18平面向量与解析几何

1、第讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知 识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析 几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育 家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习 兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思 路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物 理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有

2、代数形式和几何形式的“双重身份” ，能融数形与 体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解 析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形 与数的转化，则会大大简化过程。、例题解析2 x 例 1、( 2000 年全国高考题) 椭圆92y 1的焦点为 F1,F2，点 P为其上的动点， 当F1P4F2 为钝角时，点 P横坐标的取值范围是 _。解： F1( 5,0)F2( 5,0),设 P(3cos ,2sin )F1PF2 为钝角uuur uuuur, 2sin ) ( 5 3cos , PF1 PF2(5 3cos2

3、sin )=9cos22 5 4sin2=5 cos 10553 5,35解得：cos点 P 横坐标的取值范围是()5555点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为 向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点 A(-1,0) 和 B(1,0) ，P是圆 (x-3) 2+(y-4) 2=4上的一动点，求 PA2 PB2的最 大值和最小值。uuur uuur uuuur uuur分析：因为 O为 AB的中点，所以 PA PB 2PO, 故可利用向量把问题转化为求向量 OP 的最值。uuur uuur解：设已知圆的圆心为 C，由已知

4、可得： OA 1,0, OB 1,0uuur uuuruuuruuur uuuruuur uuur即2 100uuur 2uuur2uuur故 20PAPB2OPuuur3 OP 72所以 PA 22PB 的最大值为 100，最小值为 20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决， 也会显得自然、简便，而且易入手。例 3、（ 2003 年天津高考题） O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点uuurABuuur|AB|uuurAC|AC|与 ABC 的 角 平 分 线 （ 射 线 ） 同 向 的 一 个 向 量 ， 又uuur uuur

5、 uuur OP OA APuuur(uAAuBBuruuurACuuur ） ，知 P 点的轨迹是 ABC的角平分线，从而点 P的轨迹一定通过 ACABC的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；ur uur1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v1、v2 ；满足 OPOAAB AC( ) ， |AB | | AC |0 ，则 P 的轨迹一定通过 ABC的（ ）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心uuur uuur分析：因为AB AC uuur uuuruuur 、uuur 分别是与 AB、AC 同向的单位向量，由向量加法的平行

6、四边形则知|AB| | AC|2) 求出角平分线的方向向量3) 由点斜式或点向式得出角平分线方程。 直线的点向式方程：过 P( x0,y0 )，其方向向量为 v(a,b) ，其方程为x x0y y0 b例 4、( 2003 年天津)已知常数 a向量的直线与经过定点 A(0,a)以 i 2uuuruuurPEPF存在两个定点 E、 F ，使得0，向量 c (0,a)，i (1,0) ，经过原点 O以c i 为方向c 为方向向量的直线相交于点 P ，其中R 试问：是否 为定值， 若存在， 求出 E、 F 的坐标； 若不存在， 说明理由(本小题主要考查平面向量的概念和计算 , 求轨迹的方法，椭圆的方

7、程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力 . )解：根据题设条件，首先求出点 P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值 .r r r r r r c (0, a)，i (1,0) ， c i =(， a)， i 2 c=( 1， 2 a). 因此，直线 OP和 AP的方程分别为y ax 和 y a 2 ax .整理得(y a2) 21.因为 a 0, 所以得：消去参数，得点 P(x,y) 的坐标满足方程 y(y a) 2a2x2.(a2)22(i)当 a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；2(ii )

8、当 0 a2 时，方程表示椭圆，焦点E(1 1a2 ,a) 和 F(1 1a2 , a )为合乎题意0 a2 2 2 22 2 2的两个定点；(iii )当 a 2 时，方程也表示椭圆，焦点 E(0,1(a a2 1)和 F(0,1(a a2 1)为合 2 2 2 2 2 乎题意的两个定点 .点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程 的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为a 下题：在OAP中，O(0，0)、A(0，a)为两个定点，另两边 OP与 AP的斜率分别是 ( 0), 2 a，求 P 的轨迹。 而课本上

9、有一道习题(数学第二册(上)第 96 页练习题 4)： 三角形 ABC的两个顶点 A、 B的坐标分别是( -6 ，0)、(6，0)，边 AC、BC所在直线的斜率之4 积等于 ，求顶点 C 的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。9例 5（ 2004 年天津卷理 22）椭圆的中心是原点 O，它的短轴长为 2 2 ，相应于焦点 F（c，0） （ c 0）的准线 l 与 x 轴相交于点 A，|OF|=2|FA| ，过点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q两点 .（ 1）求椭圆的方程及离心率；2)若 OP OQ0 ，求直线 PQ的方程；3）设 AP AQ（1），过点 P 且平行于准线 l 的直线

10、与椭圆相交于另一点M，证明FMFQ.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力 .1）解：由题意，可设椭圆的方程为22 xy a221(a 2) .2a由已知得c2c22(ac2,解得c).6, c所以椭圆的方程为62y2 1，2离心率 e2）解：由（ 1）可得 A（3，0） .设直线PQ的方程为 y k（x 3）. 由方程组2 x 6 y2y2k(x1,3)依题意得 (3k 2 1)x218k 2x 27k2 612(2 3k2) 0 ，得k63设 P(x1, y1), Q(x2, y2 )，则 x1x218

11、k23k2 1 ， x1x227k2 63k2 1由直线 PQ的方程得 y1 k（x1 3）,y2k(x2 3) . 于是22y1y2k (x1 3)(x2 3) k x1x2 3(x1 x2) 9 . OP OQ 0 ， x1x2 y1y20.由得 5k2 1，从而 k56 (,6).533所以直线 PQ的方程为 x 5y 30或x 5y303, y2) .由已知得方程组2)证明： AP (x1 3, y1), AQ (x2x13(x2 3),y1y2,22x1y11, 注意6222x2y21.621 ，解得 x2512因 F(2, 0), M (x1, y1) ，故 11FM(x12,y1)(x23) 1,y1)( ,y1)( ,y2 ).221而 FQ (x2 2, y2) ( , y2) ，所以 FM FQ.2三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份” ，使向量与解析几何之间有着密切联系，而 新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查， 这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中， 应抓住时机，有效地渗透向量有关知识