第八节定积分的经济应用2013-2-8

1、6.7 定积分的应用-1 教学目的：熟练运用定积分知识，在已知经济函数的边际函数条件下计算其相应原函数或函数值重点：1.弄清常用经济函数的实际问题的意义，正确列出相关定积分表达式2.利用积分概念与性质简化计算难点：收益流的现值和将来值教学方法：讲练结合教学过程：五、由边际函数求原函数 经济函数 .例1 生产某产品的边际成本函数为,固定成本,求生产个产品的总成本函数解:提问：平均成本如何求？练习1： 生产某产品的边际成本为,当产量由200增加到300时,需增加成本多少？ 解: 需增加成本为例2 已知边际收益为,设,求收益函数解:练习2： 某工厂生产某商品在时刻的总产量变化率为(单位/小时)求由到

2、这两小时的总产量解: 两小时的总产量为练习3：某工厂生产某商品在时刻的总产量变化率为(单位/小时)求由到这两小时的总产量解: 两小时的总产量为（单位）练习4.已知某产品总产量的变化率是时间(单位:年)的函数 ,求第一个五年和第二个五年的总产量各为多少?解, .例3. 已知某产品生产个单位时,总收益的变化率(边际收益)为,(1)求生产了50个单位时的总收益;(2)如果已经生产了100个单位,求再生产100个单位时的总收益.解, .例4 设某种商品每天生产单位时固定成本为20元,边际成本函数为(元/单位),求总成本函数.若该商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数，并问每天生产

3、多少单位时才能获得最大利润.解：总成本函数.总利润函数由，又所以每天生产 单位时，总利润最大，且（元）.例（2013.10）设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为20元/件，价格函数为,（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销量平衡，求：（1）该商品的边际利润；（2）当时的边际利润，并解释其经济意义；（3）使得利润最大的定价.解 由可知，由，（1） 边际利润；（2） 令，经济意义：当产品价格为时，价格每增长1元时收益减少20000.（3） 令，得，又，故时利润最大.练习5：某产品的总成本(万元)的变化率(边际成本),总收益(万元)的变化率(边际收益)为生产量(百台)的函数 ,

4、(1)求生产量等于多少时,总利润为最大.(2)从利润最大的生产量又生产了100台,总利润减少了多少解(1),由,得,，所以时,总利润最大.(2),所以减少了5000元.练习6：(92.4.) 设生产某产品的固定成本为10,而当产量为时的边际成本函数为,边际收入函数为,试求(1)总利润函数;(2)使总利润最大的产量.解 (1)总成本函数为: 总收入函数为:总利润函数为 令 即又 ,所以为极大值点,也是获得最大利润点故 时总利润最大.例5 在某地区当消费者个人收入为时,消费支出的变化率,当个人收入由900增加到1600时,消费支出增加多少？ 解:消费支出增加 练习7：已知生产某产品单位时的边际收入

5、为( 元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加生产10个单位时所增加的总收入解:因为 ，所以生产40单位时的总收入为（元）生产40单位时的平均收入为（元）为在生产40单位后再增加生产10个单位时所增加的总收入（元）（生产50个单位产品时总收益最大）练习8:已知生产某商品单位时，边际收益函数为（元/单位），试求生产单位时总收益以及平均单位收益，并求生产这种产品2000单位时的总收益和平均单位收益.解：总收益 .平均单位收益；当生产2000单位时，总收益 （元）；平均单位收益 （元）.例6 假设某产品的边际收入为( 万元/万台)，边际成本为(万元/万台)，其中产量以万台为单位，（

6、1）求产量由4万台增加到5万台时利润的变化量；（2）当产量为多少利润最大？（3）已知固定成本为1万元，求总成本函数和总利润函数解：（1）边际利润为（万元）（）由得唯一驻点（万元），即当产量为万元时利润最大（）由已知 三、收益流的现值和将来值 1.由第二章第五节 连续复利(时时刻刻在计息 )知识知道若以连续复利率计息，将一笔元的人民币从现在起存银行，t年后的价值（将来值）为若t年后得到元的人民币，则现在需要存入银行的金额（现值）为 2.收益流(1)收益流随时间连续变化的收益(2)收益流量收益流对时间的变化率(3) 两者的关系 若收益以元为单位,时间以年为单位,收益流量单位为:元/年.若为常数,则

7、称该收益流具有常数流量(收益率).3.现值和将来值(1)将来值将收益流存入银行并加上利息之后的存款值(2)现值收益流的现值是这样一笔款项,若把它存入可获息的银行,将来从收益流中获得的总收益,与包括利息在内的银行存款值,有相同的价值.总收益减去利息的所得.4.计算公式若不考虑利息,则从时刻开始,以为收益率的收益流到时刻的总收益为 .若考虑利息,为简单起见,假设以连续复利率计息,对于一笔收益率为(元/年)的收益流,计算现值和将来值假设连续复利率为,收益流的收益流量为(元/年),时间段为从到年,那么(1) 收益流的总现值为: 证明：取中的任一小区间,在期间的收益近似为,此收益可以近似看作单笔在t点的

8、收益，其现值近似为,所以收益流的总现值为: (2)收益流的将来值为: 证明：取中的任一小区间,在期间的收益为,其将来值近似为,所以收益流的总将来值为:例7 假设以连续复利率计息, (1)求收益流量为100元/年的收益在20年期间的现值和将来值；(2)将来值和现值的关系如何?解释这一关系解：(1)收益在20年期间的现值 (元),将来值 (元);(2). 说明:将单独的一笔款项存入银行,并以连续复利率计息,那么这笔款项20年后的将来值为,这个将来值正好等于收益流在20年期间的将来值.结论 将来值和现值的关系 将来值现值.例8 设有一项计划现在()需要投入1000万元,在10年中每年收益为200万元.若连续复利率为,求收益资本价值.(设购置的设备10年后完全失去价值).解：由于资本的价值收益流的现值投入资金的现值,那么 （200万元为每年的收益流量）(万元).例9某企业一项为期10年的投资需购置成本80万元,每年的收益流量为1