西北工业大学矩阵论第三章例题矩阵分析ppt课件

1、例例2 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 02 . 0A 解解，19 . 01A所以所以A是收敛矩阵。是收敛矩阵。( (或或) 1943. 089. 0FA( (可求得可求得 ，5 . 21mA，5 . 15 . 03mA)4 . 1A能否为收敛矩阵？能否为收敛矩阵？为什么？为什么？由于由于矩阵矩阵第三章第三章 矩阵分析矩阵分析 1 1 矩阵序列的极限矩阵序列的极限 解解)63)(65(361531)det(261313461AI得得A的特征值为的特征值为，651212从而从而，165)(A故故A是收敛矩阵。是收敛矩阵。 由由例例能否为收敛矩阵？能否为收

2、敛矩阵？为什么？为什么？矩阵矩阵61313461A例例012816kkkk 解解，1281A取幂级数取幂级数。06kkkxk判别矩阵幂级数判别矩阵幂级数的敛散性。的敛散性。法法1. 1. 令令由于由于2 2 矩阵级数矩阵级数 kkkaa1limkkkkk661lim161161limkkk所以收敛半径为所以收敛半径为。61r可求得可求得A的特征值为的特征值为3, 521即即，65)(A故矩阵幂级数绝对收敛。故矩阵幂级数绝对收敛。 ，0kkkx。128161A可求得可求得，1rA的特征值为的特征值为21,6521于是于是，165)(A故矩阵幂级数绝对收敛。故矩阵幂级数绝对收敛。 法法2. 2.

3、取幂级数取幂级数那么那么例例2 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 02 . 0A判别判别0kkA解解，19 . 01A所以所以0kkA收敛，收敛，10)(AIAkk18 . 03 . 01 . 04 . 05 . 05 . 02 . 01 . 08 . 0352520426244141428141知知的敛散性。的敛散性。 假设收敛，求其和。假设收敛，求其和。由于由于且且例例，61313461A那么那么0kkA收敛的缘由是收敛的缘由是，165)(A且其和为且其和为31034316310知知可求得可求得A的特征值为的特征值为，651212分析分析从而从而。3

4、103431631010)(AIAkk165)(A，。例例，0110A试求试求。，ttAAAAcossinee解解111)det(2AI所以所以，OIA2即即。IA2从而从而知知由于由于3 3 矩阵函数矩阵函数 ，AA3，IA 4，AA 5，IA6，AA7，IA 8可知可知，IAkk) 1(2AAkk) 1(12), 2 , 1(k故故6! 615! 514! 413! 312! 21! 11eAAAAAAIAIAIAIAIAI! 81!71! 61! 51! 41! 31! 21! 11AI)1 ()1 (!71! 51! 31! 81! 61! 41! 21AI) 1(sin) 1(cos

5、1cos1sin1sin1cos44! 4133! 3122! 21! 11etttttAAAAIAAI)()1 (! 5! 3! 6! 4! 253642ttttttAI)(sin)(costtttttcossinsincos9! 917!715! 513! 31sinAAAAAAAAAA!71! 51! 31)1 ()1 (! 31! 21! 1121! 31! 21! 1121 A2ee1 A1shA01sh1sh066! 6144! 4122! 21costtttAAAIA)1 (4! 412! 21ttI2eett ItchIttch00ch例例nnCA满足满足，AA 2试求试求，A

6、AAsineet。tAcos 解解AA k，), 3 , 2(k所以所以6! 615! 514! 413! 312! 21! 11eAAAAAAIA)(! 31! 21! 11AI 1)1(! 31! 21! 11AIAI) 1(e设设由于由于44! 4133! 3122! 21! 11etttttAAAAIAAI)(! 3! 2! 132tttAI) 1(e t9! 917!715! 513! 31sinAAAAAAAAAA!71! 51! 311sinA66! 6144! 4122! 21costtttAAAIA)(4! 412! 21ttAIAI) 1(cos t例例，)4, 0, 2,

7、 1diag( 求求，tt sinee。 cos解解 )e, 1,ediag(e,e42 )e, 1,e,diag(ee42tttt )4sin, 0,2sin,diag(sinsintttt )4cos, 1, 2cos, 1diag(coscos 知知例例，211121112A试求试求。，ttAAAsinee解解)3)(2)(1()det(AIA的特征值为的特征值为3, 2, 1321对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为，T1) 1, 0, 1(p，T2) 1, 1, 1(pT3)0, 1, 1(p故类似变换阵故类似变换阵011110111P知知可求得可求得使得使得 3211APP从而

8、从而 Ae132eeePP2223223232232eeeeeeeeeeeeeeeeetAe132eeePPtttttttttttttttttttt2223223232232eeeeeeeeeeeeeeeeetAsin13sin2sinsinPPtttttttttttttttttttt2sin2sinsin2sinsin3sin2sin2sin3sin2sin3sin2sin2sinsin3sin2sinsin例例，2000120001200012A试求试求。，AAAAcossineett解解 Ae，2222212226122122eeeeeeeeeetAetttttttttttttttt22

9、22222262222eeeeeeeeee232知知tAsintttttttttttttttt2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos2sin262232Acos2cos2sin2cos2cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos216121例例，111201010A求求。，tttAAAAcossinee知知解解 AetAe，111221eeee11111tttttttteeee111222tAsintttttttsincossin2sin0000tAcosttttttcossincos2cos1010122例例，411011013A求求。，AAsi

10、net 解解，1000101121P使使4000200121JAPP故故 1eePPJAtt1011010e000e00ee21214222tttttP知知可求得可求得1)(sinsinPJPA4sin4sin2sin4sin2sin02cos2sin2cos02cos2cos2sin21212121ttttttttttttttt442122142122122222eeeee0eee0eee14sin0002sin002cos2sinPP例例，411301621A求求。，AAsinet 解解，010011121P使使11111JAPP故故 1eePPJAtt1eeeePPttttt知知可求得类

11、似变换阵可求得类似变换阵tttttttttttttttttte)31 (eee3e)1 (ee6e2e)21 (1)(sinsinPJPA1cos31sin1cos1cos1cos31cos1sin1cos1cos61cos21cos21sin11sin1cos1sin1sinPP例例，311111002A试计算试计算。，AAAAcossineett解解3)2()det(AIA的特征值为的特征值为2321( (三重三重) )2210)(bbbr列方程组：列方程组：Ae求求 2212102)2(4)2(42)2(brbbrbbbr222eee解得解得 22122120eeebbb知知法法1.1.

12、设设1)1)故故 2210eAAIAbbb21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbb222222e2eee0e00e2) 2) 求求tAe ttttbrtbbrbbbr2222212210e2)2(e4)2(e42)2(解得解得 tttttttbttbttb22212222122220ee2ee2e2e故故 2210eAAIAbbbt21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbbttttttttttttttt222222222eeeeeeee00e3) 3) 求求tAsin ttbrttbbrtbbbr2sin2)

13、2(2cos4)2(2sin42)2(2221210解得解得 ttbttttbtttttb2sin2sin22cos2sin22cos22sin22122120故故 2210sinAAIAbbbt21021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbbttttttttttttttt2cos2sin2cos2cos2cos2cos2sin2cos002sin4) 4) 求求Acos 2cos2)2(2sin4)2(2cos42)2(221210brbbrbbbr解得解得 2cos2cos22sin2cos2sin221210bbb故故 2210cosAAIAbbb21

14、021212110212108344440042bbbbbbbbbbbbbbbb2cos2sin2sin2sin2sin2cos2sin2sin002cos法法2. 2. 2)2()(Am是是A的最小多项式。的最小多项式。 设设 10)(bbr对应特征值对应特征值2 2有有2 2个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，于是于是由由 110)2(2)2(brbbrAe(求求tAetAsin)cos A解得解得ttt22eettt2cos2sin2sin2cos22ee2sin2cosee2sin22cos2cos22sine)21 (e221220tttbttttbtt故故 )(Af( (或

15、或)( tf AAI10bb10111101103002bbbbbbbbbb例例，130020412A试计算试计算tAe和和。Asin解解 ) 1()2()det(2AIA的特征值为的特征值为1, 2321设设 2210)(bbbr那么由那么由21021210) 1 (4)2(42)2(bbbrbbrbbbrtttteee22tAe(求求)sin A知知解得解得 ttttttttttbtbtb222221220eeee3e4e4e2e3e42cos2sin1sin2cos32sin41sin42cos22sin31sin41sin2cos2sin于是于是 )(Af( (或或)( tf A221

16、0AAIbbb210212102121210)3(300420)3(41642bbbbbbbbbbbbbbb故故 ttttttttttttee3e300e0e4e4e13e12e12ee222222A1sin2sin31sin3002sin02sin41sin42cos132sin121sin122sinsin A例例知知4 4阶方阵阶方阵A A的特征值为的特征值为，00试计算试计算Asin和和。Acos解解2242)()det( AI由由H-CH-C定理得定理得，OAA224从而从而，224AA，325AA，246AA，347AA即即 ，2222AAkk32212AAkk), 3 , 2(k

17、法法1 1故故 9! 917!715! 513! 31sinAAAAAA3! 93!73! 53! 31642AAAAA)(! 9!7! 5! 313642AA8! 816! 614! 412! 21cosAAAAIA)(! 6! 4! 21242AI21cos2AI)(! 6! 4! 2126422AI222AI法法2 2 4 4阶方阵阶方阵A A的特征值为的特征值为。，00设设 332210)(bbbbr)(! 9!7! 5! 31397533AA3sin3AA312AA解得解得 213210010bbbb001322102bbbb故故 ，312sinAAA222cosAIA那么由那么由

18、10332210332210)0()0()()(brbrbbbbrbbbbr10cos00sin0)sin(0sin00sin10cos1)cos(1cosAsin(求求)cos A例例，411301621A求求A和和。Aln 解解，010011121P使使11111JAPP且且 3111001101P取取，)(f，ln)(g那么那么，21)( f，1)( g知知可求得类似变换阵可求得类似变换阵故故 1) 1 (00) 1 () 1 (000) 1 ()(PPAAfffff31110011010010001010011121212521212321213101) 1 (00) 1 () 1 (

19、000) 1 ()(lnPPAAggggg311100110000100000010011121311311622例例，21212A求求。)(Af解解 ，21212TA )2()2()2()2()2()2()(21Tfffffff A故故 )(AfTT)(Af )2()2()2()2()2()2(21ffffff知知例例，111010A求求。，AAcoset解解 ，tttttteee11eA1cos1sin1cos101cosA知知例例，ttttt2e20e1)(A求求)(1tA的存在区间，的存在区间，。)(1ddttA解解，ttt2e2)(detA仅当仅当0t时，时，)(tA奇特，奇特， 设

20、设并求并求由于由于4 4 矩阵微积分矩阵微积分 )(1tA的存在区间为的存在区间为。), 0(),0 ,(法法1. 1. )(1tA10ee2e2122ttttttttt22121e0e1故故 由于由于所以所以 )(1ddttAtttt222121e0e02法法2. 2. tttttttttt22121222121e0e1e)21 (20e)1 (0e0e1tttt222121e0e02( (由定义由定义) )(1ddttA)()()(1dd1ttttAAA例例 设设A是可逆矩阵，是可逆矩阵，。10dettA)(e1IAA分析分析 10dettA101dettAAA101)(etAA)(e1I

21、AA那么那么10dd1detttAA例例，axxaxTT)(f其中其中是知向量，是知向量，T1),(nxx x是向量变量，是向量变量，。xdd f解解 nnxaxa11由于由于iiaxf), 2 , 1(ni所以所以T1),(ddnxfxffxaT1),(naa 知知T1),(naa a求求axxaxTT)(f例例nnija)(A知，知，T1),(nxx x是向量变量，是向量变量，AxxxT)(f求求。xdd f设设解解 AxxxT)(fnsnttsstxxa11ntttntttxaxxax122111nttntnnttitixaxxax11由于由于 ixf)(11, 111nttitiiii

22、iiixaxaxaxanniiiixaxa1, 1nttitnsssixaxa11所以所以 xdd fnxfxf1nsnttntssnnsntttssxaxaxaxa111111AxxATxAA)(T特例，特例，AA T时，时， 即即A对称时，对称时，。Axx2ddf当当例例mnijx)(X为矩阵变量，为矩阵变量，)tr()(AXX f求求。Xdd f解解 )tr()(AXX fmsnttsstxa11itjsmsnttsstijjixaxa或或11由于由于，jiijaxf所以所以Xdd fmnijxf)(TA设设nmija)(A知，知，mnjia)(例例nnijx)(X是矩阵变量，是矩阵变量

23、，XXdet)(f试求试求。Xdd f解解ijX是是Xdet中元素中元素ijx的代数余子式，的代数余子式，ininijijiiXxXxXx11由于由于，ijijXxf所以所以Xdd fnnijxf)(T*)(X当当 X 可逆时，可逆时，Xdd fT1)(detXXT)(detXX设设设设那么那么XXdet)(fnnijX)(例例，654321ttttttX，435261)(ttttt tfX那么那么。Xdd f分析分析例例，nnijx)(X，XXtr)(f那么那么nI知知123456tttttt654321ddtftftftftftffX123456tttttt知知。Xdd f分析分析XXtr

24、)(fnnxxx2211于是于是，jijixfij, 0, 1故故。nnnijxffIXdd例例，nmRA，mRb对于矛盾方程组对于矛盾方程组，bAx 使得使得22)(bAxxf为最小的向量为最小的向量)0(x称为最小二乘解，称为最小二乘解，知知试导出最小二乘解所满足的试导出最小二乘解所满足的方程组。方程组。解解 )0(x使使)(xf到达极小，到达极小，0)0(ddxxxf由于由于 从而应有从而应有22)(bAxxf)()(TbAxbAxbbAxbbAxAxAxTTTTTT由前几例得由前几例得bAAxAxTT22ddf于是于是)0(ddxxxfbAAxAT)0(T220即即bAAxAT)0(T

25、称称bAAxATT为法方程组，为法方程组， 它是最小二乘解它是最小二乘解所满足的方程组。所满足的方程组。例例，nmija)(A，T1),(mxx x且且，AxxFT)(求求。xFdd解解AxxFT)(),(11211mkknkmkkkmkkkaxaxax由于由于),(21iniiiaaaxF所以所以 xFddmxxFF1Amnmmnaaaaaa2111211知知例例3)0(, 1)0(, 2)0(32442321323dd22dd3211ddxxxxxxxxtxxxxttt用矩阵函数方法求解微分方程组用矩阵函数方法求解微分方程组解解0)0()()(d)(dxxfAxxtttt写成矩阵方式写成矩阵方式5 矩阵分析的运用矩阵分析的运用 其中其中，130020412A，004)(ttf3120 x可求得可求得 ) 1()2()det(2AIA的特征值为的特征值为 1, 2321设设2210)(bbbr由由 tttbbbrtbbrbbbre) 1 (e4)2(e42)2(2102212210解得