南航理学院复变函数与积分变换1673-5

1、5 5 cauchy积分公式积分公式 利用利用cauchy-goursat基本定理在多连通域上基本定理在多连通域上的推广的推广,即复合闭路定理即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法路积分的方法.内内 容容 简简 介介0)(.)(,)(,00000一一般般不不解解析析在在则则的的一一条条闭闭曲曲线线内内围围绕绕是

2、是内内解解析析在在单单连连通通设设 cdzzzzfzzzzfzdcdzdzfd 100)()(ccdzzzzfdzzzzf的的内内部部。线线在在内内部部的的曲曲包包含含由由复复合合闭闭路路定定理理得得ccz 10,分析分析dcz0c1)(21)()()(00000011zifdzzzzfdzzzzfdzzzzfccc )0(01可可充充分分小小 zzzc)()(,0)(,)(0zfzfzfczf 时时当当上上的的函函数数值值在在的的连连续续性性 .,这这就就是是下下面面的的定定理理这这个个猜猜想想是是对对的的dcz0c1猜想积分猜想积分特别地，取定理定理(cauchy 积分公式积分公式) 一一

3、点点内内为为它它的的内内部部完完全全含含于于一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲线线内内是是内内处处处处解解析析在在设设czddcdzf0)3,)2,)()1 cdzzzzfizf00)(21)( )(2)(lim:,)(.00000zifdzzzzfrkdzzzzfcrzzzkkrc 只只须须证证明明无无关关的的半半径径与与的的内内部部设设证明证明000:0,0( ) 2( )kzzrf zdzif zzz 即要证，当 kkkkdzzzzfzfdzzzzfdzzzzfzifdzzzzf0000000)()(1)()()(2)( 2)()(00 kkdsrdszzzfzf0000lim( )()0

4、,0( )()z zf zf zzzrf zf z ，当，000( )lim2()krf zdzif zzz cdzzzzfizf00)(21)( 积积分分公公式式仍仍成成立立. .上上连连续续及及在在内内解解析析, ,所所围围区区域域在在( (1 1) )若若定定理理条条件件改改为为cauchybbcbczf,)( 200200000)re(21 re)re(21)(21)(re:)2(dzfdriezfidzzzzfizfzzciiiici则则若若a .,的的平平均均值值在在圆圆周周上上值值等等于于它它圆圆心心处处的的析析函函数数在在一一个个解解即即441sin121);2).213zzzdzdzizzz求：（）041sin11)2sin0.22zzzdziziziiiidzzzdzdzzzzfzzz 62212321)3211()221)(444 及及例例1解解.1122简简单单正正向向曲曲线线在在内内的的为为包包含含求求 zcdzzzzc例例2iizzizzdzzzzdzzzzdzzzzdzzzzdzzzzzzcccccc 4 2122112112112121212102222121 积积分分公公式式由由解解cc1c21xyo2223713,( ),(1).ccxyf zdzfi设为圆周求例例3解解 )613(27)1