第三章地球重力场及地球形状的基本理论1

1、第三章第三章 地球重力场及地球形地球重力场及地球形状状 的基本理论的基本理论第一节 地球及其运动的基本概念1.1.地球概说地球概说 1 1）地球的基本形状）地球的基本形状 地球表面积：地球表面积：5.15.1亿亿kmkm2 2，海洋占，海洋占70.8%70.8%，陆地占，陆地占29.2%29.2% 地球体积为地球体积为1083010830亿亿kmkm3 3 地球的实际形状很不规则。从总地球的实际形状很不规则。从总体情况看，地球的形状可用大地体体情况看，地球的形状可用大地体来描述：是一个两极略扁，赤道突来描述：是一个两极略扁，赤道突出，略显出，略显“梨形梨形”的球体。的球体。 为计算和研究的方便

2、，通常用旋转为计算和研究的方便，通常用旋转椭球来表达地球形状。椭球来表达地球形状。2 2）地球大气）地球大气 大气厚度：大气厚度：200020003000km3000km； 大气质量：大气质量：3.93.910102121克克 从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层( (热层热层) )，外层外层( (散逸层散逸层),),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 对流层：海平面以上对流层：海平面以上404050km50km；气温随高度增加而降低；空气对流；气温随高度增加而降低；空气对流，运动

3、显著；湿度大；天气多变。，运动显著；湿度大；天气多变。 平流层：对流层以上平流层：对流层以上505055km55km，气温不受地面影响；空气水平运动，气温不受地面影响；空气水平运动；水汽含量极少。；水汽含量极少。 中中 层：平流层以上层：平流层以上808085km85km，气温随高度增加而迅速下降，空气，气温随高度增加而迅速下降，空气对流。对流。 第一节 地球及其运动的基本概念电离层：中层顶部到电离层：中层顶部到800km800km的高空；温度随高度增加而急剧上升的高空；温度随高度增加而急剧上升，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。外外 层：又

4、称散逸层，电离层以上；空气十分稀薄；受地球引力层：又称散逸层，电离层以上；空气十分稀薄；受地球引力小。小。2.2.地球运动概说地球运动概说 thrv cos21 1）地球自转：）地球自转： 地球自转的线速度：地球自转的线速度：xyzovr第一节 地球及其运动的基本概念2 2）地球公转：）地球公转： 地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。 开普勒三大行星定律开普勒三大行星定律 a a 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质心相重合心相重合 feearcos112 远日点远日点近日点近日

5、点f第一节 地球及其运动的基本概念b b 行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面积相等，即面积速度积相等，即面积速度(s/t (s/t ）= =常数常数teatabts221 c c 行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。gmat2324 第一节 地球及其运动的基本概念 牛顿万有引力定律：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引牛顿万有引力定律：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。力的大小与它们的质量的

6、乘积成正比，与它们的距离平方成反比。是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。22rmmkf 3.3.地球基本参数地球基本参数1 1）几何参数）几何参数 长半径：长半径：a=6378.164kma=6378.164km 扁扁 率：率：=1/298.257=1/298.257第一节 地球及其运动的基本概念2 2）物理参数）物理参数 自转速度：自转速度：=7.29211515=7.2921151510-5rad/s10-5rad/s 二阶带球谐系数：二阶带球谐系数：j j2 2=1082.64=1082.6410-610-6 地心引

7、力常数：地心引力常数：gm=398603km3/s2gm=398603km3/s2第一节 地球及其运动的基本概念一）引力与离心力一）引力与离心力 1 1、引力、引力f f第二节 地球重力场的基本原理2rmmff m m为地球质量，为地球质量，m m为质点质量，为质点质量，f f为万有引力常数，为万有引力常数，r r为质点到地心的距离。为质点到地心的距离。 xyzofgpr2 2、离心力、离心力为质点所在平行圈半径为地球自转速 7095.861642sradmppfg 3 3、地球重力、地球重力 为为f f与与p p的和向量的和向量第二节 地球重力场的基本原理二）引力位

8、和离心力位二）引力位和离心力位1 1、引力位、引力位（1 1）位函数的定义）位函数的定义 位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的位函数：在一个参考坐标系中，引力位对被吸引点三个坐标方向的一阶导数等于引力在该方向上的分力。一阶导数等于引力在该方向上的分力。 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点空间任意两质点m m和和m m相互吸引的引力公式是相互吸引的引力公式是 ： 2rmmff 假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量drdr，则必做功：，则必做功： drrmmfda

9、2 第二节 地球重力场的基本原理 用用v v表示位能，此功必等于位能的减少：表示位能，此功必等于位能的减少：rmmfdrrmmfdvv 2 对上式积分，则得位能：对上式积分，则得位能：引力位或位函数引力位或位函数 ： 取质点取质点m m的质量为单位质量则有：的质量为单位质量则有：此函数则为质点此函数则为质点m m的引力位或位函数的引力位或位函数drrmmfdv2 rmfv 第二节 地球重力场的基本原理根据牛顿力学第二定律根据牛顿力学第二定律2rmmfmaf gradvdrdvrmfa 2上式表明：上式表明： 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受r r处质

10、体处质体m m吸引而形成吸引而形成的加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。的加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。第二节 地球重力场的基本原理（2 2） 位函数的性质位函数的性质 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分。 v vv1v1v2v2 vnvn 所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位所以，地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位函数函数dvidvi之和，对整个地球而言，则有之和，对整个地球而言，则有 mmdmfdvv 第二节 地球重力场的基本原理xyzorrss0semm

11、dm(xm,ym,zm)(x，y，z) 在空间直角坐标系中，引力位在空间直角坐标系中，引力位v v确认这样一个加速度引力场，即确认这样一个加速度引力场，即引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度( (或引力或引力) )向量的负值：向量的负值： 为为吸吸引引点点坐坐标标为为被被吸吸引引点点坐坐标标式式中中mmmmmmzyxzyxzyxzzyyxxrzvayvaxva,;,2222 222zyxaaaa若设：若设：(a , x), (a , y), (a , z)(a , x), (a , y), (a , z)为为a a与各

12、坐标轴之间的夹角，则与各坐标轴之间的夹角，则cos( , ),cos( , ),cos( , )xyzaaa x aaa y aaa z第二节 地球重力场的基本原理（3 3）引力位的物理意义）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该点所做功。该点所做功。 00qvqvdvaqq mq0qmf第二节 地球重力场的基本原理2 2 离心力位离心力位.2.2.co sco s,co ssin,sin:co ssinco s

13、co s,00 xryrzrxrxxyryyzz 对 时 间 求 导 数第二节 地球重力场的基本原理xyzorssse(x，y，z)yxz1 1）离心力位：）离心力位： ）（2222yxq 将将q q对各坐标轴求偏导数有：对各坐标轴求偏导数有： 可见，可见，q q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向量的负值。因而的负值。因而q q是位函数，称离心力位。是位函数，称离心力位。.2.20qxxxqyyyqz第二节 地球重力场的基本原理2 2）离心力位函数的特性：）离心力位函数的特性： （1 1）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。

14、）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。（2 2）其二阶导数为）其二阶导数为: :02,0222222222222222 zqyqxqqzqyqxq算算子子第二节 地球重力场的基本原理三）重力位三）重力位 1 1 重力位重力位 位函数是标函数，重力是引力和离心力的合力，则重力位就是位函数是标函数，重力是引力和离心力的合力，则重力位就是引力位和离心力位之和：引力位和离心力位之和： w wv vq q 2222yxrdmfw 2 2 重力位的特性重力位的特性（1 1）重力位对三坐标求偏导则得重力分量或重力加速度分量：）重力位对三坐标求偏导则得重力分量或重力加速度分量：第二节 地球重力场

15、的基本原理 zqzvzwgyqyvywgxqxvxwgzyx222zyxgggg 对任意方向的对任意方向的偏导数等于重力偏导数等于重力g g在该方向的分力：在该方向的分力：),cos(lggglwl （g ,lg ,l）为重力）为重力g g与与l l的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。第二节 地球重力场的基本原理 当当g g与与l l相垂直时，即相垂直时，即(g ,l)=90(g ,l)=900 0 dw dw0 0，有，有w w常数，当取不常数，当取不同常数时，就得到一簇曲面，称重力等位面，也就是水准面。有同常数时，就得到一簇曲面，称重力等位面，也就是

16、水准面。有无数个。其中，完全静止的海水面所形成的重力等位面，称大地无数个。其中，完全静止的海水面所形成的重力等位面，称大地水准面。水准面。 当当g g与与l l夹角为夹角为0 0时，即时，即(g ,l)=0(g ,l)=00 0, ,则有则有-dw=gd-dw=gdl l a a若若d dw w00，必有，必有d dl l 0,0,说明水准面之间不相交和相切说明水准面之间不相交和相切 b b若若d dw wc c，由于各处重力，由于各处重力g g不同，因而各处的不同，因而各处的d dl l也不同也不同 说明水准面之间不平行说明水准面之间不平行（2 2）重力位是标函数）重力位是标函数第二节 地球

17、重力场的基本原理四、地球的正常重力位和正常重力四、地球的正常重力位和正常重力1 1 地球重力位计算的复杂性地球重力位计算的复杂性 地球形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下地球形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下重力位公式精确求得其重力。重力位公式精确求得其重力。 2222yxrdmfw 2 2 正常椭球正常椭球: : 一个形状和质量分布规则一个形状和质量分布规则, ,接近于实际地球的旋转椭球。它产接近于实际地球的旋转椭球。它产生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面

18、，所以正常椭球又称水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。椭球。第二节 地球重力场的基本原理正常正常( (地球地球) )椭球是一个假想的球体。是一个理想化的椭球体。椭球是一个假想的球体。是一个理想化的椭球体。正常重力位正常重力位u u：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地 球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。扰动位扰动位t t：地球实际重力位：地球实际重力位w w与正常重力位与正常重力位u u之差。之差。 t tw wu u 根据扰动位根据扰动

19、位t t可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解 决地球重力位和形状的问题。决地球重力位和形状的问题。第二节 地球重力场的基本原理 勒让德多项式：勒让德多项式： nnnnndxxdnxp)1(!212 将（将（x x2 2-1)-1)n n按二项式定理展开有：按二项式定理展开有： xpnnxxpnnxpnnn111112 1 1）勒让德多项式：）勒让德多项式：递推公式：递推公式：第二节 地球重力场的基本原理令令x=cosx=cos，则有：，则有： cos23cos25cos;21cos23cos;coscos;1coscos)1(cos!21co

20、s3322102 ppppddnpnnnnn第二节 地球重力场的基本原理2 2）缔合勒让德多项式：）缔合勒让德多项式：其中，其中，n n表示阶，表示阶，k k表示次，当表示次，当k=0k=0时即为勒让德多项式时即为勒让德多项式令令x=cosx=cos，则有：，则有： knkkkndxxpdxxp)()1(22 第二节 地球重力场的基本原理3 3 地球引力位的数学表达式地球引力位的数学表达式（1 1）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 空间点空间点s s的坐标（的坐标（x,y,z)x,y,z)，地面质点，地面质点m m的坐标的坐标(x(xm m,y,ym m,

21、z,zm m) )xyzorrss0semmdm(xm,ym,zm)(x，y，z) dmfv第二节 地球重力场的基本原理再将再将代入，按（代入，按（r/rr/r）合并集项得：）合并集项得：引力位函数引力位函数有有: :用级数展开，再代入用级数展开，再代入将将第二节 地球重力场的基本原理第二节 地球重力场的基本原理讨论前三项：讨论前三项：可见，可见，v v0 0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 先看先看v v0 0 再讨论再讨论v v1 1，为为r,rr,r之间的夹角之间的夹角kzjyixrzkyjxirmmm 第二节 地球重力场的基本

22、原理为地球质心坐标。为地球质心坐标。以地球质心为坐标系的原点，故有：以地球质心为坐标系的原点，故有： x x0 0=0 y=0 y0 0=0 z=0 z0 0=0=0因而因而 v v1 1=0=0第二节 地球重力场的基本原理 最后看最后看v2将将代入下式代入下式有：有：第二节 地球重力场的基本原理用用a、b、c表示质点表示质点m对对x、y、z轴的轴的转动惯量转动惯量,用用d、e、f表示表示惯性（惯性（离心力矩离心力矩）即：）即：第二节 地球重力场的基本原理那么：那么：若用球面坐标表示，作如下变换若用球面坐标表示，作如下变换仿此推求仿此推求vi，代入下式，便可得地球引力位的计算式：，代入下式，便

23、可得地球引力位的计算式：第二节 地球重力场的基本原理 222210cos)2sin2cos2(23sincos)sincos(3)sin2321(2)(21fabdebacrmrfvvvv第二节 地球重力场的基本原理（2）用球谐函数表达地球引力位）用球谐函数表达地球引力位 cos23cos25cos;21cos23cos;coscos;1coscos)1(cos!21cos3322102 ppppddnpnnnnn则第则第n阶地球引力位公式为：阶地球引力位公式为：第二节 地球重力场的基本原理 球谐函数球谐函数a. 主球函数主球函数:勒让德多项式勒让德多项式pn(cos)称为称为n阶主球函数（或

24、带球函数）；阶主球函数（或带球函数）； nnnnnddnp cos)1(cos!21cos2 b. 缔合球函数缔合球函数:coskp coskp k kn n(cos(cos)及及coskp coskp k kn n(cos(cos)称为缔合球函数，当称为缔合球函数，当k=nk=n时称扇球函数，时称扇球函数，k knn时称田球函数时称田球函数其中其中第二节 地球重力场的基本原理xyzorrss0semmdm(x，y，z)m(xm，ym，zm)mmmmrzryrxsinsincoscoscos第二节 地球重力场的基本原理 mmmmmmmmmmmmmrrrrrrrrrrzzyyxxsinsinsi

25、ncossincoscoscoscoscossinsinsincossincoscoscoscoscoscos第二节 地球重力场的基本原理 cos23cos25cos;21cos23cos;coscos;1coscos)1(cos!21cos3322102 ppppddnpnnnnn第二节 地球重力场的基本原理 mmmmknnknmmknnknnkmnmnnnnmnndmkprkpdmkprkpknkndmprprfdmprrrfv sincossincoscoscoscoscos!2coscoscos11 mmmknnknmmmknnknmnmnndmkprknknfbdmkprknknfa

26、dmprfa sincos!2coscos!2cos第二节 地球重力场的基本原理由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式: :其中球谐系数其中球谐系数an，ank，bnk称为斯托克司常数，当称为斯托克司常数，当n=2时，是二阶矩时，是二阶矩a，b，c，d，e的函数。的函数。 0coscoscoscos1100 dmzfdmrfdmprfafmdmfdmpfadmprfammmmmmmmmnmnn 将地球视为旋转椭球，质心为坐标原点，坐标轴为主惯性轴，则：将地球视为旋转椭球，质心为坐标原点，坐标轴为主惯性轴，则：第二节 地球重力场的基本原理 mmmmmrz

27、ryrx cossinsincossinxyzormdmm(xm，ym，zm)m )(2)()(21)(21()(23)()sin23()21cos23(coscos2222222222222222222cafcbafdmyxzxzyfdmyxzyxfdmrrfdmrfdmprfadmprfammmmmmmmmnmnn 其中，其中，a a，b b，c c为质点为质点d dm m对对x,y,zx,y,z轴的转动惯量。轴的转动惯量。第二节 地球重力场的基本原理 0cossincoscos! 2! 021111 mmmmmmmxdmfdmrfdmrpfa sin)(cos11p mmmknnkndm

28、kprknknfa coscos!2 mmmknnkndmkprknknfb sincos!2 0sinsinsincos! 2! 021111 mmmmmmmydmfdmrfdmrpfb 同理：同理：0221212 bba第二节 地球重力场的基本原理 mmmknknmmmknnknmnnmndmkparknmknsdmkparknmkncdmparmc sincos!2coscos!2cos12 cos)sincos(cos10 nkknknknnnnnpkskcpcrarfmv mmmmknneknmmknneknnknemnnmennendmkparkpdmkparkpraknmkndm

29、parmprarfmv sincossincoscoscoscoscos!2cos1cos1knnkknnknnskcjcj , 2222222)(121jfmacafacamacbamacjeee 第二节 地球重力场的基本原理 2222sinryx 第二节 地球重力场的基本原理又已知：又已知：)()2(00222121211111cafcbafabbabaa kmac第二节 地球重力场的基本原理23222223eeeeeeakfmaafmagaq 22sin2cos3131qrfmu23145.389600,14.6378,107292115.0 skmfmkmas 28819008.288

30、:1 q第二节 地球重力场的基本原理 022231sin2cos3131uqafmqrfmu 22sin2cos3131qrfmu常常数数 231,9000qafmuaree 第二节 地球重力场的基本原理 2312311qq 第二节 地球重力场的基本原理dndu 232222sincos1231fmrrkrfmdrdu第二节 地球重力场的基本原理 qafmfmaakafmfmaakafme 123190sin90cos312312322202320222bqarp )21( aba 1ab2q ar ,90 第二节 地球重力场的基本原理 qafmqqafmqqafmqafmkqafmrfmkr

31、fmfmrrkrfmp 124122212122112132130sin0cos312312242244224202320222 2312qafme 21,0qarp 、第二节 地球重力场的基本原理 2312qafme 231252312311qqqqqeep 25qeep 232222sincos1231fmrrkrfm)sin1(20 e 090第二节 地球重力场的基本原理 21222222222sin1sin1sincossincosbebkbbbabbbaepe 第二节 地球重力场的基本原理20rfm 第二节 地球重力场的基本原理由于由于hrhr，可将（，可将（1 1h hr r）2

32、2用级数展开，取到二次项，可得：用级数展开，取到二次项，可得： 222321)1(rhrhrh第二节 地球重力场的基本原理7 7 正常重力场参数正常重力场参数根据上述关系根据上述关系, ,参数之间可相互推求。参数之间可相互推求。,200aau（1 1）七个正常重力参数）七个正常重力参数)(,20cafafma 其中其中,200aau为四个基本参数。有如下关系为四个基本参数。有如下关系: :)231(2311231222qaqafmqafmeee 331231020qafmuqafmuq 第二节 地球重力场的基本原理 推推求求fmaq32qqeep 推求推求 25223223223)(22222

33、222qjqfmaajfmaaqakfkmcafa （2 2）地球大地基准常数）地球大地基准常数( (正常椭球的基本参数正常椭球的基本参数):):eajfm,2 称为地球大地基准常数称为地球大地基准常数( (或正常椭球的基本参数或正常椭球的基本参数).).一般将对应于实际地球的一般将对应于实际地球的4 4个基本参数个基本参数eajfm,2 第二节 地球重力场的基本原理、wgswgs8484地球椭球大地基准及其导出量：地球椭球大地基准及其导出量：第二节 地球重力场的基本原理三、水准面、大地水准面、似大地水准面、地球椭球三、水准面、大地水准面、似大地水准面、地球椭球1. 1. 水准面水准面: :

34、重力等位面。具有几何性质与物理性质重力等位面。具有几何性质与物理性质: : 1 1）无数个；）无数个； 2 2）复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面；）复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面； 3 3）水准面彼此不平行，不相交；）水准面彼此不平行，不相交； 4 4）每个水准面对应唯一的位能）每个水准面对应唯一的位能w w常数，物体在水准面上移动重常数，物体在水准面上移动重 力不做功。力不做功。2. 2. 大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气 压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂

35、线垂直的水准面。 1 1）一个特定的重力等位面，唯一。）一个特定的重力等位面，唯一。 2 2）其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。）其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。 因而只能用一个平均海水面代替它。因而只能用一个平均海水面代替它。第二节 地球重力场的基本原理大地水准面大地水准面 椭球面大地水准面大地水准面 差距1. 1. 与重力线垂直，是重力等位面与重力线垂直，是重力等位面2. 2. 通过平均海水面通过平均海水面3. 3. 似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。 1 1）不是水准面）不是水准面 2 2）与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几）与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几乎重合，在山区只有乎重合，在山区只有2 24m4m的差异。的差异。4. 4. 正常椭球（水准椭球、等位椭球）：正常椭球（水准椭球、等位椭球）： 正常椭球