信号系统第二章连续时间系统的时域分析

1、10/21/20211第2章 连续时间系统的时域分析v2.1 引言v2.2 微分方程的建立与求解v2.3 起始点的跳变从0到0状态的改变v2.4 零输入响应和零状态响应式v2.5 冲激响应与阶跃响应v2.6 卷积v2.7 卷积的性质10/21/20212本章学习重点通过本章学习，应达到以下要求：通过本章学习，应达到以下要求：（1）掌握连续时间系统微分方程的建立与求）掌握连续时间系统微分方程的建立与求解解（2）掌握零输入响应与零状态响应、冲激响）掌握零输入响应与零状态响应、冲激响应与阶跃响应的求解。应与阶跃响应的求解。（3） 掌握卷积及卷积的性质掌握卷积及卷积的性质10/21/202132.1

2、引言时域分析的两种方法方法：时域分析的两种方法方法： 1）微分方程的求解）微分方程的求解 2） 已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励已知系统单位冲激响应，将冲激响应与输入激励信号进行卷积，求出系统输出响应。信号进行卷积，求出系统输出响应。返回首页10/21/202142.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解一：微分方程式的建立一：微分方程式的建立 方法：对于给定的具体系统物理模型，按照元方法：对于给定的具体系统物理模型，按照元件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对件的约束特性及系统结构的约束特性来建立对应的微分方程应的微分方程。 )(tv)(tis例例2-1 按如图所示按如

3、图所示rlc并联电路，求并并联电路，求并联电路的端电压联电路的端电压 与激励源与激励源 间的关间的关系。系。)(tisrrilc)(tvlici10/21/20215解：解： 根据元件关系列方程：根据元件关系列方程： 据基尔霍夫电流定律：据基尔霍夫电流定律：)()()()()()(tvdtdctidvltitvrtictlr 11)()()()(titititisclr 整理后得整理后得：)()(1)(1)(22tidtdtvltvdtdrtvdtdcs10/21/20216 对于复杂系统，设激励信号为对于复杂系统，设激励信号为 ，系统响应，系统响应为为 ，则可以用一高阶的微分方程表示：，则可

4、以用一高阶的微分方程表示： )(te)(tr)(d(t)d d)(d)(d)(d d)(dd )(dteeteetteetrcttrcttrcttrcmmmmnnnnnn 1011110由时域经典法，上式的完全解由两部分组由时域经典法，上式的完全解由两部分组成：齐次解与特解成：齐次解与特解。10/21/20217 其中，齐次解满足齐次方程：其中，齐次解满足齐次方程： 而齐次解的形式是形如而齐次解的形式是形如 函数的线性组函数的线性组合，将合，将 带入上式并整理得到原方程带入上式并整理得到原方程的特征方程如下：的特征方程如下： 对应的对应的n个个 称为微分方程称为微分方程的特征根。的特征根。01

5、1110 )(d)(d d)(dd )(dtrcttrcttrcttrcnnnnnntaetaetr)(01110 nnnnccccn,21齐次解齐次解10/21/20218根据特征根的不同，齐次解有如下形式：根据特征根的不同，齐次解有如下形式：u 无重根时无重根时： u 有重根时，则对应有重根时，则对应k阶重根部分将有阶重根部分将有k项，形如：项，形如： nititntthineaeaeaeatr12121)(tkiikitkkkketaeatatata11112211)()( 10/21/20219例例2-3 求微分方程的齐次解。求微分方程的齐次解。 解：系统的特征方程为：解：系统的特征方

6、程为： 因而齐次解为：因而齐次解为：)()()()()(tetrtrdtdtrdtdtrdtd 1216722333203201216721223 重重根根），()()(ttheaeatatr33221 )()(10/21/202110l 自由项：将激励代入原微分方程右端，化简后右端自由项：将激励代入原微分方程右端，化简后右端函数式称为函数式称为“自由项自由项”。l 特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入特解：通过观察自由项来试选特解形式，然后代入方程后求得特解的待定系数。方程后求得特解的待定系数。特解特解10/21/202111 例例2-4 给定微分方程式，给定微分方程式， 如果已知：

7、如果已知：（1） （2） 分别求两种情况下此方程的特解。分别求两种情况下此方程的特解。解：解：（1）将）将 代入方程右端，得到代入方程右端，得到 为使等式两端平衡，试选特解函数式为使等式两端平衡，试选特解函数式 代入原方程得：代入原方程得：)()()()()(tedttdetrdttdrdttrd 32222tte )(tete )(tt22 3221btbtbtrp )(2tte )(ttbbbtbbtb232234323212121 )()(10/21/202112 等式两端各对应幂次系数相等，有：等式两端各对应幂次系数相等，有： 联解得到：联解得到： 所以，特解为：所以，特解为： 032

8、223413321211bbbbbb 27109231321bbb271092312 tttrp)(10/21/202113 以上简单回顾了线性常系数微分方程的以上简单回顾了线性常系数微分方程的经典解法经典解法。 齐次解称为系统的齐次解称为系统的自由响应自由响应。特解称为系统的。特解称为系统的强迫强迫响应响应，强迫响应只与系统的激励的形式有关。整个系，强迫响应只与系统的激励的形式有关。整个系统的统的完全响应完全响应即为即为自由响应与强迫响应之和自由响应与强迫响应之和。 niptitreatri1)()(完全响应=自由响应+强迫响应10/21/2021142.3 起始点的跳变从起始点的跳变从0到

9、到0状态的转换状态的转换 在系统分析中，把响应区间确定为激励在系统分析中，把响应区间确定为激励信号加入后系统状态变化区间。一般激励都信号加入后系统状态变化区间。一般激励都是从是从t0时刻加入，因此系统的响应区间定时刻加入，因此系统的响应区间定义为义为 t010/21/2021152.3 起始点的跳变从起始点的跳变从0到到0状态的转换状态的转换初始条件：初始条件：t=0+时刻的一组状态，用来确定全响应时刻的一组状态，用来确定全响应表示式中常数表示式中常数ai。起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状起始状态：系统在激励信号加入之前瞬间的一组状态态,t=0- )(,),(),()()(0000

10、11rdtdrdtdrrnnk )(,),(),()()(000011rdtdrdtdrrnnk10/21/202116例例2-5 给定如图所示电路，给定如图所示电路，t=0+时的变化。时的变化。 解：解：1）列写微分方程：）列写微分方程： vte4 )(21s 11rvte2 )(fc1 )(tic)(tilhl41 322r)(ti)()()()()()()()()(21titvdtdctirtitidtdltvtetvtirlcllcc10/21/202117整理后得：整理后得：把参数代入得：把参数代入得：)()()()()()()()(telcrtedtdlrrtedtdrtilcrr

11、lctidtdlrcrtidtd1122211221221111 )()()()()()(tetedtdtedtdtitidtdtidtd461072222 10/21/2021182） 求系统的完全响应求系统的完全响应 齐次解：齐次解： 所以齐次解为：所以齐次解为：520520107212 ,)()()( 05221teaeatitth10/21/202119 特解：特解：由于由于 ， 所以方程右端的自由项为所以方程右端的自由项为44，因此另特解为：，因此另特解为： 代入方程：代入方程： 所以系统的完全响应为：所以系统的完全响应为： 0tvte4 )(btip )(4410 b58 b585

12、221 tteaeati )(10/21/202120（3） 确定换路后的确定换路后的 和和 换路前：换路前： 换路后：换路后： )( 0i)( 0idtdarriil542)0()0(210)0(idtdvvc5632540 )( averic5145641100101 )()()()(vte4 )(21s 11rvte2 )(fc1 )(tic)(tilhl41 322r)(ti10/21/202121saiicedtdrvdtdedtdridtdlc/2)0()0(1)0(1)0()0(1)0(11（4） 求求 在在 时的完全响应时的完全响应由由 的表达式的表达式)(ti 0t)(ti

13、2121520580aaidtdaai)()( 1523421aa10/21/202122 所以要求的完全响应为：所以要求的完全响应为： 上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从上面分析方法是在系统的电容电压和电感电流从0状态到状态到0状态没有发生跳变的情况。状态没有发生跳变的情况。 当系统已经用微分方程表示时，判断系统是否发生当系统已经用微分方程表示时，判断系统是否发生跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含跳变的方法是看微分方程右端的自由项是否包含 及其导数。如果包含及其导数。如果包含 及其各阶导数，说明系及其各阶导数，说明系统从统从0到到0状态发生了跳变。状态发生了跳变。)()(ae

14、etitt581523452 )(t)(t10/21/202123v 状态有跳变时求初始条件（冲激函数匹配法）状态有跳变时求初始条件（冲激函数匹配法） 原理：根据原理：根据 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的 及其各阶导数应该平衡相等。及其各阶导数应该平衡相等。例如：例如： 对于给定的对于给定的0时刻的初始时刻的初始值，如何确定值，如何确定0时刻状态时刻状态 。 分析：由于方程右端有分析：由于方程右端有 ，所以方程左端的最高次项必，所以方程左端的最高次项必然含有然含有 。 不妨假设不妨假设 ， 则方程左端为：则方程左端为：0 t)(t)()()(ttrtrdtd 33)( 0r)(3

15、t)(3t)(3)()(3)(ttrttr则)()()(*)(tttt93333 10/21/202124 上面得到的方程的左端与方程的右端并不相等，而是相差一上面得到的方程的左端与方程的右端并不相等，而是相差一个个 项。因此重新假设项。因此重新假设 则原方程左端变为：则原方程左端变为： 这里，这里， 表示从表示从0到到0相对单位跳变函数。即相对单位跳变函数。即 现在方程的左端又多了一个现在方程的左端又多了一个 项，因此还需重新项，因此还需重新假设假设 则左端为：则左端为：)(t9)(9)(3)(tttr)(tu 100 )()(uu)()()()()()(tuttuttt 27327993)

16、(tu 27)()()()(tutttr 2793)(3)(27)(300tdttut10/21/202125 可见，当可见，当 时，能够满足方时，能够满足方程左右两端已经平衡。因此程左右两端已经平衡。因此 是满足要求的。是满足要求的。 所以：所以： 在这个式子中，有一项跳变项在这个式子中，有一项跳变项 ，它是产生跳变的，它是产生跳变的原因。原因。 所以：所以： 即初始条件与原始状态之间的关系只由即初始条件与原始状态之间的关系只由 系数决定。系数决定。)()()()(tutttr 2793)()()()(tutttr 2793)(9)(3)(27)(9)(3)(00tutdttututtr)(

17、tu 900 )()(rr)(tu 这个积分这个积分为为010/21/202126数学方法描述冲激函数匹配法：数学方法描述冲激函数匹配法： 按照上面的原理分析，我们总结冲激函数匹配法如下：按照上面的原理分析，我们总结冲激函数匹配法如下： 已知方程右端含有已知方程右端含有 ，因此它一定属于，因此它一定属于 因此，设：因此，设： 上面两式代入原来的微分方程：上面两式代入原来的微分方程：)(t )(trdtd)()()()(tuctbtatrdtd 注意只定义到 就够了。)(tu )()()(tubtatr )()()()()()(ttubtatuctbta 3310/21/202127 整理并比较

18、方程两端系数得到：整理并比较方程两端系数得到：所以：所以： 03033bcaba 2793cba所以：所以：90909090903030903090300 )()()()()()()()()()()()(uuuuuurr)()( 090rr10/21/202128例题：例题：2-6 用冲激函数匹配法求解例用冲激函数匹配法求解例2-5中的完全响应。中的完全响应。解解（1）根据给定的根据给定的 ，考虑到，考虑到 在换路过程在换路过程中的变化如下图所示：则求得中的变化如下图所示：则求得 时刻由时刻由2v跳变到跳变到4v，即，即 ， 所以微分方程为：所以微分方程为： （2）已知）已知 和和 ，用冲激函

19、数，用冲激函数匹配法，求匹配法，求 和和 。v2v4)(te0t)(te)(te0 t)()()()()()(tutttitidtdtidtd 81221072)()(tute 2ai540 )(saidtd/)(00 )( 0i)( 0idtd10/21/202129由于得到的微分方程的最高阶次为由于得到的微分方程的最高阶次为 ，因而，因而假设：假设： 代入原来的微分方程得：代入原来的微分方程得：)(t )()()()()()()()( )(tuatitubtatidtdtuctbtatidtd2 00t)()()( )()()()()()( tutttuatubtatuctbta 8122

20、10710/21/202130求得：求得：其余求解步骤与例其余求解步骤与例2-5相同。相同。 222cba 20020020022cidtdidtdbidtdidtdaii)()()()()()(所以要求的所以要求的0状态为：状态为：saidtdidtdaaii/)()()()()(20205145142020 因而：因而：10/21/2021312.4 零输入响应与零状态响应v1零输入响应v2零状态响应10/21/202132例题例题2-7：设有：设有rc电路如图，电容两端有起始电路如图，电容两端有起始 电压电压 ，激励源为，激励源为 ,求求 时时 系统响应电容两端电压系统响应电容两端电压

21、解：由电路图可以得到系统解：由电路图可以得到系统 的微分方程：的微分方程： 解该微分方程得：解该微分方程得：)(ter)( 0cv)(tvc)( 0cv)(te0 t)(tvc)()()(terctvrctvdtdcc11 deercvetvttrccrctc)()()()( 011010/21/202133 分析上面的结果可以看到，完全响应由两部分组成，分析上面的结果可以看到，完全响应由两部分组成，其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关，其中第一部分只和电容两端的电容的起始储能有关，与输入的激励无关，被称为与输入的激励无关，被称为零输入响应零输入响应。第二部分。第二部分与起始储能无关，

22、只与输入激励有关，被称为与起始储能无关，只与输入激励有关，被称为零状零状态响应态响应。10/21/2021341零输入响应v所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信所谓零输入，是指系统无外加激励，即激励信号号 ，这时仅由系统的初始储能产生的响应，这时仅由系统的初始储能产生的响应称为零输入响应。称为零输入响应。 并记为并记为 。它是满足方程。它是满足方程0)( te)(trzi011110 )(d)(d d)(dd )(dtrcttrcttrcttrczinzinnzinnzin及起始状态及起始状态 的解，可见的解，可见它是齐次解中的一部分，即：它是齐次解中的一部分，即：),()()(1100

23、nkrk nktzikzikeatr1)(特征特征根根10/21/2021352零状态响应v所谓零状态，是指系统没有初始储能（系统的起所谓零状态，是指系统没有初始储能（系统的起始状态为零），仅由系统的外加激励所产生的响始状态为零），仅由系统的外加激励所产生的响应。记为应。记为 。它满足方程：。它满足方程： 及起始状态及起始状态 ，其形式为，其形式为)(trzs)(d(t)d d)(d)(d)(d d)(dd )(dteeteetteetrcttrcttrcttrcmmmmzsnzsnnzsnnzsn 1011110),()()(11000 nkrk nktzszstbeatrk1)()(特解特

24、解10/21/202136)()()(111tbeaeatbeatrnktzsknktziknktkkkk自由响应 强迫响应零输入响应零状态响应10/21/202137vt e4 ) (21s 11rvte2 )(fc 1 )(tic)(tilhl41 322r)(ti例题例题2-8 对例对例2-5中的电路，把中的电路，把 电路看作起始状电路看作起始状态，分别求态，分别求 时时 的零输入响应和零状态响的零输入响应和零状态响应。应。 解：解：0 t0 t)(ti 11r)(tifc 1 vvc560 )(hl41 ail54)0 ( 232r原电路原电路零输入电路零输入电路10/21/20213

25、8)(tizs 11rfc 1 hl41 232r)(4)(tute 零状态电路零状态电路)(4)(6)()(10)(7)(2222tetedtdtedtdtitidtdtidtd 11r)(tizi)0 ( li 232rail54)0( )0 ( civvc56)0( 初始值等效电路初始值等效电路10/21/2021391、零输入响应：是系统满足、零输入响应：是系统满足 和和0状态的状态的 和和 的解。的解。0)(10)(7)(22 titidtdtidtdzizizi)0 ( zii)0( ziidtdavriczi56)0(1)0( )0()0()0()0()0(1 lziziccii

26、irdtdcvdtdcisaiicridtdlzizi/2)0()0(1)0(1 10/21/202140 由于前面已经求过，系统的特征根为由于前面已经求过，系统的特征根为-2和和5，所以零输入响应的形式为所以零输入响应的形式为： 将将 和和 代入齐次微分方程得：代入齐次微分方程得： 所以零输入响应为：所以零输入响应为：tzitzizieaeati5221)( )0( t)0 ( zii)0( ziidtd 1523421ziziaaaeetittzi)15234()(52 10/21/202141v2 零状态响应：是满足微分方程零状态响应：是满足微分方程 及起始状态及起始状态 和和 的解。的

27、解。 由例由例2-5求得：求得： 其中，其中， 和和 由由 和和 确定。确定。 1zsa)(4)(6)()(10)(7)(2222tetedtdtedtdtitidtdtidtdzszszs 0)0()0( zszsidtdi)(4)(tute )0(58)(5221 teaeatitzstzszs2zsa)0 ( zsi)0( zsidtd10/21/202142 把把 代入方程右端的自由项得：代入方程右端的自由项得： 利用冲激函数匹配法，设：利用冲激函数匹配法，设： 代入原方程得：代入原方程得：vte4)( 16)(24)( 4)(4)(6)(22 tttetedtdtedtd)00 ()

28、()()()()()()()( )(22 ttuatituvtatidtdtuctbtatidtdzszszs10/21/202143 解得：解得： 所以：所以：)(16)(24)( 4)(10)()( 7)()()( tutttuatubtatuctbta 4724)0 ()0 (4)0 ()0 (aidtdidtdaiizszszszs 4)0 (4)0 (4)0 (4)0 (zszszszsidtdidtdii代入零状态响应形式得：代入零状态响应形式得： 1543821zszsaa10/21/202144 所以，系统的零状态响应为：所以，系统的零状态响应为： 系统的全响应为：系统的全响应

29、为：)0()5815438()(52 taeetittzs)0(58)15234()5815438()15234()()()(525252 teeeeeetititittttttzszi零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应10/21/2021453瞬态响应与稳态响应瞬态响应与稳态响应v全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之全响应还可以分解为瞬态响应与稳态响应之和。当和。当 时，响应趋于零的那部分响应时，响应趋于零的那部分响应分量称为瞬态响应；分量称为瞬态响应； 时，保留下来的时，保留下来的那部分分量称为稳态响应。那部分分量称为稳态响应。tt0)(tyatb原

30、稳态新稳态暂态0)(tyatb原稳态新稳态暂态 （a） （b） 图2-42 系统响应的过渡过程示意图返回本节10/21/2021472.4 冲激响应与阶跃响应冲激响应阶跃响应返回首页10/21/2021481.冲激响应v以单位冲激信号 作为激励，lti连续系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为 。冲激响应示意图如图2-44所示。)(t)(th0t)(t(1)0t)(thlti系统)(t)(th图2-44 冲激响应示意图10/21/202150v2阶跃响应 以单位阶跃信号 作为激励，lti连续系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为 。阶跃激励与阶跃响应的关系表

31、示为： )(tg)(tu)()(tuhtg 或 )()(tgtu10/21/202151冲激响应与阶跃响应之间的关系：冲激响应与阶跃响应之间的关系： 由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关由于冲激信号与单位阶跃信号存在微分与积分关系，因而，对于响应也存在如下微分与积分关系：系，因而，对于响应也存在如下微分与积分关系： ( )( )( )( )tdh tg tdtg thd10/21/202152l冲激响应冲激响应 满足微分方程：满足微分方程：及起始状态及起始状态 。 当当nm时，时， 可以表示成：可以表示成： 注意：特解为注意：特解为0 当当n=m时，则表达式还将有时，则表达式还将有 及其

32、各阶导数项。及其各阶导数项。( )h t101111011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmdddch tch tch tc h tdtdtdtetetetet)1, 1 , 0(0)0()( nkhk)(th)()()(1tueathnktkk )(t10/21/202153例题例题2-9 对图所示电路，求电流对图所示电路，求电流 对激励对激励 的冲激响应的冲激响应 。 解：解：vte4 )(21s 11rvte2 )(fc1 )(tic)(tilhl41 322r)(ti)(ti)()(tte )(th)(4)(6)()(10)(7)(2222tetedt

33、dtedtdtitidtdtidtd 10/21/202154系统冲激响应满足方程：系统冲激响应满足方程：它的齐次解形式：它的齐次解形式：利用冲激函数匹配法求利用冲激函数匹配法求 和和设：设：)(4)( 6)( )(10)(7)(22tttththdtdthdtd )0()(5221 teaeathtt)0 ()0 ( hdtdh)()()()()()( )()()()( )( )(22tubtathtuctbtathdtdtudtctbtathdtd10/21/202155解得：所以：代入 得： 111cba 110)0()0(1)1(0)0()0(chdtdhdtdbhh)(th 3134

34、21aa10/21/202156因为m=n，所以h(t)中有一项 ，而又因为 ，所以要求的冲激响应为：)(t1 a)(3134)()(52tueetthtt 10/21/202157l 阶跃响应阶跃响应系统的阶跃响应满足方程系统的阶跃响应满足方程 及起始状态及起始状态 。可以看出方程。可以看出方程右端的自由项右端的自由项 含有含有 及其各阶导数，同时还包含及其各阶导数，同时还包含阶跃函数阶跃函数 ，因此阶跃响应包含齐次解和特解。，因此阶跃响应包含齐次解和特解。 具体解法见具体解法见p60 )(d(t)d d)(d)(d)(d d)(dd )(d1011110tuetuettuetgcttgct

35、tgcttgcmmmmnnnnnn ) 1,.,1 , 0( 0)0()( nkgk)(t)(tu10/21/2021582.6卷积卷积v卷积的定义：对于任意两个信号卷积的定义：对于任意两个信号 和和 ，两者做卷积运算定义为：两者做卷积运算定义为：v 注意：注意：v 是卷积的简写符号，也可以写成是卷积的简写符号，也可以写成 )(1tf)(2tf dtfftf)()()(21)()()()(1221tftftftf )()(21tftf)()(21tftf 10/21/202159 dtfftf)()()(21分析该式发现，卷积积分的计算过程中有反褶和位移的分析该式发现，卷积积分的计算过程中有反褶和位移的过程，所以得出卷积计算的过程，所以得出卷积计算的5个步骤：个步骤：10/21/202160v卷积的原理：卷积方法的原理就是将信号分解为冲卷积的原理：卷积方法的原理就是将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应激信号之和，借助系统的冲激响应 ，求解系，求解系统对任意激励信号的零状态响应。统对任意激励信号的零状态响应。 v 假设系统的冲激信号为假设系统的冲激信号为 ，冲激响应为，冲