第四节泰勒级数与幂级数

1、第四节 泰勒级数与幕级数教学目的：理解幕级数收敛半径的概念，并掌握幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；了解幕级数在其收敛区间内的一些根本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分)会求一些幕级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和；了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件、掌握ex,si nx,cosx, I n(1 x)和(1 x)的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幕级数。教学重点：幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；ex,sin x,cos x , ln(1 x)和(1 a)的麦克劳林展开式。教学难点：幕级数的收敛域及和函数。教学时数：4教学内容：一、函数项

2、级数的概念1 函数项级数的定义定义：设函数Un(x)(n 1,2,3 )都在D上有定义，那么称表达式Un(x) 5(X)U2(X)卅n 1为定义在D上的一个函数项级数，un(X)称为通项，Sn(x)Uk(x)称为局部和函数.k 1X。 D，假设数项级数Un(X。)收敛,n 12. 收敛域定义：设un(x)是定义在D上的一个函数项级数,n 1那么称X。是un(x)的一个收敛点所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域.n 13. 和函数定义：设函数项级数un(x)的收敛域为1，那么任给x I，存在唯一的实数 S(x)，使得n 1S(x)un(x)成立定义域为I的函数S(x)称为级数 un(x)的和函数

3、.n 1n 1评注：求函数项级数收敛域时，主要利用收敛域的定义及有关的数项级数的判别法.、幕级数1 幕级数的定义定义：设 an (n 0,1,2,)是一实数列，那么称形如an(x x0)n的函数项级数为x0处的n 0幕级数.沧0时的幕级数为anxn n 02.阿贝尔定理定理：对幕级数an(xn 0x)n有如下的结论: 如果该幕级数在点x1收敛，那么对满足x怡N x0的一切的x对应的级数an(x x0)n都绝对收敛;n 0 如果该幕级数在点x2发散，那么对满足x x0x2 x0的一切的x对应的级数an(x x0)n都发散.n 0例1：假设幕级数an(x 2)n在x1处收敛，问此级数在 x 4处是

4、否收敛，假设收敛，是n 0绝对收敛还是条件收敛解：由阿贝尔定理知，幕级数an(x 2)n在x 1处收敛，那么对一切适合不等式n 0x 2123 (即1 x 5 )的x该级数都绝对收敛.故所给级数在 x 4处收敛且绝对收敛.3.幕级数收敛半径、收敛区间如果幕级数an(x Xo)n不是仅在x Xo处收敛，也不是在整个数轴上收敛，那么必定n 0存在一个正数R，它具有下述性质：当xX。R时，an(xn 0x0)n绝对收敛；当xX。R时，an(xn 0x0)n发散.如果幕级数an(xx0)n仅在x x。处收敛，定义 R 0 ；如果幕级数an(x x)n 在n 0n 0(,)内收敛，那么定义R那么称上述

5、R为幕级数an(x x0)n的收敛半径称开区间(x0 R, x0 R)为幕级数n 0an(x x0)n的收敛区间.n 04. 幕级数收敛半径的求法求幕级数an(x x0)n的收敛半径Rn 0法一：求极限(x x0)limnan 1(X x0)n1an(x x0)n令(x x0) 1 x x0m那么收敛半径为R m；法二：假设an满足an 0 ,那么Rlimnanan 1法三；(1)求极限(x x0) lim n an(x x0)n n令(x x0)1 x x0 m那么收敛半径为R m.例2：求以下幕级数的收敛域n n 1 2nn!(x 5)nn 1、nx2n2n1 2n解：收敛半径Rlimli

6、mn12n 1( n 1)!2nn!所以收敛域为(收敛半径Rlimnanan 1limn1/n当x 51时，对应级数为(9这是收敛的交错级数,n 1 Jn当x 51时，对应级数为1L这是发散的pn 1 n级数,于是该幕级数收敛域为4,6)；由于 (x) limnn2n 1 2n 2n 1 x2n 22(2n 1)x令(x)1，可得x.2，所以收敛半径为 R当x x 2时，对应的级数为2n 1n 12，此级数发散,于是原幕级数的收敛域为5. 幕级数的性质设幕级数an(xn 0x0)n收敛半径为Ri；bn(x x0)n收敛半径为n 01an(xn 0xo)nbn(xn 0xo)n(ann 0bn)

7、(x Xo)n，收敛半径Rmin(Ri, R?)；2. an(xn 0X)n bn(xn 0n“(n 0 i 1aibn i)(x x0)n ,收敛半径R min( R, R2)；3幕级数nan(x xo)n的和函数S(x)在其收敛域I上连续;R 即4幕级数在其收敛区间内可以逐项求导，且求导后所得到的幕级数的收敛半径仍为S(x) an(x Xo)nan(x Xo)nn a.(x x)n1 -n 0n 0n 15幕级数在其收敛区间内可以逐项积分，且积分后所得到的幕级数的收敛半径仍为R 即有xxS(x)dx an(x x)ndxx0冷 n 0xx an(x x)ndxx0= an(x x)n10

8、n 13:用逐项求导或逐项积分求以下幕级数在收敛区间内的和函数 nxn 1(n 11 x 1)x4n1)解：令S(x)nxn 1(x 1)，那么x0 S(x)dxxo(nnx1)dxn所以S(x)冷(1 x)2,(1)令S(x)4n 1-(1 n 1 4n 11)，那么4n 1xS(x)()n 1 4n 14n xx41x4x x4x所以 S(x)4dx0 1 xo( 111 x22)dx1 1In41 x1arcta nx x ,2(1 x 1) 例4：求幕级数(2nn 01)xn的收敛域，并求其和函数。解：易求得收敛域为(1,1)=2x1 x n 0n】x 因为 (2n 1)xn =2n

9、xn + xn = 2x (xn)n0n0n0n0111 X2x(丄)丄, x ( 1,1)。1 x 1 x (1 x)1 x所以和函数为s(x) 丄2，x ( 1,1)。(1 x)三、函数展开成幕级数1. 函数展开成幕级数的定义定义：设函数f(x)在区间I上有定义，X。I，假设存在幕级数an(x xo)n，使得n 0f(x)an(x Xo)n, x In 0那么称f (x)在区间I上能展开成x0处的幕级数.2. 展开形式的唯一性定理：假设函数f (x)在区间I上能展开成x0处的幕级数f (x)an(x x)n, x In 0那么其展开式是唯一的，且(n 0,1,2,|).n!M3. 泰勒级数

10、与麦克劳林级数泰勒级数与麦克劳林级数的定义f(n)(X)n!(x定义：如果f(x)在X。的某一邻域内具有任意阶导数，那么称幕级数f(x)X)川f一(x X)n川1!M1 n!为函数f (X)在X0点的泰勒级数.当X0 0时称幂级数。普xn f(0)晋III为函数f(x)的麦克劳林级数.函数展开成泰勒级数的充要条件定理：函数f(x)在X。 I处的泰勒级数在I上收敛到f(x)的充分必要条件是：f(x)在X。处的泰勒公式f(x) n4(x X0)k R(x)k 0 k!的余项Rn(x)在I上收敛到零，即对任意的 x I，都有lim R(x)0 .n4. 函数展开成幕级数的方法直接法利用泰勒级数的定义

11、及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间上直接展开成指定点的泰勒级数的方法.间接法通过一定的运算将函数转化为其它函数，进而利用新函数的幕级数展开将原来的函数展开成幕级数的方法.所用的运算主要是四那么运算、(逐项)积分、(逐项)求导、变量代换.利 用的幕级数展开式是以下一些常用函数的麦克劳林展开公式.幕级数常用的七个展开式sin x2n 11六cosx1)2n n x(2n)!ln(1x)n 11)nn 1(1 x)(1)2!x2III(,),)1 x 1(1)( 2川l( n J I, x ( 1,1)n!r 1x ( 1,1)(1)nxn, x ( 1,1).例5:将f(X)-展开成x 1的幕级数。x解：由于f (x)In xln(1 x)，而In xln1(x1)(1)n1(1n1)；ln(1x)ln2(x1)x 1In 2