第3章傅里叶变换

1、实用标准文案第 3 章 傅里叶变换3.1 基本要求1. 了解函数正交的条件、完备正交函数集及信号的正交函数分解；2. 掌握傅里叶级数 (包括三角形式与指数形式 )的定义、性质及将周期信号展开为傅里叶级数的方法；3. 掌握傅里叶变换和反变换的定义、性质及计算方法；4. 掌握信号的频域分析的概念， 掌握各种信号 (包括周期信号、非周期信号、抽样信号、调幅信号 )频谱的特点及绘制频谱图的方法，了解信号的频域特性与时域特性的关系，深刻理解信号的频带宽度 B 与信号脉冲宽度 之间的关系，理解帕塞瓦尔定理的物理意义；5. 了解时域抽样与频域抽样的方法及应用，掌握时域抽样定理与频域抽样定理的内容，深刻理解其

2、物理意义。3.2 公式摘要3.2.1傅立叶级数的性质（设f (t)Fn ）1.掌握和利用微积分特性f k (t)( jn1 )k Fn 。2.掌握和利用反褶共轭特性f (t )F n , f(t )F n 。3.掌握和利用时移特性f (tt0 )Fnejn 1 t0 。4.掌握和利用频移特性f (t)e j 1tFn1 。5.掌握和利用功率特性f 2 (t )Fn2。n6.利用与单周期信号傅立叶变换关系Fn1 F0()。Tn13.2.2函数对称性与傅立叶级数系数的关系精彩文档实用标准文案1. 若函数初看起来无任何对称性，则要注意看看去直流后的函数对称性如何。2. 要特别注意与正弦余弦相关的某些

3、特殊函数（如半波余弦，全波余弦等）的傅立叶系数的求解或判断有无问题。求非周期信号的傅立叶变换1. 利用时移 - 尺度变换特性： 先将信号表示为常见信号的尺度变换或时移的线性组合，再利用性质。2. 利用频移特性：将信号表示为 f (t )e jat 的线性组合后，再利用该性质。3. 利用微积分特性： 通常先对 f (t ) 求导，先求出其导数 f (t) 的傅立叶变换，再利用时域积分特性求f (t ) 的傅立叶变换，但是需要特别注意千万不要把tf ( )d的傅立叶变换等同于f (t ) 的傅立叶变换， 因为积分常数f () 未必为0 。4. 利用时域卷积定理：将信号看成两个简单信号的卷积形式，然

4、后利用该性质。5. 利用频域卷积定理：将信号看成两个简单信号的乘积形式，然后利用该性质。求傅立叶逆变换1. 利用对称性：将 F ( ) 变为 F (t ) 在时域上求出的傅立叶变换，再利用对称性求出 f (t) 。2. 利用奇偶虚实性：可用于解答给出傅立叶变换幅频特性、相频特性和时域信号奇偶虚实性条件的傅立叶逆变换。3. 利用频域微积分特性： 首先判断 F ( ) 与哪个常见函数傅立叶变换的积分精彩文档实用标准文案或微分形式匹配，然后用该性质求f (t) 。4. 利用部分分式分解法化简成1、1( ) 和 1的线性组j( )、2aj合形式，逆变换对应 e at u(t ) 、 u(t) 、1和(

5、t ) 的线性组合。利用傅立叶变换的性质求定积分1.利用零点： F (0)f (t )dt ， f (0)1F ()d 。212.利用能量守恒：2F (2d。f (t )dt)经常用到变换对 sinct23.c Sa( ct)G2c () 。t4. 此外，还经常用到频域卷积定理（时域信号相乘）和频域微分（时域信号乘上 t ）性质。求周期信号和抽样信号的傅立叶变换1. 求周期信号的傅立叶变换一般有两种解法。一种是将信号转换为单周期信号与单位冲激序列的卷积， 用时域卷积定理求； 一种用周期信号的傅立叶级数求，F() 2Fn (n 2 ) 。 这 里 ， 通 常 需 要 充 分 利 用 变 换 对n

6、TT (t )2() 。2T T2.抽样信号 f s(t)f (t ) p(t ) 的傅立叶变换通常采用频域卷积定理求，公式为Fs ()PnF (n s ) 。n抽样定理1. 求奈奎斯特频率的关键在于确定信号的最高频率成分。经常用到变换对：sin ctc Sa(ct ) G2 c ( ) ，并考虑卷积定理和频移特性对频率范围的影响。t2. 利用抽样定理思想分析具体系统，确定无失真恢复条件，计算低通滤波精彩文档实用标准文案器的幅值和截止频率。3.3 考试范围1. 周期信号的傅立叶级数（1）利用定义求傅立叶级数。（2）利用性质求傅立叶级数。（3）借助单周期信号的傅立叶变换求傅立叶级数。（4）求直流

7、系数、谐波有效值、平均功率。（5）证明傅立叶级数的有关性质。（6）根据对称性判断傅立叶系数的有无。（7）傅立叶有限级数逼近周期函数的最小方均误差的计算。2. 非周期信号的傅立叶变换（1）利用定义求傅立叶变换，注意傅立叶变换值F (0) （直流项）可能需要单独求。（2）利用各种傅立叶变换性质求傅立叶变换。（3）利用各种傅立叶变换性质求非周期信号的各种特征量。（4）证明傅立叶变换的各种其他性质。3. 傅立叶逆变换（1）利用定义求傅立叶逆变换。（2）利用对称性求傅立叶逆变换。（3）利用奇偶虚实性求傅立叶逆变换。（4）利用频域微积分特性求傅立叶逆变换。（5）利用部分分式展开法求傅立叶逆变换。精彩文档实用标准文案4. 频谱、带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度（1）求某个频率或频带对应的频谱。（2）求等效带宽、谱线间隔。（3）分析带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度间的关系。（4）证明有关性质。5. 利用傅立叶变换性质求定积分或证明积分等式6. 相关、功率谱和能量谱（1）求自相关函数和互相关函数。（2）求功率谱和能量谱。（3）证明相关、功率谱及能量谱的有关性质。7. 周期信号和抽样信号的傅立叶变换（1）求周