中南大学高等工程数学试题.docx

1、中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）考试日期： 2010 年 4 月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题3 分 )1.若函数( x)C1 a, b ,且x a, b 有(x)a,b 和 (x) L 1, 则方程x( x) 在 a, b 上的解存在唯一，对任意 x0a,b 为初值由迭代公式xn1( xn ) 产生的序列xn一定收敛于方程x( x) 在 a,b 上的解 x* ，且有误差估计式x*xk1L；2.建立最优化问题数学模型的三要素是：确定决策变量、 建立适当的约束条件、 建立目标函数；3求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“

2、锯齿现象”，其原因是：最速下降法前后两个搜索方向总是垂直的；4已知函数 yf ( x) 过点 ( xi , yi ), i0,1,2,L, n ， xi a,b ，设函数 S( x) 是 f (x) 的三次样条插值函数，则 S(x) 满足的三个条件（ 1）在每个子区间xi 1 ,xi（ i=1 ， 2 ， ，n ）上是不高于三次的多项式；（2 ）S（ x），S（ x），S （ x）在 a, b 上连续；（ 3）满足插值条件S（ xi ）=y （ii=1 ，2 ， ，n）；5随机变量 X N (3, 4),( X1, X 2 ,L, X10 ) 为样本， X 是样本均值，则 X N （3，0.4

3、 ）；6正交表 LN (n pmq ) 中各字母代表的含义为L 表示正交表， N 表示试验次数， n 、m 表示因子水平数， p 、 q 表示试验至多可以安排因素的个数；7 线性方程组Axb 其系数矩阵满足A=LU ，且分解唯一时，可对 A 进行 LU 解，选主元素的Gauss 消元法是为了避免采用绝对值很小的主元素导致误差传播大， 按列选取主元素时第k 步消元的主元 akk 为nbiaij yiyij i1(in1,.,2,1)aii8取步长 hy3xy0,1 的公式为yn 1 0.03xn0.09 yn n0,1,2 1000.01，用 Euler 法解, x。y(0)1二、（本题6 分）

4、某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500 辆，中级车1200 辆，高级车1000 辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。微型车中级车高级车资源可用量钢材（吨）1.522.56000 （吨）人工（小时）30405055000 （小时）利润234解：设微型车生产了x1 辆，中级车生产了x2 辆，高级车生产了x3 辆，而钢材、人工均有限制，所以应满足限制条件：钢材： 1.5x 1+2x 2+2.5x 36000人工： 30x 1+40x 2 +50x

5、 3 55000生产数量： x1 1500x2 1200x3 1000从而问题的数学模型为：Maxc1x1+c 2x2 +c 3专业资料1.5x12x22.5x3600030 x140x250x355000x1 1500x2 1200 x3 1000三、（本题10 分）已知 f ( x) 的数据如表：x0125f ( x)-5306用 Newton插值法求f (x) 的三次插值多项式N3 ( x) ，计算 f (6) 的近似值，给出误差估计式。解：xiF(xi )一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商0-513820-3-11/25625/427/20612.56.54.5/4-0.025-0.22

6、92因此 N 3 ( x)0.510.7x9.55 x21.35x3 ，而 f (6)N3(6) 12.5R3 (6) fx0 x1x2x3x 4 ( x)0.22926(6 1) (6 2) (6 5)27.504四、（本题12 分） 为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为A1, A2, A3并假设 Ai N (i , 2 ) ， i 1,2,3 ，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下：方差来源平方和自由度样本方差F 值组间 SSA662336.286组内 SSE63125.25总和 SST12914(1)试把上述方差

7、分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）(2)小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取0.05 ， F0.05 (2,12)3.89 ）解：（ 1）见表中红色部分（ 2）设 H 0 ： 1= 2 = 3= i选取统计量FSSA(I1)， 由 于 显 著 性 水 平 未 给 出 ， 设 =0.05， 查 表 得 F0.05 ( 2,12)3.89 ， 因 为SSE (N1)F=6.286F0.05 (2,12) ，所以拒绝H 0，即小白鼠在接种不同型伤寒杆菌后存活日数有显著差异。专业资料五、（本题12 分）用表格形式单纯形法求解max Z 20 x18x2 6 x38x1

8、3x22 x32502 x1 x250st.4 x1 3x3 150x1,x2, x3010 分） 试确定求积公式1六、 （本题f ( x)dx A0 f ( 1) A1 f (0) A2 f (1) 中的待定系数，使其代数精1度尽量高。解：将 f ( x)1, x, x2 分别代入式中得2A0A1A2150A0A2，因此得 A0A2, A1332A0A23七、（本题 12 分） （ 1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？（ 2）如果要考察因素 A 、B、C 及交互作用 A B、 A C、B C，如何用正

9、交表 L8 (27 ) 安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。表 L8 (2 7 ) 两列间交互作用表列号1234567(列号 )(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1解： (1)逐步回归法就是对全部因子按其对y 影响程度大小（偏回归平方的大小），从大到小地依次逐个地引入回归方程，并随时对回归方程当时所含的全部变量进行检验，看其是否仍然显著，如不显著就将其剔除，知道回归方程中所含的所有变量对y 的作用都显著是，才考虑引入新的变量。再在剩下的未选因子中，选出对 y 作用最大者，检验其显著性，显著着，引入方程，不显著，则不引入。直到最后再没有显著因子可以引

10、入，也没有不显著的变量需要剔除为止。（ 2）如果因子 A 放在第 1 列，因子 B 放第 2 列，则 A B 放在第 3 列。如 C 放在第 4 列，再查交互作用表， A C 和 BC 应分别放在第 5 列和第 6 列。表头设计如下：专业资料列号1234567因子ABA BCA CB C八、（本题14 分）设方程组为025x195104x23010 20x314（ 1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛；（ 2）取 x(0)0，用 Gauss-Seidel 迭代法计算两步迭代值 x(1)， x(2) ；（ 3）取 x(0)0，估计用 Jacobi 迭代求解

11、x(100) 与准确解 x* 的误差。解：（ 1）将原矩阵变换为如下：1020x1145104x230 ，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用 Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛。025x39（ 2）由 G S 迭代公式得：x1( k 1)1 (142x2( k ) )10x2( k 1)1(305x1(k 1)4x3(k) ) ，又由于 x(0)0 ，因此经两步迭代后得x(1)1.4 2.3 0.88 ，10x3(k 1)1 (9 2x2(k1) )5x(2)0.942.1780.9288（ 3）由 Jacobi 迭代公式得：x1( k 1)1(142x2( k ) )10x2(

12、 k 1)1 (305x1(k )4x3( k ) )10x3(k 1)1(9 2x2(k ) )5因此 x(100)1 (142x2(99) )1 (30 5x1(99)4x3(99) )1 (9 2x2(99) )10105专业资料中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期： 2011 年月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题3 分 )xk 1xkx32 x2x，写出其 Newton24xk1 ，使得由迭（ 1） 对方程 f (x)迭代公式2xk代公式产生的序列xn可以 2阶收敛于方程的唯一正根x*；解：由牛顿迭代公式得xk32xk2xk

13、xk 1 xk4xk12xk 2因其存在 2 重跟，故需对其进行修正得xk 1 xk 2 xk32xk2xk2 xk 2xk2xk 24xk14xk 1（ 2）在 a,b 上，设 f (x)0与x(x)等价， 则当( x) 满足 (x) 于 a,b12111和 |g53xk 1( xk )（ k时，有 (x) a,b (x)| L 1，x a,b 时，由敛于方程 x1U24(2x) 的根；13121T211x411125201（ 3 ）用 Doolittle分解法求方程：132x26122x35一阶导数存在，当 xa,b0,1,2, L ）产生的序列xk 收则： L=， U =，解 x =；解

14、：1u11u12u13u11a112L l 211， Uu22u23， u12a121 ，l 31l321u33u13a131专业资料a211l 212u11a32l31u123a311l323l 31u225 u23a23l21u13l22u23u112 ，, u23u22a22l21u125，421211u33a33l 31u13l32u2321L11,U5 3,x 1 1 1 T20 ,因此2241312125202114（ 4） 已 知A132 , x6， 则 ：Amax 465=6； A 11225max 465 =6；x 14+6+5=15。（ 5）已知yf (x)在区间 a, b

15、上通过点(x, y), i0,1,2,L, n，则其三次样条插值函数S( x) 是满ii足在每个子区间 xi1, xi(i1,2n) 上不高于三次的多项式，S(x）， S （ x）， S （x）在 a,b 上连续 ， 满足插值条件S( xi)yi (i1,2n) ；y111（ 6）设有线性回归模型y22122 ，其中i N (0,2 )(i1,2,3)且相互独立，写出参数y312231y12 y2y32y22 y31,652 的最小二乘估计，。1y11321) 22 )21 22)2解：y22 12 ， Q( y1( y22 1( y32i3y312 2i1Q2 y14 y2 2 y312 1

16、1y12 y2y361因此得，故Qy22 y24y310222 y352（ 7 ）在多元线性回归建模过程中， 需要考虑自变量的选择问题。 写出三种常用的自变量的选取方法向后回归法、向前回归法、逐步回归法。（ 8）影响数学模型数值求解结果的误差有：截断误差，舍入误差， 观测误差。二、（本题8 分） 已知 f ( x) 的数据如表：x-2026专业资料f ( x)04-210试求三次 Newton插值多项式 N3 ( x) ，求 f (5) 的近似值，并给出相应的误差估计式。xF(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-200422-2-3-5/4610319/325-0.2187510.21875

17、2.406250.281250因此 N3 ( x)2( x2)5(x2)x9 (x 2)x( x 2)432而 f (5)N3(5)0.21875R3(5)f x0x1x2x3x ( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) 0三、（本题10 分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：maxZ3x14x2st.2x1x24x10.5x21x10,x20解：将约束条件加上松弛变量x3 ，剩余变量x4 和人工变量x5 后得到一个有基可行解的典型方程如下：2x1x2x34x10.5x2x4x5 1xi0, (i15)相应的目标函数为max z(3x14

18、x2 )Mx 5列出初始单纯形表，并进行迭代得：CBXBX1X2X 3X 4X5基变量3400-MX304211002X5-M11-0.50-111Zj-M0.5M0M-M-M-30.5M-40M0X3020212-21X1311-0.50-11专业资料Zj3-1.50-330-5.50-33+MX241010.51-1X131.5100.25-0.50.53Zj342.752.5-2.5002.752.5-2.5+M这时的检验数已全部非负。得最优解X(1.510 00)T；人工变量 X5=0，去掉人工变量部分，得原线性规划问题的最优解为 X1.51 00T ，最优值 Z8.5四、 （本题 8

19、 分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工， A 工序在设备 A1或 A2 上完成， B 工序在 B1， B2 ， B3 三种设备上完成。已知产品甲可在A ，B 任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的 A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在 B1 设备上加工；产品丙只能在A2 与 B2 设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。设备产品设备有效设备加工费甲乙丙台时（元 / 小时）A151060000.05A27912100000.03B16840000.06B241170000.11B3740000.05原料费（元 / 件）0.250.350.50售价（元

20、/ 件）1.252.002.80（ 1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）；（ 2）写出所建立的模型的对偶形式。解：（ 1）设在A1 设备上生产甲x11 件，乙 x12 件，在 A2设备上生产甲 x21 件，乙 x22 件，丙 x23件，在B1 设备上生产甲 x31件，乙 x32 件，在 B2 设备上生产甲x41 件，丙 x43 件，在 B3设备上生产甲x51 件由已知条件得max 0.75 x110.79 x21 1.15x12 1.38x22 1.94x23(0.36 x31 0.48x32 0.44x411.21x43 0.05x51 )5x1110x

21、1260007 x219x22 12x2 3 100006x318x3240004x4111x437000s.t 7 x514000x11x21x31x41x51 0x12x22x32 0x23x430xij0(i15, j1,2,3)（ 2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：专业资料min6000 y1 10000 y2 4000 y3 7000 y4 4000 y55 y1y60.757 y2y60.7910y1y71.159 y2y71.3812y2y81.94s.t6 y3y60.368y3y70.484 y4y60.4411y4y81.217 y5y

22、60.05yi0(i1,2 5), y6 , y7 , y8无约束五、 （本题12 分） 一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80% ，今在高血压的人群中随机抽取了200 人服用此药品，一周后有 148 人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实(0.01) ？解： 设降压效率为 p，作假设H 0：p80%H 1：p80%?1 nm， m 为血压明显降低的人数，抽取的样本为大样本，因此选取统由点估计， pn i 1X inmnp，对 =0.01 ，拒绝域 W UZ0.01 。由已知得 m=148 ，n=200, 因此计量为 Um(1m

23、)n1480.8200124.0269 ，查表得 Z0.01=2.33 ，从而，样本观测值未落入统计量 u148 )2.9799148(1200拒绝域中，不能拒绝H 0，即生产厂家说法是真实的。3六、（本题10 分） 设有数值求积公式f (x)dxA0 f ( 2)A1 f (0)A2 f (2) ，试确定 A0 , A1, A2 ，使3该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。2专业资料A0 A1 A262 A02A20 ，因此 A0 =2.25 ， A1=1.5 ， A2 =2.252 A02A29将 f (x)x3代入式中是成立的，但f (x) x4却不成立 ，因此代数精

24、度为 3。七、（本题12 分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表因素秧龄苗数氮肥1 水平小苗15万株/亩8 斤/亩2 水平大亩25 万株 /亩12斤/亩若考虑之间的交互作用，采用 L8 (27 ) 安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：（ 1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8,87.3, 88.0, 92.3, 90.4 ，试寻找较好的生产条件。解：列表如下：123456产量（秧龄 A）（苗数 B）（AB）（氮肥 C）（AC）（B C）斤 / 亩111

25、111183.4211122284.0312211287.3412222184.8521212187.3621221288.0722112292.3822121190.4K1i339.5342.7350.1350.3349.1345.9K2i358354.8347.4347.2348.4351.6k 1 i84.87585.67587.52587.57587.27586.475k 2 i89.588.786.8586.887.187.9R4.6253.0250.6750.7750.1751.425由表计算数据及直观分析可知，因子B C、A 、B 是重要的。显然A 取水平 A2 ，B 取水平 B

26、2 ，而 B C 由B2 C1： 87.3 92.389.75， B2 C2： 84.8 90.487.622故 C 取 C1 水平。从而最优水平为A2 B2 C1。八、（本题16 分）设方程组为专业资料291x112125x28832x313（ 1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯塞德尔迭代法求解时都收敛；（ 2）写出对应的高斯塞德尔迭代格式的分量形式；（ 3 ） 取 初 始 向 量 x(0)(0,0,0) T， 用 雅 可 比 迭 代 方 法 求 准 确 解 x*的 近 似 解 x( k1)， 使x(k 1)x*10 3 至少需要迭代多少次？83 2 x113解：（1）29

27、1x212，经变换后的矩阵为严格对角占优阵，因此在用Gauss-Seidel 迭代法求解12 5 x38时收敛。x1( k1)1(133x2( k )2x3(k ) )8x2(k1)1 (122x1(k1)x3( k) )（ 2）9x3(k1)1 (8x1( k1)2x2(k1) )5（ 3）解方程组可知x1( k1)1 (133x2(k )2x3( k ) )8雅克比迭代法形式为x2( k 1)1(122x1( k)x3(k) )9x3( k 1)1 (8 x1( k )2x2( k) )5x1.01827360.93687251.0215961 TkX 1(k)X2(k)X3(k)11.6

28、251.33333331.620.7250.79444440.741666731.14166681.08981481.137222240.93201390.95327160.935740751.03358801.02224791.0322886专业资料中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期： 2010 年 4 月日时间 110 分钟注：解答全部写在答题纸上一、 填空题 (本题 24 分，每小题3 分 )1. 若方程f ( x)0 可表成 x( x) ，且在 a, b 内有唯一根 x* ，那么( x) 满足，则由迭代公式xn 1(xn ) 产生的序列xn 一定收敛于 x* 。（( x)

29、 满足：(x)C1a,b , 且x a, b 有(x) a,b , ( x)L1；）2. 已知二元非线性函数f (x)x12x1 x2x222x14x2 , X 0(2, 2) T ，该函数从 X0出发的最速下降方向为（最速下降方向为：p4,2T）；3已知二元非线性函数f (x)x12x1x2x222x14x2 , X 0(2, 2)T ，该函数从 X0出发的 Newton 方（ Newton 方向为：p2,T向为0）；专业资料4 已知y f ( x)在区间a,b上通过点 (i , i ),i0,1,2,n，则其三次样条插值函数S(x) 是满足x yL（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式

30、，（2 ）在区间 a,b 上二阶导数连续，（3 ）满足插值条件 S( xi )yi ,i0,1,2,L , n ）；5设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0 成立时， 样本值 ( X1, X 2,L , Xn ) 落入 W 的概率为0.15 ，则犯第一类错误的概率为_（ 0.15 ） ；6 在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈大愈好，而置信区间的长度愈短愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是变长；7 h0.2yx2y 0,1 的 Euler取步 长，解y(0), x法公式为：1（ yn 1ynh( xn2 yn )0.6 yn0.2xn , n0,1,2

31、,L ,5）；8对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：（模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差 。）。二、（本题 8 分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是： 锡不少于28% ，锌不多于15% ，铅恰好 10% ，镍介于 35% 到 55% 之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。合金锡（%）锌（%）铅（%）镍（%）杂质（ %）费用（元 / 吨）矿石125101025303402400030302603015520601804202004020230585151715190（ 1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果） ；（ 2 ）写出所建立的模型的对偶形式。（ 1）设 x j（,j 1,2, L 5) 是第 j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：专业资料minZ340x1260x2180x3230x4190x5st.0.25x10.4x20.2x4