第1篇桥梁结构分析的有限元法_第2篇结构承载力

1、桥梁结构理论桥梁结构理论bridge structure principle第1篇桥梁结构分析的有限元法finite element method of analysis of bridge structuren桥梁结构有限元法的分析过程analysis procedure of finite element of bridge structuren桁架桥结构分析analysis of truss bridge structuren梁式桥结构分析analysis of beam bridge structuren刚架桥结构分析analysis of rigid bridge structure

2、n薄壁箱梁桥结构分析analysis of thin walled box girder bridge structuren复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元combining virtual laminated elements for analysis of complex co-section bridge structure n小结summarizen本章参考文献referenceij xmxmxqxqn n 1850年矩阵符号问世matrix sign function appeared in 1850，1956年turner 等人将刚架位移法frame method was s

3、pread and exploitated to推广应用到弹性力学的平面问题elastic plane problem by turner in 1956，并在分析飞机结构获得成功and succeed in the analysis of aircraft structure. 现代有限元法在各个领域都得到广泛应用:modern finite element method is widely used in many fields.1.由弹性力学平面问题from elastic plane problem extends to扩展到空间问题和板壳问题spatial structure pro

4、blem and plate and shell problem ：拱坝arch dam、涡轮叶片turbine blade 、飞机airplane、船体ship及大型桥梁long span bridge2.由平衡问题扩展到稳定问题与动力问题from equilibrium problems extends to stability problems and dynamic problems ：结构地震structural seismic 、抗风与波浪力wind resistance and wave force 、动力反应dynamic response 3.由弹性问题扩展到弹塑性与粘弹性问

5、题from elastic problem extends to elastic-plastic problem and viscoelasticity problem 、土力学soil mechanics与岩石力学问题 and rock mechanics problem，疲劳与脆性断裂问题fatigue and brittle fracture problem4.由结构计算问题扩展到结构优化设计问题from calculation problem extends to optimal structure designing 5.由固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题（

6、焊接残余应力、原子反应堆结构的热应力）、磁场问题（感应电动机的磁场分析）以及建筑声学与噪音问题from solid mechanics extends to fluid mechanics , vadose and consolidation theory, heat conduction and thermal stress, welding residual stress, thermal stress of atomic reactor structure, magnetic field problem(analysis of magnetic field of induction mo

7、tor), architectural acoustics and noise program 6.由工程力学扩展到力学的其它领域（冰川与地质力学、血管与眼球力学等）from engineering mechanics extends to other fields of mechanics (glacier and geomechanics, blood vessel and eyes mechanics, etc)with the improvement of 传统traditional 的杆单元bar element、板单元plate element 、块单元block element、

8、壳单元shell element不断完善，索单元cable elemnet、虚拟层合单元combining virtual laminated element, etc 等使得复杂结构分析得以简化.make the complex structure to be simple. 本章-简述有限元法的基本思路outline basic idea of finite element 汇 总 出 桥 梁 结 构 分 析 中 的 常 用 单 元 刚 度 矩 阵 s u m m a r i z i n g rigid matrix most in use in analysis of bridge st

9、ructure 介绍一种通用三维单元构造方法 introduction of a general 3d element construction method 虚拟层合单元在桥梁结构分析中的应用application of combining virtual laminated element in analysis of bridge structure 桥梁结构有限元法的分析过程analysis process of bridge structure finite element method 结构有限元法的分析过程六个步骤结构有限元法的分析过程六个步骤six steps of analy

10、sis process of structure finite element method：（1）结构的离散化）结构的离散化 a discretization method for structure将要分析的将要分析的桥梁桥梁结构物分割成结构物分割成有限个单元体有限个单元体，并在单，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。的结构。（2）选择位移模式）选择位移模式choosing displacement model 假定假定s

11、uppose 位移是坐标的某种函数，位移是坐标的某种函数，称为位移模式称为位移模式或插值函数或插值函数interpolating function。根据所选定的位移根据所选定的位移模式，就可以导出模式，就可以导出derive用结点位移表示单元内任一点用结点位移表示单元内任一点位移的关系式：位移的关系式：贺贺:例如分析例如分析对象对象analysis object是是桁架桁架桥桥时，可以取时，可以取每根每根杆件杆件member作为作为一个单元一个单元，因，因为桁架桥本来为桁架桥本来就是由杆件组就是由杆件组成成is composed of 的。但如的。但如果分析的对象果分析的对象是连续体是连续体c

12、ontimuums，如如板桥，板桥，那末那末为了有效地逼为了有效地逼近近approximate effectively实实际的连续体，际的连续体，就需要考虑选就需要考虑选择择单元的形状单元的形状和分割方案和分割方案subdivision scheme以及以及确定单元和结确定单元和结点的数目等问点的数目等问题题。贺贺:选择适当的选择适当的位移函数是有限位移函数是有限单元法分析中的单元法分析中的关键。通常关键。通常选择选择多项式多项式polynomial作作为位移模式。其为位移模式。其原因是因为多项原因是因为多项式的式的数学运算数学运算operation（微（微分分differential和积分和

13、积分integral）比较方便比较方便，并且，并且由于所有光滑函由于所有光滑函数数partial of smooth function的局部，的局部，都可以用多项式都可以用多项式逼近。逼近。至于多项至于多项式的项数和阶次式的项数和阶次order的选择，的选择，则要考虑到单元则要考虑到单元的自由度的自由度degree freedom和解的和解的收敛性收敛性astringency要要求求。一般来说，。一般来说，多项式的多项式的项数项数terms应等于单应等于单元的自由度数元的自由度数，它的阶次它的阶次order应包含常数项应包含常数项constant term和线性项等。这和线性项等。这里所谓单元

14、的里所谓单元的自自由度是指单元结由度是指单元结点独立位移点独立位移independent displacement的个数的个数。enf（3）分析单元的力学特性）分析单元的力学特性analysis of mechanical characteristic 利用几何方程利用几何方程geometric equation ，由位移表达式导出用结点位移表示单元，由位移表达式导出用结点位移表示单元应变应变eb 利用本构方程利用本构方程constitutive equation，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力，由应变的表达式导出用结点位移表示单元应力 ebd 利用变分原理利用变分原理variati

15、onal principle ，建立单元的平衡方程，建立单元的平衡方程equilibrium equationeeekf00zyxbdbkteddd0 单元坐标系单元坐标系element coordination与结构坐标系与结构坐标系structure coordination不一致时，不一致时，需用坐标转换需用坐标转换coordination conversion0tktkete 单元刚度矩阵是单元刚度矩阵是单元特性分析单元特性分析的的核心内容核心内容element rigid matrix is the core concept of analysis of element charac

16、teristics.（4）建立整个结构的平衡方程equilibrium equation 两个方面：一是将各个单元的刚度矩阵，集合are integrated成整个物体的整体刚度矩阵the whole rigidity coefficient matrix；二是将作用于各单元的等效结点力列阵equivalent nodal force vector，集合成总的荷载列阵overall load vector。常用方法the most often used method-直接刚度法 集合所依据的理由reason是要求所有的相邻的adjacent单元在公共结点处的位移相等。整个结构的平衡方程fk（5

17、）求解未知结点node位移 考虑几何边界条件geometrical boundary condition将方程作适当修改revise之后，根据方程组equations的特点，选择合适的计算方法，可解出未知位移。（6）计算单元应力及所需要的结果 利用已求出的结点位移，计算各单元应力，加以整理得出所要求的结果。 桁架桥结构一般均为空间结构，可按空间杆单元进行分析，每个桁架杆即为一个单元。取结构坐标系（ ），单元坐标系（ ）zyx,000,zyxtjjjiiiewvuwvu,tzjyjxjziyixiefffffff,eeeeekkkkk00000 0000000010leake00tttxxzyx

18、zyxxxyzyxllaalaalalaaaat / / 0 / /桁架桥结构分析单元坐标系下单元刚度矩阵lxxaijx/ )(lzzaijz/ )(22yxxaallyyaijy/ )(222)()()(ijijijzzyyxxl经运算，在结构坐标系单元刚度矩阵为eeeeekkkkk 222 zzyzxyyxxeaaaaaaaaaleak对称桁架桥及其单元在初步设计时，可将空间问题简化reduced为平面问题plane problem，用平面桁架来计算，如图所示。结点位移列阵 结点力列阵 单元坐标系下单元刚度矩阵表达式expression同前，但 tjjiiewuwu,tzjxjzixief

19、ffff,00010leake结构坐标系下单元刚度矩阵表达式同前，但 22scscscleakesin,cossc22)()(ijijzzxxl 平面桁架及其单元多梁式简支multi-girder simple-supported structure 、连续及悬臂梁桥，可取板梁组合component单元，也可取抗扭torsion梁单元。如图所示，此种梁单元的结点位移列阵为结点力列阵为 tyjxjjyixiieww,tyjxjzjyixiziemmfmmff,梁式桥及其单元梁式桥结构分析leileileileilgjl-gjleileileileileilgjleikyyyyyyyyye/4 0

20、 6 2 0 6 0 0 0 12 6 0 12 4 0 6 0 1222223230对称00tttcssct0000 1 单元刚度矩阵element rigid matrix梁及其单元 单梁式梁桥，单元坐标系和结构坐标系一致（下图），去掉扭转位移，单元结点位移向量可写为tjjiieww,结点力列阵 tyjzjyiziemfmff,2 3 1 /36/ 3 /62 /3symmetry /622220/lll/llllleikkyee虑剪切变形影响时considering shear deformation effects，梁单元刚度矩阵 14 16 12 16 112 16 112 14 1

21、6 112222zzzzzzzzzzzzzelllllllleik)()()()()()()(对称 剪切影响系数shear influence coefficient212lgaeizyz/杆截面沿 轴axis方向的有效抗剪面积shear area材料抗剪模量modulus zazg分析悬臂梁桥时，会遇到一端铰接hinged connection另一端刚接的梁单元，单元结点位移列阵 tjiieww,tzjyiziefmff, 1 3212120lllllleikkyee对称铰接hinged悬臂梁铰接悬臂梁单元单元刚度矩阵结点力列阵刚架桥结构分析空间梁单元是分析刚架桥的常用单元，如图所示，单元两

22、端各有6个自由度结点位移列阵tjzjyjxjjjiziyixiiiewvuwvu,空间梁单元结点力列阵tzjyjxjzjyjxjziyixiziyixiemmmfffmmmffff,单元刚度矩阵element stiffness matrix 2/4 0 0 0 0 2/6- 0 /2 0 0 0 2/6 0/4 0 2/6 - 0 0 0 0 /2 0 2/6 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03/ 12 0 0 0 2/6- 0 3/12 - 0 03/12 0 2/6 - 0 0 0 3/12 - 0 0 0 0 0 0 /4 0 0 0 2/6 - 0 /4 0 2/6- 0

23、0 0 0 03/12 0 03/12 00/lzeilzeilyeilyeilyeilzeilyeilyeigj/l-gj/llyeilzeilyeilzeilzeilzeiae/llzeilzeilyeilyeigj/llyeilzeieklaelaesymmetry考虑剪切变形影响的单元刚弯矩阵stiffness matrix considering shear deformation effects 14 0 0 0 126- 0 12 0 0 0 126 014 0 126 0 0 0 12 0 126- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01312 0 0 0 126- 0 13

24、12- 0 01312- 0 126- 0 0 0 1312- 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 126- 0 14 0 126- 0 0 0 0 01312 0 01312 00)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ylzeiyylzeiylzeiyylzeizlyeizzlyeizlyeizzlyeilgjlgjzlyeizlyeizlyeiylzeiylzeiylzeilealeaylzeiyylzeiylyeizzlyeilgjzlyeiylzeileieksymmetry 0 0 00 0 00 0 00 0

25、0 ttttt22/12,/12lgaeilgaeizyzyzy对 、 轴方向的剪切影响系数 、 杆截面沿 、 轴方向的有效effective抗剪面积 0y0zyaza0y0zzyxzyxzyxcccbbbaaat 111sgagagaagbsgagagaagbsgagagaagbzzyyxxzzzzzyyxxyyyzzyyxxxxx/)(/)(/)(111sgagacsgagacsgagacxyyxzzxxzyyzzyx/ )(/ )(/ )(2221)()()(xyyxzxxzyzzygagagagagagaskikxlxxg/ )(kikylyyg/ )(kikzlzzg/ )(222)

26、()()(ikikikkzzyyxxl单梁式single-girder刚架桥rigid-framed bridge可按平面刚架进行分析，如图所示leileileileileileileilealealeileileileakyyyyyyyyyye/6 6 0 2 6- 0 12 0 6- 12 0 0 0 4- 6- 012 0 22323230对称00ttt0 0 00 0cssct刚架桥及其单元在结构坐标系structure coordination中，单元刚度矩阵element stiffness matrixerebekkk2 3 s3- 1 3- s36 6- 3 6 s6 6 3-

27、 s6 62 3- s3 6 6 62222222222222222cllcllclcslclclclslslclslcllclcslslleikeb对称0 0 00 0 0 0 0 - s 0 s 0 0 0 222222 scssc cccscscleaker对称采用同样方法，亦可考虑剪切变形的影响。 薄壁箱梁桥结构分析薄壁箱梁桥结构分析thin walled box girder bridge 在初等梁理论在初等梁理论general beam theory中，计入翘曲变形中，计入翘曲变形warping deformation、剪力滞及畸变影响、剪力滞及畸变影响shear lag effe

28、ct后，发展起来的薄壁梁解析理论后，发展起来的薄壁梁解析理论analytical theory能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性能合理地反映薄壁箱梁结构的固有变形特性inherent deformation characteristic。本节以单箱室对称截面。本节以单箱室对称截面symmetrical section箱形箱形梁为对象梁为对象object，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程，建立结构空间分析的刚度矩阵及其求解方程solving equations。 薄壁箱梁断面及分析采用的坐标系（1）位移模型及平衡方程节点位移列阵tdjdjjxjzjsjjyjsjjgejtdidiixi

29、zisiiyisigieifwvufwvu, eieie 截面形心位置section centroid； 截面剪切中心位置； 截面畸变中心位置distortion center； 形心位置 沿 方向（梁轴方向）位移； 剪切中心位置 在 方向（横向lateral）位移； 剪切中心位置 在 方向（竖向vertical）位移； 分别为断面绕三坐标轴的角位移angle displacement； 扭转tortion翘曲位移； 畸度角； ，畸变翘曲位移distortion warping deflection； 上翼板upper slab最大相对剪切转角位移差。gsdgugxsusyswszzyx,fd

30、dxrddd翘曲和剪滞位移只在轴向产生，薄壁箱梁的断面位移模型 dwxssdvxsddyzgdzzwzywdyvzyvwrwwfzyuzyu)(),(),(),(xwxuszsy/,/单元平衡方程element equilibrium equationeeefk1201202020 ,yyjzjjdidiiixiziyiiyiziiemmfnbmbmmfmmfnftdjdjijxjzjyjbmbmmf,),(161211621jikij由弯曲变形分析给出 ),(181787jikij由扭转变形分析给出 ),(2019109jikij由畸变分析给出 直线梁的弯、扭变形bending and to

31、rsion behavior互不耦联hybrid，可分别讨论discuss separately（2）弯曲变形刚度211bbbyzwinii弯曲变形flexural deformation刚度方程 eefkkkkkkkkkkkkkkkk 16,1611,166,161 ,1616,1111,116,111 ,1116, 611, 66, 61 , 616, 111, 16, 11 , 1单元刚度系数),(141141jikij lxszgmlxzsymlxzsymlxgmvieuseiekieviekieviekseuaek11114111311121111, lxszgmlxzsymlxzs

32、ymlxgmvieuseiekieviekieviekseuaek11114111311121111,1411, 41m1211210176598657656axaxaiegkaekiiaekiiaxvaxaeasaeasaxuaeaeaxzkxyzkxyzskxkxgkxkx)()()(yjzklyzklyzsjzklyzklyzgjklkljklklyiyzyzsiyzyzgiialaaliegkaeiiaeiivalaalaliegkaekiiaekiiualaaeasaeasaaeaeaaiiaiivaakiiakiiuaaasaasaaa11107216512111027316598

33、6576511651265965765226yziiasiegkk221/)/(2111 eeaadakdas2,aazdaidazi2,iininibbbynz211 翼板局部坐标，其原点除悬臂板取在悬臂端cantilever end外， 其余均取板中点，且方向与 轴一致 翼板修正系数correction factor，可根据试验test或解析analysis取得 iyiy除平面 内的力素外，在平面 各力素如下 xoyxoz szgszzzsyygzsyzszyvieuseiemwiemieviemseuaenieviefwief11111111111（3） 扭转变形刚度扭转变形刚度方程 i

34、jxjiixijxjixibmbmffkkkkkkkkkkkkkkkk18,1817,188 ,187,1818,1717,178 ,177,1718, 817, 88 , 87, 818,717,78 ,77,7 刚度系数 为 ijk)()()()()()()(,klklgiklklklkkhklklklgiklklklkkkklgiklklklkkkkkklkgiklklklkkkddddshshch121schshch121ch1shch121shshch121188181888181718171878717717777（4）畸变刚度djdjdididjdjdidibmbmkkkkkkk

35、kkkkkkkkk20,2019,2010,209 ,2020,1919,1910,199 ,1920,1019,1010,109 ,1020, 919, 910, 99 , 9 cossin,lllpiekkdchsh431191999llpiekkd22212019109ch2cos,cossin,lllpiekdshch431199llpiekkdsin,sh4211910209lllpiekkdcossin,chsh2120201010lllpiekdcossin,shch2120104224shdriillp/,sin复杂组合截面桥梁结构分析的虚拟层合单元 上世纪90年代初，浙江大学

36、徐兴教授从8-20节点三维实体等参元出发，直接引进基本假定，构造了一系列退化的单元，形成了退化单元系列： 中厚板单元 kirchhoff板单元 膜单元 空间梁单元 平面梁单元等 它们均是协调单元，单元自由度数与已有相应的单元相同。 其突出的优点是： 单元列式简单划一， 各类退化单元间及实体单元连结十分方便 后来发展了虚拟层合单元对于 层合结构（钢与concrete） 复杂的箱形、t形结构的总体分析十分简单有效，计算精度能够满足工程需要。大大提高了复杂组合结构的静、动力和非线性分析的计算效率。 1） 经典classical的三维实体three-dimensional entity等参元isopa

37、rameter element 一般的实际practical问题都是空间space问题，解决问题的方法就是建立用三维坐标描述described的空间模型进行求解。描述空间问题最简单的单元是四面体tetrahedroid，但是一个空间区域分割divided一些四面体小区域非常困难，甚至有些使人难以想象，如果用六面体hexahedron来分割空间区域就能清楚地区分各个六面体之间的相互关系，因此用六面体来进行有限元分割是最方便的。空间三维等参元常用的是八节点二十节点的六面体，其中八节点六面体的形状完全由其八节点的位置或坐标所决定，其棱边edge是直线，其侧面是由两族直线所构成的直纹面ruled su

38、rface，所以其计算精度calculation accuracy和逼近物体的弯曲边界有时显得不够理想，二十节点六面体空间等参元能很好地满足计算精度和逼近approximate物体的弯曲边界boundary的要求，对空间问题通常是最有效的单元，而十二节点、十六节点六面体空间等参元是空间八节点等参元在一个或两个方向提高了精度improve accuarcy 8-20结点等参元母单元8-20 nodes isoparameter parent element 8-20结点等参数单元 实际单元坐标与母单元坐标之间的关系可表示为niiiniiiniiiznzynyxnx111),(),(),(),()

39、()(),()()(),()()(),()()()(20191817111411615141311141121110911141821211181222ininininiiiiiiiiiiiiiiii形函数shape function 记 三 维等 参 元的 节 点位 移 矢量为tnnntnwvuwvuwvu,55511151那么单元内任一点的位移可表示为niiiniiiniiiwnwvnvunu111),(),(),(按几何关系geometrical relation可得应变计算式,bbbbtnn5121xnznynznxnynznynxnbiiiiiiiiii 0 0 0 0 00 000

40、有下列关系inininxniynizniznynxnjzyxzyxzyxnnniiiiiijacobi矩阵matrix ,21ndbdbdbbdd本构关系constitutive relationship 弹性矩阵 665544332313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ddddddddddddd三维等参元的刚度矩阵可分成 个子矩阵，典型的子矩阵submatrixnn 111111dddjbdbdxdydzbdbkjtijtiij单元体积力 等效到节点上的等效节点力equivalent nodal for

41、ce为 tvzvyvxvpppp ddd111111jpppnffffvzvyvxivzivyivxivi 将 单 元 的 表 面 力surface forcetszsysxspppp sjpppnffffszsysxiszisyisxisidjacobi行列式determinant的值 等效到节点上的等效节点力为（2）退化的实体单元degenerated solid element经典的板壳单元都是根据板壳理论theory of plates and shells构造出来的，而经典板壳理论则是一般的三维弹性理论根据板壳结构特殊的几何形状引入一定的简化假定后得到的，因此可以认为板壳理论是一种特

42、定条件下简化的三维弹性理论。从三维弹性理论直接导出的是三维实体等参元。由此不难看出，板壳单元其实是一种特定条件specified condition下的简化simplified的三维实体等参元，只要在三维实体等参元中引入leading into必要的简化的假定necessary simplified assumption即可发展成can be developed to由三维实体等参元退化degenerated的板壳单元，如图所示，称之为退化的实体单元。 三维弹性理论三维弹性理论薄板壳理论厚板假定thick plate assumption薄板单元三维实体等参元3d entity isopara

43、meter element中厚板壳单元moderately thick薄板假定单元构造单元构造单元构造 板壳理论与板壳单元厚板假定薄板假定（a）相对位移的引入leading into relative displacement如图所示的16节点板壳单元，每个节点有 、 、 三个自由度，共48个自由度。单元坐标和位移插值形函数displacement interpolating function和三维实体单元相同。考虑到扁平flat单元会使刚度矩阵病态ill-conditioned matrix，采用r.d.wood的建议，用相对位移comparative displacement的办法克服。记

44、16节点三维等参元的节点位移矢量为 uvw16节点板壳单元,16555111wwvuwvu引入by introduction of 相对位移后，单元节点位移矢量改为 . twwvuwvu,16555111155uuu155vvv155www165115www（b）reissner厚板单元 板的弹性理论是三维弹性理论的退化形式，我们在写出reissner板的弹性本构关系时仍保留三维弹性理论的形式，为方便起见，取坐标 方向为板法线方向，根据reissner板理论的假定 ， ，因此可以忽略 不计，有zyzxz,z)(yxz即 为不独立的应变分量，对上式沿厚度方向积分，得相对挠度z2 2 2 2 dd

45、hhyxhhzzzw)(假定suppose0w约束 后16节点的单元自由度数从48降至40，与8节点40自由度厚壳单元相同，但在所有自由度中没有转角自由度而只有位移自由度，这样产生的单元，可以方便地与其它单元连接，而且有限元列式更加简单统一。如果引入中面不伸长的假定w00下上下上vvuu又将约束 自由度，单元变成16节点24自由度厚板单元，与8节点24自由度厚板元相同。为了与三维单元的形式一致， 和 的约束也可用罚系数的方法来实现。 在三维弹性应力应变关系中引入一个罚系数 ，当计算刚度矩阵时， 取一大数，一般可取1000，使得 ，当计算应力时，取 =1或 =0，使 这样在三维弹性理论中，引入了

46、reissner板的假定，将三维弹性理论退化成reissner板理论，具体的reissner板的应力应变关系为16280z0w0z0zxyzxyzzyxxyxzyzzyxdddddddddddd665544332313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 （c）kirchhoff板单元根据kirchhoff板理论假定， ，即薄板横向的剪切刚度无限大，为此对相应的刚度系数进行修正，即乘以一个大数 =1000。此时应力应变关系修正为0yzxz2xyzxyzzyxxyxzyzzyxdddddddddddd665524

47、423312313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 其它约束处理同reissner板（d）薄膜单元thin-film element根据类似分析on the similar method如果引入约束000下上下上下上wwwvvvuuu可得到16节点24自由度膜单元 （e）单元刚度矩阵上述above分析表明，通过修正应力-应变关系和约束一部分相对位移可引入reissner板、kirchhoff板和膜的理论的基本假定。简单比较可见reissner板、kirchhoff板和膜结构的应力-应变关系扩阶后与三维弹性问

48、题相似，因此板、膜单元的元素矩阵和三维块体等参元元素矩阵的具有完全相同的形式。 （f）相对位移引入后刚度矩阵的修改考虑如下形式的单元平衡方程212122211211ffuukkkk作变换21211211101uuuuuuu则单元平衡方程变为212122211211101111011011ffuukkkk整理得 22121222221221222211211fffuukkkkkkkkk对于一般的壳问题，上述推导在以法向 方向的局部坐标系内仍然成立。适当的坐标变换可把上述推导推广到一般壳单元，也可以得到一系列的正交曲线坐标系下的壳单元。采用类似的方法，可以从平面单元退化得到平面梁单元。 z （3）

49、三维梁单元在12-20节点三维等参单元中，引入梁的基本假设，便可得到三维梁单元。它可以用以分析各种截面形状（包括变截面的）的空间梁的弯曲、扭转，也能很方便地与三维块体单元、三维板壳单元连接，以解决复杂桥梁结构分析问题。根据梁的几何特点引入以下假定：横向正应力相对于其他应力是小量，可以忽略。即由假设可知 ， 不独立， ， 也不独立，且为小量，也应约束掉。如果不考虑剪切变形，则还有 为梁的轴线方向。考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系可以表示为0yzzyvw0 xzyxxzyxzyxxzyxzxyxggge不考虑横向剪切变形的梁的应力应变关系zyxzyxxzyxzyxxggge与一维梁单元比较，不考

50、虑扭转翘曲的梁单元每个节点有6个自由度， 。矩形截面三维梁单元，每个截面4个节点，每个节点3个自由度 ，共12个自由度。根据假定zyxwvu,wvu,003243vvww令44321uuuuu平截面假定有 uuuuuu2,24213共有6个约束方程，故每个截面也只有6个自由。与一维单元相同。除应力应变关系略有不同外，单元的元素矩阵相同，同样可以构造虚拟的层合的梁单元。可以方便地分析杆件的约束扭转问题 （4） 虚拟层合单元由不同材料组成的桥梁结构（如结合梁、钢筋混凝土结构、钢管混凝土、钢箱混凝土等）的总体分析是一个比较烦琐的力学问题，目前对这类结构的有限元分析常采用两种方法（a）用三维实体单元对

51、桥梁结构进行细致的离散。这一方法的优点是能够准确地描述桥梁的几何形状，它的缺点是庞大的计算量对总体分析而言是一种浪费（b）另一种方法则是把结构简化为杆、梁、板、壳或它们的组合结构。这种方法的优点是计算量少，但很难描述复杂桥梁结构的实际几何特性，特别是变截面主梁和有中空的区域箱梁，因此其结果往往不能反映桥梁的整体特性。如何建立一个能描述结构几何形状、受力特征的简洁有效的有限元模型是整体分析的关键。（1）层合板壳单元在上节三维等参元的单元刚度和单元外力计算公式中，我们可以看出这些计算都是在单元内的积分，如果将区域积分用一些小区域（m个）的积分之和来替代，或者说将区域积分分解成一些小区域的积分，如v

52、miviivfvf1ddmvuuvuvvv321用上可对八节点二十节点空间三维等参实体单元进行改进。由于同一单元中可能包含m个不同的材料区域，单元元素矩阵的积分按m个不同的材料区域分区进行，为mkjktijtiijzyxbdbzyxbdbk1ddd ddd 不失一般性，假定每种材料区域可以由8-20个单元内节点描述。每个单元内节点可由该节点在母单元中的坐标表示。记第 个材料区域第 个节点的母单元坐标为 ，则材料区域中任意点的母单元坐标为ki),(kikikimnikiikmnikiikmnikiiknnn 1 1 1),(),(),( 1 , 1,1 , 1,1 , 1则单元的元素矩阵可改为

53、ddd),(),(1111111jjbdbkmkkkkjktkkkiij 材料分区数 区域内坐标变换矩阵的jacobi行列式的值 在每个材料区域采用高斯积分，有mjtsrmkgrrgssgttkkkjktkkkiijhhhjjbdbkktkskr,1111),(),( 分别为一个材料区域内的各个方向的 高 斯积分点数目； 高斯积分点的权系数。tsrggg,tsrhhh,（2）虚拟层合单元对图所示的一矩形箱梁，如用传统有限元分析，为了反映箱梁有中空的区域的结构特征，划分单元的必须采用相当多的实体单元来离散箱梁结构如图a），如果将该箱梁划分成三个经典的二十节点空间三维等参元如图b），那么箱梁的中空

54、结构特征就描述不出来了。ab 悬臂矩形箱梁 用上述的分区积分的办法，将单元积分区域分成两个区域（a）有真实材料的区域（顶板、底板和腹板）（b）没有材料的区域（中空区域）在这个中空区域中由于没有材料，它的积分值将是零，因此单元的积分只要在有材料的区域内积分就可以了，这样就可以将箱梁有中空区域的复杂结构整体特征反映出来了。再进一步分析如果有材料的区域（顶板、底板和腹板）有不同的材料特性（弹性模量、质量密度），还可以分为不同材料特性参数的区域（如顶板、底板与腹板的材料特性参数不同）的积分没有材料的区域（中空区域）可以认为是材料特性（弹性模量、质量密度）为“零”的材料。将单元的积分区域人为地分为几个小

55、的积分区域，在每个小的积分区域内有不同的材料特性参数，包括“零”材料特性参数，此概念亦可在虚拟段上，无论虚拟层，还是虚拟段，或者二者兼有，均称为虚似层合单元。这就改进了原来的空间实体单元，达到用较少段单元来描述复杂空间结构整体特征的要求，大大的提高有限元的效率。 有虚拟区域单元示意真实节点 虚拟节点（3）虚拟三维层合板壳单元图为一典型的虚拟层合板壳单元，在该单元中，母单元的边界定义为 、 、 。 的表面为层合板壳底面， 的表面为层合板壳顶面， 和 之间分为 层，底面、每层界面和顶面的 坐标由底到顶依次为 ；同理，在每一层中，对坐标 也类似的边界及界面定义。为保证在计算单元刚度矩阵、单元质量矩阵

56、和应力时，分层或分层段高斯积分简单易行，必需注意使各层或各段的界面坐标值 及 为常数，该单元与母单元间的变换关系为11111n1, 1,010nn11,n11,niiiiizyxnzyx,201单元位移插值模式为iiiiiwvunwvu,201单元刚度矩阵元素 dddjbdbknkmljtiijkk1 11 11 1 1 1为层数， 为段数nm为在每层及层中的每一段采用高斯积分，将上式进行线性变换 2211kkkk2211llll dddjbdbkkknkmljtillij22111111 1 1 1 1（5）桥梁结构的虚拟层合单元建模（a）肋梁式桥常见的肋梁式桥梁结构截面形式不外乎t型、带马

57、蹄t形和i字形，由于所采用的材料不同（如组合结构）或配筋不同（混凝土结构）而使得结构的承载能力特性在各个方向上并不相同，表现出各向异性的特性。初步分析时，可按上、下翼板（马蹄）、腹板划层、根据纵向钢筋的疏密程度划段；精细分析时，需将不同性质的材料单独划层或段。（b）箱梁桥空心板或箱梁桥是典型的带有中空截面结构，除考虑横、纵截面上材料的不同性质分层外，对空腔部分按虚拟层（段）进行处理 （c）力筋的等效连续化力筋（钢筋或预应力钢筋）在混凝土中的铺设一般在某一个或几个确定的方向上，对结构整体分析而言，纵向主筋的影响最大，横向主筋对横向变形及内力的贡献较大，分析时，可按正交异性材料处理。而将离散分布的

58、钢筋按下图等效为连续钢筋层钢筋等效层 小结（1）有限元分析已经渗透到桥梁结构分析的各个领域，其分析精度亦因所采用的单元形式，单元数量和单元划分情况等不同而有所差异。在大型通用分析软件普级及广泛应用情况下，桥梁结构建模在有限元分析中非常重要，科学合理的建模，不仅可以得到更为精确和期望结果，而且可节约计算时间，提高计算效率。（2）桥梁结构的恒载内力与施工方法关系密切，变形、内力等有累计、重分布等特点，同一座桥如采用不同的施工方法，其恒载内力差异很大，大多情况下需跟踪分析，活载内力计算时的动态加载非常重要，除桥梁专用分析软件外，通用软件一般不具备此功能，其基本方法可参见文献。（3）退化单元及虚拟层合

59、单元为桥梁结构分析提供了全新建模思路，具有划时代意义，它不但打通了单元之间连接通道，而且可精确地描述各种复杂桥梁结构几何特征，把握各种力学现象，已在复杂结构分析、动力分析及非线性分析中发挥其独一无二的作用。 referencesn1m.j.turner,r.w.clough, h.c.martin, l.j.topp.stiffiness and deflection analysis of complex structuresj.aeronaut sei, vol.23, no.9,19562杨炳成、孙明斜拉桥索力的非线性优化倒拆分析中国公路学报，杨炳成、孙明斜拉桥索力的非线性优化倒拆分析中

60、国公路学报，vol.11, no.3,19983肖世诚、项海帆大跨径悬索桥结构分析理论及其专用程序系统的研究中国公路学肖世诚、项海帆大跨径悬索桥结构分析理论及其专用程序系统的研究中国公路学报，报，vol.11, no.4,19984凌道盛、张金江、项贻强、徐兴虚拟层合单元法及其在桥梁工程中的应用土木工凌道盛、张金江、项贻强、徐兴虚拟层合单元法及其在桥梁工程中的应用土木工程学报，程学报，vol.31, no.3,19985x.xu, r.f.cai. a new plat shell element of 16 nodes 40 deyrees of freedom by relative di