孟华自动控制原理ch8

1、第八章第八章 非线性控制系统非线性控制系统nonlinear control system内容提要内容提要1. 概述概述2. 非线性特性的描述函数非线性特性的描述函数3. 用描述函数分析非线性系统用描述函数分析非线性系统4. 相平面图，奇点和极限环相平面图，奇点和极限环5. 非线性系统的相平面图分析非线性系统的相平面图分析8.1 概述概述典型非线性特性非线性系统的运动特点非线性系统的研究方法一、典型非线性特性一、典型非线性特性(一一)饱和非线性饱和非线性输入近似饱和特性输出实际饱和特性m-mb-b0输入0输出kkh-h(二二)死区非线性死区非线性0输入输出kb-b(三三)间隙非线性间隙非线性(

2、四四)继继电电器器型型非非线线性性输入输出m-m0(a)输出m-m0h-h输入(b)输入输出m-m0h-h(c)输出m-m0mh-mh输入h-h(d)二、非线性系统的运动特点二、非线性系统的运动特点(一)稳定性 与系统的结构和参数及系统的输入信号和初始条件有关。 研究时应注意： 1、系统的初始条件； 2、系统的平衡状态。te0e(t)(二)系统的零输入响应形式 某些非线性系统的零输入响应形式与系统的初始状态有关。 非线性系统，在初始状态的激励下，可以产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。(三)极限环（自激振荡）e(t)频率0振幅k 0k k =0k非线

3、性弹簧m重物粘性阻尼器b系统微分方程：m +b +kx+ x =0k3x.x.(四四)频率响应频率响应软弹簧硬弹簧非线性弹簧力非线性弹簧力具有硬弹簧的机械系统具有软弹簧的机械系统040 x51326k 012365三、非线性系统的研究方法三、非线性系统的研究方法 v相平面法相平面法o适用于一阶、二阶系统适用于一阶、二阶系统v描述函数法是一种等效线性化描述函数法是一种等效线性化方法方法v计算机仿真计算机仿真8.2 描述函数法描述函数法一、描述函数的基本概念一、描述函数的基本概念假设：假设：非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构非线性非线性n线性线性g(s)xyrc1 1. 可以归化为典型结构可

4、以归化为典型结构2.非线性特性以原点对称非线性特性以原点对称 3.线性部分具有良好的低通滤波特性线性部分具有良好的低通滤波特性 描述函数：描述函数： 输出的一次谐波分量与输入信号的复数比。输出的一次谐波分量与输入信号的复数比。11wwaytatyxyn111sin)sin(设设 y=f(x)将将y 展开成富里叶级数展开成富里叶级数10)sincos()(nnntnbtnaatyww二、描述函数的计算方法二、描述函数的计算方法10)sin(nnntnyaw0,1,2)d()cos(120nttntyan ww式中式中1,2,3)d()sin(120nttntybn wwnnnnnnbabayar

5、ctan22 ; 由定义得由定义得11121211batgabaayn1三、描述函数计算举例三、描述函数计算举例mxy0ym02 t02 tx例例1.继电型非线性继电型非线性 非线性特性以原点对称，非线性特性以原点对称， a0 0 y(t)为奇函数，为奇函数，a1=0tbtywsin)(11ww201)d()sin(1tttyb2ww0)d(sin4ttm4mtmtywsin)(41amayn4110 x(t)a2-11 tx(t) asinwt 输出 y(t)k输入x(t)0-k20 1-1y(t) ty(t)y1(t) y1sinwt 非线性的输出 ay tk ataw 0 ( )( si

6、n) 例例2.具有死区非线性特性的描述函数具有死区非线性特性的描述函数20201)d()sin(4)d()sin(1wwwwtttytttyb2)d()sinsin(4www1tttak222)d(sin)d(sin4wwww11ttattka2tcos2-1sin2wwttaxwsin1sinaax 11sin时作辅助三角形作辅助三角形1a22a21)(1cosa死区非线性的描述函数为 abayan111)( -1arcsin22 aaakk -1arcsin222 1 aaakab输出 y(t)k输入x(t)b-b020-11x(t)a tx(t) asinwt 20 1-1kby(t)

7、ty(t)y1(t) y1sinwt kataby tkbabwsin( )饱和非线性输出 例例3.饱和特性非线性饱和特性非线性由图: ba1arcsin yabbab221111111arctan020201)d()sin(4)d()sin(1wwwwtttytttyb11kattkbttwwww2204sind()sind()11kabttttawwww2204sind()sind()11kabtttawww20411sin2cos24 kabbbaaa22arcsin1- 饱和非线性的描述函数为 abayan111)( kbbbaaa22arcsin1例例4.具有死区和滞环继电器特性具有

8、死区和滞环继电器特性输出 y(t)m输入x(t)m020 x(t)a tx(t) asinwt 20y(t) ty(t)y1(t) y1sin(wt+1） 12122mty tmtww( )12112222122在半个周期内，继电特性输出为在半个周期内，继电特性输出为 0( )0y tm11220tttwww11sina12sinma式中式中 , 12(1)m maa221211mmbaa11222( )2211(1)bjan aammmjmaaaa 8.3 用描述函数分析非线性系统用描述函数分析非线性系统 1. 线性系统稳定性判据线性系统稳定性判据特征方程特征方程1+g(s)=0g(s)rc

9、s = j 时时g(j)= -1临界状态是一个点临界状态是一个点=0+-1reimg(jw w)=00 2.非线性系统的稳定性判据非线性系统的稳定性判据 特征方程特征方程 1+n(a)g(s)=0n(a)g(s)当当 s = j 时，系统处于临界状态时，系统处于临界状态临界状态是一条曲线临界状态是一条曲线g(j)= -1n(a)=0+g(jw)=0-1n(a)-1/n在在g(j)的左边，的左边，系统是稳定的系统是稳定的reim0(a)-1n(a)=0+0reimg(jw)=0(c)0reimg(jw w)=0(b)=0+-1/n在在g(j)的右边，的右边，系统是不稳定的。系统是不稳定的。-1n

10、(a)-1/n与与g(j)相交，相交，系统将产生极限环振荡。系统将产生极限环振荡。 极限环的稳定性极限环的稳定性=0+0reimg(jw)-1n(a)ababa b 稳定稳定区区非稳定非稳定区区 a点是不稳点是不稳定极限环定极限环 b点是稳定点是稳定极限环极限环3.描述函数法的应用描述函数法的应用用途：用途： 判断非线性系统的稳定性判断非线性系统的稳定性 是否存在极限环是否存在极限环步骤：步骤： 求描述函数求描述函数n 画出画出-1/n与与g(j)曲线曲线 判断系统的稳定性判断系统的稳定性应用描述函数法的基本假设：应用描述函数法的基本假设：1、系统可归化为如下的典型结构。2、非线性特性以原点对

11、称，且输出中的高次谐波振幅小于基波振幅。 3、线性部分的低通滤波效应较好。 n(a)g(s)c(t)r(t)=021)(1sin2)(abababkan例1.解：解： kx(t)y(t)c(s)-bbr(s)g(s)求求n：180)(1sin2)(121abababkana=b时：时：180118022)(1kkana时：时：180)(1an)4 . 01)(05. 01 (1sss在复平面上画图：在复平面上画图：0reim=0+g(jw w)-1n(a)-1n(a)可求出可求出k临界值：临界值： 先求先求c1804 . 005. 09011wwtgtg50cw再求再求045. 0)(cjgw

12、由由-1/n= g(jw w)k =10.045= 22.5k值较小时，值较小时，-1/n在在g(jw w)的左边，的左边，系统稳定系统稳定k值较大时，值较大时，-1/n与与g(jw w)相交，相交，系统有稳定极限环系统有稳定极限环如设如设b =1, k =30045.0)1(111sin60)(121aaaan所以所以 a=1.6极限环振荡的振幅为极限环振荡的振幅为1.6，频率为频率为7.07。例2. cx(t)y(t)c(s)-bbr(s)g(s)解：求求n：2)(14)(abacan180)(14)(12abcaana=b时：时：a时：时：180)(1an180)(1an必有极值必有极值

13、 求出该极值求出该极值0)(14()1(2abcadaddandba2曲线有极值时，当nba121802180)2(142)(12cbbbcban极值为：极值为：wg(jw)0reim-1n(a)aaa bcb2画图画图 求稳定极限环振荡的求稳定极限环振荡的振幅和频率振幅和频率)()(1wjgan1804 . 005. 09011wwtgtg222)4 . 0(1)05. 0(11)(14wwwabca750 w04. 0)7(jg设 b=0.1， c=5极值点在极值点在0.03，此时的此时的a=0.1414wg(jw)a=0.11=7 a=0.22=7-0.030reim-1n(a)aa a

14、=0.141422. 011. 0baaa 求出求出例例3. 解：解：maan4)(1 )(1)-4(1)(18)-(1241)(4)(22222222wwwwwwwwwwwwjjjjjga=0+0reimg(jw)=0-2-1n(a)8m,=1a=4s(s+1)2 m-my(t)x(t)-x(t)0令令g(jw w)的虚部为零的虚部为零 ,求得交点处的频率求得交点处的频率w w 1w 202)(1wwjg代入代入g(jw w)的表达式，得的表达式，得w 1(弧度/秒)交点处的参数应满足交点处的参数应满足 )(1)(anjgwma42即即 自激振荡的振幅自激振荡的振幅a8m/，频率，频率w 1

15、。 a8m/例例4系统如图。其中滞环非线性特性参数系统如图。其中滞环非线性特性参数 m=4，=1。试分析该非线性系统是否存在自激振荡。试分析该非线性系统是否存在自激振荡。 解解 描述函数描述函数220044( )1 ()( )4( )mmn ajaaamnana2011( )4ajna 22044( )1 ()()najaaa其中21re1( )16an a 1im( )16n a 因此因此 虚部为一常数虚部为一常数 线性部分的频率特性线性部分的频率特性g(jw w )可写为可写为 )-(29)-(2412-2)1)(4)(222422wwwwwwwwwwjjjjjg由由-1/n(a)=g(j

16、 )求得求得 =1.14 a = 5.1a=5.1=1.14-1n(a)-0.20reim-1 =0g(jw w)4、非线性系统结构图的简化、非线性系统结构图的简化 为了应用描述函数法分析系统的稳定性及自激振荡，需要将实际系统的各种结构形式归化为典型结构。 在讨论自激振荡时，只研究系统内部的周期运动，并不考虑外部作用。因此，在将结构图归化时，可以认为所有外作用均为零。 （1 1）并联非线性）并联非线性en1n2gc先求各非线性的描述函数先求各非线性的描述函数n1(a)和和n2(a)， 并联非线性特性的描述函数为并联非线性特性的描述函数为 n(a) n1(a) n2(a) （2 2） 串联非线性

17、串联非线性 串联非线性的描述函数不等于两个非串联非线性的描述函数不等于两个非线性描述函数的乘积。线性描述函数的乘积。 当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的当两个非线性环节串联时，则先将两个环节的特性等效为一个特性，然后求总描述函数特性等效为一个特性，然后求总描述函数n(a)。 注意注意: 调换串联的前后次序，等效特性将会不同。调换串联的前后次序，等效特性将会不同。因此不能随便更改位置，这一点是与线性环节串因此不能随便更改位置，这一点是与线性环节串联有所区别的。联有所区别的。 n1n2xuy假定图中假定图中n1为死区非线性，为死区非线性，n2为饱和非线性：为饱和非线性：xuyxuk1a1uy

18、k2b1xyk1k2a1a1+11kbyx串联后复合非线性串联后复合非线性非线性环节串联等效特性的求法：非线性环节串联等效特性的求法： msyxu=k(x-b) x bk(x+b) x-b0 xb-m u 0u -m xs0 x ,x /k+b=s m kbxyu8.4 相平面图相平面图 相平面法是一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法。 是状态空间分析法在二维空间中的应用，该方法适合于研究二阶系统。221xxxxxnnww2122一、相平面图的基本概念一、相平面图的基本概念二阶系统022xxxnnww 令x1x, x2 x.相平面相平面： 以相变量x1和x2为坐标构成的平面。相轨迹相轨迹：

19、在相平面上，由(x1，x2)以时间t为参变量构成的曲线。acbx1=xx2=x.二、相平面图的绘制二、相平面图的绘制对于二阶系统f(x, )x.x.+=0(x, )以x, 为相变量，可得到相轨迹通过点 的斜率x.x.x.=dxdx.f (x, )x. (一一)相平面图的特点相平面图的特点1、对称性x.a. 关于 轴对称即f(x, )是关于x的奇函数。x.x.=f (x, )x.f (-x, )x. x.f (x, )x.=f (-x, )x. 或b、关于、关于x轴对称轴对称即f(x, )是 的偶函数。x.x.-f (x, - ) x.x.=f (x, )x x.f (x, )x .=f (x,

20、 - )x.或c、关于原点对称关于原点对称即 f(x, ) f(x, ) x.x.x.=f (x, )x x.f (-x, - )x. 普通点 相平面上不同时满足 0和f(x, )0的点。x.x. 奇点 相平面上，同时满足 0和f(x, )0的点。x.x.2. 奇点和普通点3.相轨迹通过x轴的斜率所以，除了奇点外，相轨迹和x轴垂直相交。在x轴上，所有点都满足 0。除奇点外相轨迹在x轴上的斜率为x.x.=dxdx.f (x, )x. =acbx1=xx2=x.4.相轨迹移动的方向相轨迹移动的方向上半平面：上半平面：x 0dt0 , dx0 相轨迹方向自左向右相轨迹方向自左向右下半平面：下半平面：

21、x 0 , dx0 , dx=0 相轨迹与横轴正交相轨迹与横轴正交q系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。(二二)绘制相平面图的解析法绘制相平面图的解析法例例1试绘制二阶系统试绘制二阶系统02xxw 的相平面图。的相平面图。解：系统方程改写为解：系统方程改写为0dd2xxxxw积分得相轨迹方程积分得相轨迹方程2222axxwxx.0 x0dxxdxdtdxdxxddtxdx 图解法图解法: 等倾线法等倾线法 圆弧近似法圆弧近似法 (三三)绘制相平面图的图解法绘制相平面图的图解法 等倾线法等倾线法先用等倾线确定相轨先用等倾线确定相轨迹斜率的分布，再绘迹斜率的分布，再绘制相轨迹曲线。制相

22、轨迹曲线。设系统方程为 nnxxxww220得等倾线方程：得等倾线方程：令 = a dxdx./nnxkxwaw 22x.a=-1a=-1.2a=-1.4a=-1.6a=-1.8a=-2a=-2.5a=-3a=-4a=-6a=-11a=9a=4a=2a=1a=0.5a=0a=-0.2a=-0.4a=-1xabcdennxxxxxww2d20d改写为：直线的斜率直线的斜率例例2xx.解： + a + x=0 x.x. - a + x=0 x.x.x.0 x.0的相平面图求 + a | |+ x=0 x.x.上半平面的等倾线方程： x.1a+ a=-x三、由相轨迹求时间响应曲线三、由相轨迹求时间响

23、应曲线由 x.=dxdtx.=dxdtxbcxcdtcdtabtbctxabxabcdxabcdxabxcdxbcx.cdx.bcx.abx. 平衡点处的斜率平衡点处的斜率8.5 奇点和极限环奇点和极限环一、奇点一、奇点奇点就是系统的平衡点。奇点就是系统的平衡点。00 xxdtdxdtxddxxd 斜率不确定斜率不确定00 xx 平衡点平衡点运动的速度为运动的速度为0运动的加速度为运动的加速度为0nnxxxww220二、奇点的类型二、奇点的类型21,2211nnnnsjwwww 特征根：特征根：(1) 01j稳定焦点稳定焦点xx.(2) 0 -1j不稳定焦点不稳定焦点 xx.(3) 1j稳定节

24、点稳定节点xx.(4) -1j不稳定节点不稳定节点xx.(5) 0j中心点中心点 xx.o 两个异号实根两个异号实根jnnxxxww220(6)鞍点鞍点xx.在奇点(0,0)处，系统的线性化方程为 .x.x.+0.5 +2x=0例例3分析系统分析系统 的稳定性的稳定性 .x.x.+0.5 +2x+x2=0解：求得奇点(0,0)和(-2,0).x.x.+0.5 +(2+2xi)x=0在奇点在奇点(xi ,0)附近，系统的线附近，系统的线性化方程为性化方程为 x.=0 x.=0.在奇点(-2,0)处，系统的线性化方程为 .x.x.+0.5 -2x=024-224-4xx.三、极限环三、极限环v 极

25、限环极限环(limit cycle)是非线性系统所特有的自激振是非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。荡现象，在相平面图中表现为一个孤立的封闭轨迹。(1)(1)稳定极限环稳定极限环(2)(2)不稳定极限环不稳定极限环o 极限环内外的相轨迹曲线都从极限环发散。xx.o 极限环内外的相轨迹曲线都收敛于该极限环。xx.(3)(3)半稳定极限环半稳定极限环o 极限环分割的两个区域都是稳定的，或都是不稳定的。xxx.x.8.6 8.6 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析分析步骤：分析步骤：v 根据非线性的线性分段情况，把相平面根据非线性的线性分段情况，把相平面分

26、成几个区域。分成几个区域。v 画出各段的相轨迹。画出各段的相轨迹。v 将相邻区域的相轨迹连接起来。将相邻区域的相轨迹连接起来。 v 分析非线性系统的稳定性、动态特性和稳分析非线性系统的稳定性、动态特性和稳态误差。态误差。 ks(ts+1)mecrnme10 e0- e0k系统方程可写为 t + =kmc.c.ke | e | e0m=e =r -ct + + km=e.e.t + r.r.例例1：试分析下面的非线性系统：试分析下面的非线性系统设设r =10rr 001eeetkkete 001eeetkete 将相平面分成两个区域将相平面分成两个区域 e0e0e0e.tkkn2wkkti21k

27、tii21iiik1110iii可认为设xx.i 区xx.ii 区( (一一) )阶跃响应分析阶跃响应分析 r(t)=r1(t) ae0e0e0bcdefe.在区域内 t + +kke =0e.e.在区域内 t + +ke =0e.e.ii区的终态是区的终态是i区的初态。区的初态。实奇点实奇点虚奇点虚奇点开关线开关线( (二二) )斜坡响应分析斜坡响应分析 r(t)=r+vt t + +kke =v | e | e0 e.e.baecdep1p20e0e0(b) kke0vke0 , r 0e.p2p1abe0- e0e0e.当vkke0 , re0时：奇点：奇点：kkve kve 开关线在奇开关线在奇点的右侧点的右侧初态：初态：vrrr)0()0(ks(ts+1)+m-mmecr元件特性：当e0时,m m;当e0时,m = -m. 分界线分界线e 0。 将相平面分成区和区和区区 ee.a0 ee.a1a2在区域内 t + =-kme.e.等倾线方程 ：e.-km/ta+1/t=e0, m=m，系统方程为：在区域内 t + =kme.e.e0： c+bc 0 .当当e 0e+e 00.5 , e +e 0 e = .区域区域：.