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1、综合举例综合举例 例例：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性微分性 2222222210,00 x xyexyf x yxyxy 22332200000011)lim,lim012)0,0lim1,0,00 x xyxxyyxxyxxyefx yxx xyeff 解：解： 2222222222222222222230,1020,00 x xyxx xyyxyexyfx yxyxyxyexyfx yxyxy 22322224002200000034limlim,lim,lim,x xyxyxxxyyxyxxyyxyex exxyfx

2、 yfx y 不存在不存在 2222220222223002222222222230222,0,00,00,03 lim11limlim11lim0 xyx xyx xyf x yffxfyxyexx xyexyxyxyx xyx xyo x xyxy ）在原点可微在原点可微f00,xy0u pf00,xy00 xxyypff例例若函数若函数在在的某个领域的某个领域内有二阶连续偏导数内有二阶连续偏导数在在取得极大值，则：取得极大值，则：证明：证明： 00200000020000200,1,2,2,12,xxxyyyf x yf x yxy f x yxyf xx yyxxxxf x yfxx

3、yyxfxx yyx yyfxx yy f00,xy, xy00,f x yf x y0y 0000,0,0,0 xxxxfxx yyxfx y 在在取得极大值，当取得极大值，当充分小时，充分小时，若若，结论得证结论得证, ,xzf xyxy ,xxxyyyzzz123122111213212223313233111222122232211112221221,1111211xyxxyyxyxzyfffzxffyyzy yfffyfffyfffyyyyxxxxzx xfffxffyyyyxzfy xfffxfyyy 22313222xxfxffyy 例例，求：，求：解：解：22yxyxyuvwze，222zzzzxx yx 例例4 设设，变换方程变换方程 ywez),( vuww2xyu 2yxv xuywzxvyy ， 即即 解：解：12yyzwuwvwweexuxvxuv 22222221()2yzwuwuvwvexuxu vxxvx 22222124ywwweuu vv 2222221()2yzwuwuvwvex yuyu vyyvy 12ywweuv 222214

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