2016解三角形知识题型归纳

1、解三角形常用知识点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180;C=180 A+B）; .角平分线性质定理：角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比 .锐角三角形性质：若ABC 则60 c; a-bc3、三角形中的基本关系：si n（A，B）=si nC,tan （A B） = _ta nC, A B C A B . C A B 丄 C sincos ,cossin ,ta ncot 2 2 2 2 2 2（1）和角与差角公式tan ；二 tan :1 + tan 二 tan :sin（ 二 I ） = sin ： cos 二cos： sin :;cos（二 I ） = cos：

2、cos ： +sinsin : ;tan（、:.二 l：,）（2）二倍角公式sin2 a = 2cos a sin a22. 2221 -tancos2： =cos-sin2cos 二一1 = 1-2sin厂.1 +ta n2a.21 -cos2：21 cos2：sin,cos -2 2（3）辅助角公式（化一公式）y =asinx_bcosx= .a2b2 sin（x _ ） 其中 tan =a4、正弦定理：在中，a、b、c分别为角二、2、C的对边，R为C的外接圆的半径,贝y有一a =b 2r .si nA si n B sin C5、正弦定理的变形公式：化角为边：a =2Rsin-二，b=2

3、Rsin , c=2RsinC ；化边为角：sin 一-_一2F-,sin 二b2R,sinC c2R a : b: c 二sin 丄-:sin 二:sin C ;a +b +cabc=2Rsin U- sin m sinCsinsin :sin C参考材料6、两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两角和其中一边的对角 ，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式=2R 2sinAsinBsinC=1 1 1S _乎bcsinabsinCacsini?.4C=r=p（p=a）（p=b）（p=c）（海伦公

4、式）8、余弦定理:在 AABC 中，有 a2 = b2+c22bccosA , b2 = a2 + c22ac cosE ,c2 =a2 b2 -2abcosC .余弦定理的推论cos=b2 c2 a2a2c2-b22bc2accosC 二a2 b2 -c22ab注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余 弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用10、余弦定理主要解决的问题 已知两边和夹角，求其余的量。 已知三边求角11、 如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统 成边的形式或角的形式设a、b、c是12C的角丄、2、C的对边，

5、贝,222r 若 ab二 c ,则 C=90”； 若 a2b2c2，则 C: 90； 若 a2b2 c2，则 C90.12、三角形的五心：参考材料垂心三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线（高 线、角平分线、中线）及周长等基本问题1（ 15北京理科）在ABC中，”4 , b=5 , 6，则黔故 BC=2 ,从而 AC =A宵 BC -2A

6、B BCCosB28,即 AC 二1 一又 sin B = 30 ,试题分析:sin 2A 2 sin A cos Asin Csin C2ab2c2 一 a22bc25 =12562. （2005年全国高考湖北卷）在AABC中，已知AB,cosB 上,AC边上的中线6BD= 5 , 求sin A的值.分析：本题关键是利用余弦定理 ，求出AC及BC,再由正弦定理,即得si nA.1解：设E为BC的中点，连接DE,则DE/AB,且DE AB二232 6 ,设 BE= x在ABDE中禾U用余弦定理可得:BD2 =BE2 ED2 -2BE EDcosBED ,x282 *x ,解得 x = 1 ,

7、x = -7 （舍去），33633 362呵故一23, sin A 70.si nA30146在厶 ABC 中，已知 a = 2, b = 2 = 2 , C= 15。，求 A。答案： B A 且 0 ： A ： 180,二 A =30题型之二:判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式 ，判断此三角形的形状1. （2005年北京春季高考题）在 ABC中，已知2sinAcosBsinC，那么 ABC一定是（）A .直角三角形B.等腰三角形 C .等腰直角三角形D .正三角形 解法 1 :由 2sin AcosB 二 si nC = si n(A+ B)= si nAcosB+ cos As i

8、nB,得 cos B=孑 C2 b22ac即 sinAcosB cosAsinB= 0,得 sin(A B) = 0,得 A= B.故选(B).解法2 :由题意，得cosB= sin C c ,再由余弦定理2sin A 2aa2c2 -b22acc2a即 a? = b,得 a= b,故选(B).评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：统一化为角，再判断（如解法1），统化为边，再判断（如解法2）.题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题1新裸标理科1力【本小题满分1空分)已知方,厂分别入苹RC三个内角A厶C的对边，tzcos6+VsinC-e 011)求

9、C (2)若2 . 且禺广的面和为J5 ；求b、【解析】(1)由1F弦定珅得匸fcos U J5sin C-b i 二 0 o $in 貝cos C -in -sin= sin + sin C sin cos 厂+ 3 sin 4siu (T- siu(+ f 爲 sin -4 - cos .4 = 10 in( -SO)=O -30 =30= O-60c(2)J 二丄矗号 in=JJ 0=42$ =F + _ Acos A o +*= 4解i必=工匸2.在 ABC中,+ 近sin A cos A 二,2AC =2 ,AB =3,求tan A的值和 ABC的面参考材料积。1 i2 亠- 63答

10、案：S ABC = AC AB si nA= 2 3 一 = (、2、6)2 2443. (07 浙江理 18)已知 ABC 的周长为 x 2 1，且 sin A sinB 二2sinC .(I)求边AB的长；1(II)若厶ABC的面积为一sinC ,求角C的度数.6解:(I)由题意及正弦定理，得AB BC A ,2 1, BC A ,2AB,两式相减,得AB二1.1 1 1由余弦定理，得cosC =2 2 2AC BC- AB2ACLBC(HABC的面积严La尹心得bcLac,(AC BC)2 -2ACLbC - AB2 _ 12ACLBC2所以C =60.题型之四：三角形中求值问题a、b、

11、c,设a、b、c满足条件b2 c2 - be = a2和-3 ,求A和tan B的值. b 2分析：本题给出一些条件式的求值问题,关键还是运用正、余弦定理.解:由余弦定理2 2 2 八 b +c -a cos A 二2bc-，因此，参考材料1解得 cot B = 2,从而 tan B = 2cos A 2cosB C取得最大值,2解析:由A+B+C=n,B+C得 =2AB+C A2，所以有 cosV =sin2。在厶 ABC 中，/C=180 ZA -ZB=120 - ZB.由已知条件，应用正弦定理丄.,3仝二巫sin（120 一 B）2 b sin B sin Bsin-2。COSBY。20

12、 sinB=cotB 丄sin B222. ABC的三个内角为 A、B、C ,求当A为何值时， 并求出这个最大值B+CAAAA13cosA+2cos=cosA+2s in_ =1 -2sin 2-+ 2si n =2(sin -_ )2+2222222A1nB+C3当 sin =一，即A=时，cosA+2cos取得最大值为。223223.在锐角 ABC中，角A B, C所对的边分别为a, b, c ,已知sin A, （1）3 求 tan2 旦 C sin2 的值；（2）若 a = 2, Sa abc2，求 b 的值。2 22yf21解析：（1）因为锐角 ABC中，A + B+ C=二，si

13、nA,所以cosA =3 3tan2BC + si n2A 二2 2.2 B + C sin 22 B+ C cos -2+ sin2 A1 COs(B + C)+ 1(1- cosA )= 1 + COsA +1 二 71 + cos (B + C)21 cosA 331 1 2 2则 bc = 3。(2)因为Sabc去，Sabc =严A =尹，将 a = 2, cosA = 1 , c=代入余弦定理：a2= b2+ c2 2bccos A 中,3 b得 b4 6b2+ 9 = 0 解得 b = 、3 。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即 可。4.在厶

14、ABC中，内角A, B, C对边的边长分别是 a, b, c,已知c = 2 , C -.3(i)若厶ABC的面积等于.3 ,求a, b ；(n)若 sin C sin( B - A)二 2sin 2A ,求 ABC 的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识 ，考查综合应用三角函数有 关知识的能力 解：(I)由余弦定理及已知条件得 ，ab2-ab=4 ,又因为 ABC的面积等于-.3 ,所以2absin C =、. 3 ,得ab = 4 .4分2(a 2 亠 b2 - ab - 4联立方程组彳解得a =2, b = 2 .6分_ab = 4,8分(n)由题意得 sin(B

15、 A) s in (B-A)=4si n AcosA ,即 sin B cosA = 2sin AcosA,当 cosA =0 时，A 二一,2JT4.3a =当 cosA = 0 时,得 sin B = 2sin A ,由正弦定理得b =2a,联立方程组：解得a舌，b令12 分所以 ABC的面积S二丄absi nC =二 .2 3题型之五（解三角形中的最值问题）1.（ 2013江西理）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC +(cos A- J3s in A) cos B = 0 .（1）求角B的大小；（2）若a 1，求b的取值范围答案：（1）60 2 .（ 201

16、3 新课标H ）-在内角.的对边分别为，已知（i求0;（ 若二2，求 ABC面积的最大值答案：（1） 45 2+1参考材料(| ) A44C BBRi*-*11(1)由tin A tin f inJt艾irWG，故in/4-sinBcosC + cosflsin(由Q.i)W 心“咖B乂H(Q)O研以於斗曲已知JI余伍定理却2xh乂 oJ +2sinBcosB= y/3cos2B n tan2BOJTTTV02Bn，二 2B亍，二锐角 -,r TT _51T（2）lh tan2B_ 3 n 可戒当B 时f已知b=2,由余弦定理*得：4=a2 + e2 ac2ac ac=ac（当且仅当a=c =

17、 2时等号成立）ABC 的面积 SAABC = * 恥$inB=HcW迈Hr仁A ABC的面移U；大值为心 1分已知b = 2,由余弦定理.得4 =昂2 筋恥夕2肌:4小恥=（2丨诟）tK（券H,仅专込=店一时爭号成:匚、.aci4（2 a/s）分A ABC 的面枳 SABC= acsiiiB = ac 2/3Aril/ A ABC的面枳最大值为2-35.（2014新课标i理）已知a,b,c分别为 ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且（2 b）（sin A - sin B）二（c -b）sin C ,则 ABC 面积的最大值为 .【解析L 曰“二？目（2 + ）（sin zf-sin

18、= k -sin C即（厂一力）打口由及正第定理得力）（_旬一（厂一力k:、FJx、故 cos-4-=丄，A zJ6O0 ,:_F _ = hc2 A24拐十严一屈它鈕：血亠*民sin卷右，6上在内角的对边分别为 .，且=-（1）求角A的大小若a=4,求_b-c的最大值答案：（1） 60 （2）87.（ 2007全国1理） 设锐角三角形 ABC的内角 A，B, C的对边分别为 a，b，c，a=2 bsinA.（I）求B的大小；（n）求cosA+si nC的取值范围.解析：1(I)由 a = 2b si nA,根据正弦定理得 sin A = 2s in BsinA ,所以 si nB 二一,2n

19、由 ABC为锐角三角形得 B =-6二 cos A siniit(n) cos A s in C = cos A s inAoji6=cos A 丄 cos A sin A = 3 sin i A . 2 2由厶ABC为锐角三角形知，0 ：A ： , : A 2 2解得一：:A :-321所以一sin I A一2 ；2兀兀5兀所以A3 363 .由此有 -3 sin A -3 2232 所以，cosA + sinC的取值范围为基，.V2 2丿8.三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, 2 2 (2A-2) =(a-b)sinB,三角形外接圆的半径为2(1) 求角C的大小

20、(2) 求面积的最大值答案：(1)60 VB +C9， ABC的三个内角为 A、B、C，求当A为何值时，cos A 2cos取得最大值，2并求出这个最大值。B+C nAB+CA解析:由A+B+C=n，得=-，所以有cos=si n 。2 2222B+CAAAA13cosA+2cos=cosA+2s in=12si n2 + 2s in2(sin 一)2+2222222A 1nB+C3当sin; = ;，即A=3时,cosA+2cos T取得最大值为2。题型之六(图形中的解三角形)注意灵活利用图形来分析参考材料3一 00廿新谍标I卷理科1丁）本小题满分口分）如图衽匕ABC札厶BC-PCT, AB

21、n/3 , RC=1, P为 A ARC內一点.ZBPC 90解.在A=BA二由余弦定禮得/143-3 + 1-2x75 x-cos30-. A PA-!4 242 U ) Tfe Z pba- a ;由已剤帚fb- sin ,在 fba中，由正弦左琨得， _V?_sina ，优简得，/3；05 = 4sina, sin 150sinO - a)2.甜?014年邇南住理1恥】 粛小劭満分亡分）妇團乩 在平面四边盘/航血乩 A/J=Y，D=1. ac=4.（1）求oc$*M的值；D 若zSM二_不* $inz/利4=心】求厅的從146解(i)在wr中，则余弦定理，得严由题设cosZ= 7 + 1

22、4 =.2/77(2)设曲Cj、则 a = /DSD因为cosZ= - cos厶如=一近，所以714血厶加=Jl 卜半F = 丁 血厶= Ji曲 厶幻Ji(一 ily =空里.1414于是 sinor =Z CAD = sin ZJ/A:osZ CAD cosZ4/in Z321 27 . 7. -vTl 罷= )=-1471472在站聲一中，由正弦定理.故sinff sinZf 创 sin a sinZfiK4=3题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：(一.)测量问题1.如图1所示

23、，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C,测得C图1分析：求河的宽度，就是求 ABC在AB边上的高，而在河的一边,已测出AB长、/ CAB / CBA这个三角形可确定解析：由正弦定理得ACsin CBAABsin . ACBAC=AB= 20m，又/ CAB= 0。，/CBA=75B=120cm ,求河 的宽度。S ABC点评：虽然此题计算简单,但是意义重大，属于不过河求河宽问题-AB AC sin . CAB 工1 AB CD ,解得 CD=60m。 2 一（二.）遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东5。北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东0。北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东5。北的方向上；舰艇航行半小时后 到达B点，测得S在东0。北的方向上。在厶ABC中，可知 AB= 0X 0.5=