固体物理徐智谋非简谐振动

1、第七节第七节 晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应3.7.1 3.7.1 热膨胀热膨胀本节主要内容本节主要内容: :3.7.2 3.7.2 热传导热传导3.7 晶体的非简谐效应简谐近似：简谐近似：)(0rrruf 20220)(!21)(0rrrurur 2220000! 21)()( rrrurururu (1) (1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3n个线性独立的谐振子的迭加，个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；各振子间不发生作用，也不交换能量； (2) (2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传

2、递给其晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。他声子，也不能使自己处于热平衡状态。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。晶体的非简谐效应：晶体的非简谐效应： 33322200000! 31! 21)()( rrrrururururu微扰项微扰项声子间有相互声子间有相互作用作用能量交能量交换换系统达到热系统达到热平衡平衡 两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三

3、个声子。相互碰撞，最后产生第三个声子。微扰项微扰项声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒 hkqqq321321 碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。3qxq1q2qyq-正常过程正常过程( ( n过程过程) )；0 hk(1)(1)-反常过程反常过程( ( u过程过程) )。0 hk(2)(2)3qyqxq1q2qhk21qq 以下用非简谐近似理论解释晶体的热膨胀和热传导现象以下用非简谐近似理论解释晶体的热膨胀和热传导现象3.7.1 热膨胀 热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。热膨

4、胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。 假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置r0附近作振动，离附近作振动，离开平衡位置的位移用开平衡位置的位移用 表示，势能在表示，势能在平衡位置附近展开：平衡位置附近展开： 33322200000! 31! 21)()( rrrrururururu01.物理图象r0r0（1 1）简谐近似）简谐近似222000! 21)()( rrururu 0,rrat ru( (r) )r0 3332220000! 31! 21)()( rrrurururu两原子间距不变，无热膨胀现

5、象两原子间距不变，无热膨胀现象（2 2）非简谐效应）非简谐效应3332220000!31!21)()( rrrurururu 0,rrat两原子间距增大，有热膨胀现象。两原子间距增大，有热膨胀现象。由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移 dedetkutkubb2.理论计算3332220000! 31! 21)()( rrrurururu , 0)(0 ru取取,!21022crur 令令grur 033!31( (c、g均为正常数。均为正常数。) )320)( gcru deb2tkc debtku(1)(1)简谐近似：简谐近似：0 0 在简谐近

6、似下无热膨胀现象。在简谐近似下无热膨胀现象。20 c)r(u dedebbtkutku是是 的奇函数的奇函数(2)(2)非简谐效应非简谐效应: : debtku deb32)(tkgc 4325bb/ctktkg deb32)(tkgc21b ctktkcgb243 在非简谐效应下，有热膨胀现象。在非简谐效应下，有热膨胀现象。320)( gcru dedebbtkutku d1eb3b2tkgtkc deb2b4tkctkg 21b/tkcx 令xxctktkgx/de2425bb xxctktkgx/de20425bb2 debtku deb32)(tkgc deeb3b2tk/gtk/c公

7、式推导公式推导 xxctktkgx/de20425bb2 aanxxnnaxn2) 12 (531de1022 )1, 2( an 4325bb/ctktkg deb32)(tkgc deb2tkc )d1(eb3b2tkgtkc deeb3b2tk/gtk/c 0de2b2 tkc21b212/ctk 21b/ctk axxa2de022 21b/tkca 结束结束线膨胀系数线膨胀系数b02043dd1krcgtr 当势能只保留到当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。次方项时，线膨胀系数与温度无关。若保留更高次项，则若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。线膨胀系数与温度有关。显然

8、，在简谐近似下，显然，在简谐近似下，g=0=0， =0=0。tkcgb243 3.7.2 热传导 当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡达到新的热平衡, , 这种现象称为热传导。这种现象称为热传导。xtjdd ( (为正值为正值) )为热传导系数或热导率。为热传导系数或热导率。负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。晶体热传导晶体热传导电子热导电子热导晶格热导晶格热导电子运动导热电子运动导热( (金属金属) )格波的传播导热格波的传播导热( (

9、绝缘体、半导体绝缘体、半导体) )(1)(1)气体热传导气体热传导vcv 31 cv单位体积热容单位体积热容 -平均自由程平均自由程v热运动平均速度热运动平均速度放能放能吸能吸能高高温温区区低低温温区区气体分子气体分子碰碰 撞撞碰碰 撞撞1.微观解释(2)(2)晶格热传导晶格热传导1e1b tkn 晶格热振动看成是晶格热振动看成是“声子气体声子气体”，声子数密声子数密度大度大声子数密声子数密度小度小扩散扩散低低温温区区高高温温区区vcv 31 cv单位体积热容单位体积热容 -声子自由程声子自由程v声子平均速度声子平均速度( (常取固体中声速常取固体中声速) )2.讨论与t的关系1)1)高温时，

10、高温时，t db3nkcv 1e1b tkn tktkbb111 ntt1 t1 vcv 31 cv单位体积热容，单位体积热容， -声子自由程，声子自由程， 声子平均速度声子平均速度( (常取常取固体中声速固体中声速) )。vv基本与温度无关，基本与温度无关，cv v和和 与温度密切相关与温度密切相关v(2)(2)低温时，低温时，t d1e1b tkn tatk eeb ,tae ,3tcv ,ttae3 ,t03t d 因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体，的晶体， ( (d为晶体线度为

11、晶体线度) )。vcv 31 实际上热导系数并不会趋向无穷大。实际上热导系数并不会趋向无穷大。低温时：低温时：完整晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？完整晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？第三章第三章 晶格振动晶格振动总总 结结v三维晶格振动、声子三维晶格振动、声子v一维晶格振动一维晶格振动v确定晶格振动谱的实验方法确定晶格振动谱的实验方法v晶体比热晶体比热v晶体的非简谐效应晶体的非简谐效应v长波近似长波近似 振动很微弱时，势能展式中只保留到振动很微弱时，势能展式中只保留到( ( r) )2 2项项, ,3次方以上的高次项均忽略掉的近次方以上的高次项均忽略掉的近似为似为简谐近似简谐近似( (

12、忽略掉作用力中非线性项的近似忽略掉作用力中非线性项的近似) )。nknknkrnkxxruf 022dd022ddrnkru 格波格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。一维晶格振动 在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子

13、链，m，a， 晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目=晶晶体的原胞数体的原胞数b-k条件条件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinax e2sin2aqm aqa nnnxx n- -2nn+ +1n+ +2n- -1ammoa a m 2一维双原子链振动一维双原子链振动2n- -22n2n+ +12n+ +22n- -1mma aqntinax1212e nxm2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx naqtinbx22e 2cos2)(222aqmmmmmmmm ,)(22nnnxx aqa22 o qa2 a2o a 3nn声子

14、声子3n声学声子，声学声子， ( (3n- -3) )n光学声子。光学声子。3nn个振动模式个振动模式晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数n，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mnn，独立的振动模式数独立的振动模式数= =晶体的自由度数晶体的自由度数mnn。n是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是维数。是维数。声子声子：晶格振动的能量量子。能量为：晶格振动的能量量子。能量为, 准动量为准动量为 。q三维晶格振动、声子长 波 近 似长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。离子晶体的长

15、光学波离子晶体的长光学波wb11 (1) (1)式代表振动方程，右边第一项式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场为准弹性恢复力，第二项表示电场 附附加了恢复力。加了恢复力。e (2) (2)式代表极化方程，式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第二项表示电场表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 附加附加了极化。了极化。 wb21e)2( )1( 22211211ebwbpebwbw -黄昆方程黄昆方程1.黄昆方程slt 2020-著名的著名的lst关系关系光频介电常量光频介电常量静电介电常量静电介电常量tolos ,) 1 ( 0to s 0 2/1 (2)(2)铁电

16、软模铁电软模( (光学软模光学软模) )3.极化声子和电磁声子 因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子极化声子。 长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子电磁声子。2.lst关系确定晶格振动谱的实验方法中子的非弹性散射、光子散射、中子的非弹性散射、光子散射、x射线散射。射线散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器：)q(mpmpnn 2222hkqpp 由能量守恒和准动量守恒得：由能量守恒和准

17、动量守恒得：“+”表示吸收一个声子表示吸收一个声子“- -”表示发射一个声子表示发射一个声子三轴中子谱仪。三轴中子谱仪。2.频率分布函数定义：定义： nlim0)( nsqcqsv313d2 计算：计算：晶 体 比 热3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.固体比热的实验规律(1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3 3nkb； (2) (2)在低温时，绝缘体的比热按在低温时，绝缘体的比热按t3 3趋于零。趋于零。(1)(1)晶体中原子的振动是相互独立的；晶体中原子的振动是相互独立的；(2)(2)所有原子都具有同一频率所有原子都具有同一频率 ；(3)(3)设晶体由设晶体由n个原

18、子组成个原子组成, ,共有共有3n个频个频率为率为 的振动的振动。(1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质, ,格波视为弹性波；格波视为弹性波；(2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波；(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在 之间之间( ( d为德拜为德拜频率频率) )。d0 db0d211e )(etk 211e3btkne爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型 23d9 n 22ee1eeee ttttf tfnkcveeb3 tfnkcvdb3 xxttftxxd1ee34023ddd 高温时与实验相吻合，低温时以比高温时与实验相吻合，低温时以比t3 3更快的速度趋于零。更快的速度趋于零。高低温时均与实验相吻合，且温度越低，高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。与实验吻合的越好。爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀现象：4.晶体的热传导现象：vcv 31 3t t1 高温时高温时: :低温时低温时: : dedebbtkutkutkcgb243 33322200003121 rrru!ru!)r(u)r(u 32 gc 2.声子与声子相互作用： )2()1(321321hkqqq 晶体的非简谐效应习题a2sin)4(21qa