矩估计量可以不同。所以统计量存在存在“优、劣优、劣”之分。之分。 或或 一阶矩一阶矩 二阶矩二阶矩 例例4 4 设总体设总体x服从服从 1， 2上的均匀分布上的均匀分布， 1 2，求求 1， 2的矩估计量，的矩估计量， x1，x2，xn为为x的一个的一个样本。样本。解解 由于由于 21221(),212exdx所以由矩法估计，得所以由矩法估计，得 13nxs122x2221()12ns解得解得 23nxs区间长度的矩估计量为区间长度的矩估计量为 212 3ns解解 由于由于 202()3aaexxax dxa所以由矩法估计，得所以由矩法估计，得 133niiaxxn3ax

11、 解得解得 22(), (0)( ) 0, axxaf xa其它所以，参数所以，参数 的矩估计量为的矩估计量为 13niiaxna例例5 5 对容量为对容量为n的子样，求下列密度函数中参数的子样，求下列密度函数中参数 的的矩估计量。矩估计量。a参数的极大似然估计法参数的极大似然估计法 思想：设总体思想：设总体x的密度函数为的密度函数为f(x, )， 为未知参数，则为未知参数，则样本（样本（x1,x2,xn）的联合密度函数为）的联合密度函数为121( , )( , )nniif x xxf x121( )( , )( , )nniilf x xxf x令令 参数参数 的估计量的估计量 ，使得样本

12、（，使得样本（x1,x2,xn）落在观测）落在观测值值 的邻域内的概率的邻域内的概率l( )达到最大，即达到最大，即12( ,)nx xx1212( , )max ( , )nnl x xxl x xx则称则称 为参数为参数 的极大似然估计值。的极大似然估计值。 参数的极大似然估计法参数的极大似然估计法 求解方法：求解方法： 121ln ( , )ln( , )nniil x xxf x121( )( , )( , )nniilf x xxf x（2）取自然对数）取自然对数 其解其解 即为参数即为参数 的极大似然估计值。的极大似然估计值。 （3）令）令 ln0dld（1）构造似然函数）构造似然

13、函数 若总体的密度函数中有多个参数若总体的密度函数中有多个参数 1， 2， n，则将，则将第（第（3）步改为）步改为ln0,(1,2, )ilin解方程组即可。解方程组即可。 例例6 假设（假设（x1，x2，xn）是取自正态总体）是取自正态总体n( , 2)的样本，求的样本，求 和和 2的极大似然估计量。的极大似然估计量。解解 构造似然函数构造似然函数 22()211( )2ixnile取对数取对数 22()211ln ( )ln2ixnile221()ln2ln2niix续解续解 求偏导数，并令其为求偏导数，并令其为0 1221()2()( 1)ln02niniiixxl222221()ln

14、11022niixl解得解得 11niixxn2211()niixxn所以所以， 2的极大似然估计量为的极大似然估计量为 11niixxn2211()niixxn与矩估计量与矩估计量 相同相同估计量的评选标准估计量的评选标准 无偏性、有效性、相合性无偏性、有效性、相合性*、充分性与完备性、充分性与完备性* 无偏估计量无偏估计量：设：设 是是 的估计量，如果的估计量，如果则称则称 是是 的的无偏估计量无偏估计量（unbiased estimation）( ),e例题例题 设总体的数学期望设总体的数学期望ex和方差和方差dx都存在，都存在，证明：样本均值证明：样本均值 、样本方差、样本方差 分别是

15、分别是ex、dx的无偏估计。的无偏估计。x2211()1niisxxn例题例题 设总体的数学期望设总体的数学期望ex和方差和方差dx都存在，都存在，证明：样本均值证明：样本均值 、样本方差、样本方差 分别是分别是ex、dx的无偏估计。的无偏估计。x2211()1niisxxn证明证明 2211()()1niie sexxn211()1niinexxnn22111niinexxnn2211()1niine xe xnn222() ()1nn dxexd xexnn证明证明 2211()()1niie sexxn222() ()1nn dxexd xexnn22() ()1nn dxexdxexn

16、nndx2111()niinexxdxnn有有 效效 性性 设设 是是 的无偏估计量，当样本容量的无偏估计量，当样本容量n固定时，使固定时，使 达到最小的达到最小的 称为称为 的有效估计的有效估计2()e比较：若比较：若 ，则，则 比比 有效。有效。 12212()()ee2例如例如 及及 （其中（其中 ）都是）都是ex的无偏的无偏估计，但估计，但 比比 有效。有效。x1niiia x11niiax1niiia x例如例如 及及 （其中（其中 ）都是）都是ex的无偏的无偏估计，但估计，但 比比 有效。有效。x1niiia x11niiax1niiia x因为因为 22dxe xexe xexd

17、xn22111nnniiiiiiiiiea xexea xea x211()nniiiiiida xa d x21()niid xa211()niid xnan211()niid xan1()d xn算术平均算术平均几何平均几何平均 小小 结结 参数估计的点估计方法参数估计的点估计方法 数字特征法数字特征法：以样本均值、方差作为总体期望、方差以样本均值、方差作为总体期望、方差 的估计量的估计量。11niixxn22211()1niisxxn矩法估计矩法估计：以样本以样本k阶矩作为总体阶矩作为总体k阶矩的估计量。阶矩的估计量。 1211( ,)nkkmiivxn (1,2,)km1211( ,)

18、()nkkmiiuxxn (1,2,)km或或 作业作业 p130 1，2，4预习预习 第三节第三节 区间估计区间估计区间估计的思想区间估计的思想 点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量，区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个区间范围。区间范围。引例引例 设某厂生产的灯泡使用寿命设某厂生产的灯泡使用寿命xn（ ，1002），现），现随机抽取随机抽取5只，测量其寿命如下：只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为，则该厂灯泡的平

19、均使用寿命的点估计值为11455 1502 1370 1610 14301473.45x 可以认为该种灯泡的使用寿命在可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右，个单位时间左右，但范围有多大呢？又有多大的可能性在这但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右左右”呢？呢？如果要求有如果要求有95%的把握判断的把握判断 在在1473.4左右，则由左右，则由u统计统计量可知量可知0,1xunn0.95xpn 0.951.961.961.96xxnn由由查表得查表得 置信水平、置信区间置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数设总体的分布中含有一个参数 ，对给定的，对给定的 ，如果，如

20、果由样本（由样本（x1，x2，xn）确定两个统计量）确定两个统计量 1（ x1，x2，xn ），）， 2（ x1，x2，xn ），），使得使得p 1 2=1- ，则称随机区间（，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为）为参数参数 的置信度（或置信水平）为的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。的置信区间。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限几点说明几点说明 1、参数、参数 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间（的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有表示该区间有100（1- ）%的可能性包含总体参的可能性包含总体参 数数 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平，参数置信水平，参数 的置信

21、区间不同。的置信区间不同。 3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低；置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量，一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。正态总体方差已知，对均值的区间估

22、计正态总体方差已知，对均值的区间估计 如果总体如果总体xn（ ， 2），其中），其中 2已知，已知， 未知，未知，则取则取u-统计量统计量 ，对，对 做区间估计。做区间估计。xun对给定的置信水平对给定的置信水平1- ，由，由确定临界值（确定临界值（x的双侧的双侧 分位数）得分位数）得 的置信区间为的置信区间为21p uu 22,xuxunn将观测值将观测值 代入，则可得具体的区间。代入，则可得具体的区间。12,nx xx例例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径x可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取可以认为服从正态分布，从某天的产品中

23、随机抽取6个，个，测得直径为（单位：测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1（1）试求该天产品的平均直径）试求该天产品的平均直径ex的点估计；的点估计；（2）若已知方差为）若已知方差为0.06，试求该天平均直径，试求该天平均直径ex的置信的置信 区间：区间： =0.05； =0.01。解解 （1）由矩法估计得）由矩法估计得ex的点估计值为的点估计值为 114.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.114.956exx续解续解 （2）由题设知）由题设知xn（ ，0.06） 构造构造u-统计量，得统计量，得ex的置信区间为的置信区间为 22,

24、xuxunn当当 =0.05时，时，0.0251.96u而而 0.0614.95,0.16xn所以，所以，ex的置信区间为（的置信区间为（14.754，15.146）当当 =0.01时，时，0.0052.58u所以，所以，ex的置信区间为（的置信区间为（14.692，15.208）置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消费额假定某地一旅游者的消费额x服从正态分布服从正态分布n（ ， 2），且标准差），且标准差 =12元，今要对该地旅游者的平元，今要对该地旅游者的平均消费额均消费额ex加以估计，为了能以加以估计，为了能

25、以95%的置信度相信这种的置信度相信这种估计误差小于估计误差小于2元，问至少要调查多少人？元，问至少要调查多少人？解解 由题意知：消费额由题意知：消费额xn（ ，122），设要调查），设要调查n人。人。由由 10.950.05即即 21.96u1.960.95xpn得得 查表得查表得 而而 2x1.962n解得解得 21.96 12138.292n至少要调查至少要调查139人人正态总体方差未知，对均值的区间估计正态总体方差未知，对均值的区间估计 如果总体如果总体xn（ ， 2），其中），其中 ， 均未知均未知 由由 (1)xt nsn构造构造t-统计量统计量 xtsn当置信水平为当置信水平为1

26、- 时，由时，由 2(1)1p ttn 查查t-分布表确定分布表确定 2(1)tn从而得从而得 的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 22(1),(1)ssxtnxtnnn例例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量某厂生产的一种塑料口杯的重量x被认为服从正态被认为服从正态分布，今随机抽取分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）：个，测得其重量为（单位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。试用。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。的置信度估计全部口杯的平均重量。解解 由题设可知：口杯的重量由题设可知：口杯的重量x

27、n（ ， 2） 由抽取的由抽取的9个样本，可得个样本，可得 0.18 21.4 9sxn由由 10.950.050.025(8)2.306t得得 查表得查表得 20.18(8)2.3060.138369stn全部口杯的平均重量的置信区间为（全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54） p127例例5与与p126例例3的比较：的比较： 12 80 25sxn解解 由题设可知：平均消费额由题设可知：平均消费额xn（ ， 2） 10.950.050.025(24)2.064t212(24)2.0644.953625stn平均消费额的置信区间为（平均消费额的置信区间为（75.0464，84

28、.9536） 由由 得得 查表得查表得 估计误差为估计误差为 2 4.95369.90722 精确度降低精确度降低 原因：样本容量减少原因：样本容量减少 在实际应用中，方差未知的均值的区间估计在实际应用中，方差未知的均值的区间估计较有应用价值。较有应用价值。 练习练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量假设某片居民每月对某种商品的需求量x服从正态服从正态分布，经调查分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为公斤，方差为9，如果某商店供应，如果某商店供应10000户，试就居民户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计（对该种商品的平均需

29、求量进行区间估计（ =0.01），并），并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满的概率满足需求？足需求？29 10 100sxn解解 由题设可知：平均需求量由题设可知：平均需求量xn（ ， 2） 0.010.0050.005(99)2.57tu23(99)2.570.771100stn平均消费额的置信区间为（平均消费额的置信区间为（9.229，10.771） 由由 查表得查表得 续解续解 要以要以99%的概率满足的概率满足10000户居民对该种商品的户居民对该种商品的需求，则最少要准备的量为需求，则最少要准备的量为9.229 1000092290

30、（公斤）（公斤） 最多准备最多准备 10.771 10000107710（公斤）（公斤） 正态总体均值已知，对方差的区间估计正态总体均值已知，对方差的区间估计 如果总体如果总体xn（ ， 2），其中），其中 已知，已知， 2未知未知 由由 (0,1)ixn构造构造 2-统计量统计量 2222121( )niniiixxn查查 2- 分布表，确定双侧分位数分布表，确定双侧分位数 从而得从而得 2的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiixxnn例题例题已知某种果树产量服从（已知某种果树产量服从（218， 2），

31、随机），随机抽取抽取6棵计算其产量为（单位：公斤）棵计算其产量为（单位：公斤）221，191，202，205，256，236试以试以95%的置信水平估计产量的方差。的置信水平估计产量的方差。解解 计算计算 6212931iix查表查表 1 0.05 20.05 222(6)1.24,(6)14.45果树方差的置信区间为果树方差的置信区间为 2931 2931,202.84,2363.7114.45 1.24正态总体均值未知，对方差的区间估计正态总体均值未知，对方差的区间估计 如果总体如果总体xn（ ， 2），其中），其中 2未知未知 由由 222(1)(1)nsn构造构造 2-统计量统计量 2

32、22(1)ns当置信水平为当置信水平为1- 时，由时，由 1222222(1)(1)(1)1nspnn 查查 2- 分布表，确定双侧分位数分布表，确定双侧分位数 从而得从而得 2的置信水平为的置信水平为1- 的置信区间为的置信区间为 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nsnsnn例例4 设某灯泡的寿命设某灯泡的寿命xn（ ， 2），）， ， 2未知，现未知，现从中任取从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为（单位：千小时），求置信水平为90%的的 2的区间估计。的区间估计。解解 样本方差及均值分别为样本方差及均值分别为 20.99511.6sx10.90.1220.051 0.05(4)0.711(4)9.488220.05(1)4 0.9955.5977(4)0.711ns 2的置信区间为（的置信区间为（0.4195，5.5977） 由由 得得 查表得查表得 220.95(1)0.4195(4)ns小小 结结 总体服从正态分布的均值或方差的区间估计总体服从正态分布的均值或方差的区间估计 （1）方差已知，对均值的