2014年12月22日平面向量数量积的坐标表示

1、2014 年 12 月 22 日平面向量数量积的坐标表示一填空题（共17 小题）1（ 2014? 北京）已知向量，满足 |=1 ，=（2， 1），且+ = （ R），则 | |=_2（ 2014? 临汾模拟）已知向量，且，则的最小值为_3（ 2014? 泰州模拟）如图，直线l 1，l 2 交于点 A，点 B、C在直线 l 1，l 2 上，已知 CAB=45， AB=2，设=，点 P 为直线 l 2 上的一个动点，当=_时， |2+| 的最小值是34（ 2013?杭州模拟）已知非零向量满足 |=1 ， 与 的夹角为 120，则 |=_5（ 2012? 盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，

2、则向量与 的夹角大小为_6（2012?江苏一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量，则=_7（ 2012? 安徽模拟） 已知向量、的夹角为，且，则向量的模等于_8（ 2012? 荔湾区模拟）已知| |=|=|=2 ，则 |2| 的值为_9（2011?江苏模拟）已知向量=（ x，3）， =（ 2，1），若，则实数 x的取值范围是_10（ 2011? 黄冈模拟）不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则= _ 11（ 2010? 镇江模拟）设向量与的夹角为，则 sin = _12（ 2014? 四川）平面向量=（ 1， 2）， =（ 4， 2）， =m + （ m R），且 与 的夹角等于 与

3、 的夹角，则 m=_ 13（ 2014? 盐城二模）已知 |=1 ，|=2 ， AOB=，=+，则与的夹角大小为_14（ 2013? 宿迁一模）已知双曲线， A，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B， F分别是双曲线的左顶点和左焦点若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为_1.15（2014?烟台三模）设，x 1 ，2），且，则函数的最大值为_16（ 2014? 浙江二模）设向量=（1，cos），=（，tan ），（，），且，则 =_17已知=（ 1，4），=（ m，n），且 m 0， n0，若?=9，则的最小值为_二解答题（共13 小题）18（ 2014? 南通一模）设向量=（ cos ，

4、sin ），=（ cos ， sin ），其中 0（ 1）若，求的值；（ 2）设向量=，且+=，求，的值19（ 2012? 南京二模）设向量=（ 2， sin ），=（ 1， cos ），为锐角（ 1）若 ? = ，求 sin +cos 的值；（ 2）若 ，求 sin （ 2 + ）的值20在 ABC中，内角A、 B、C 的对边分别是a、 b、 c，=（a+c， b），=（ c a， bc），且，（ 1）求 A 的大小；（ 2）若 B=，求的值21已知=（ t ， 2），=（t 3， t+3 ）（ 1）设 f （ t ） =?，求 f （t ）的最值；（ 2）若与的夹角为钝角，求t 的取值范围

5、.下载可编辑 .22（ 2011? 杭州一模）已知向量=（ 1， 2），=（ cos ， sin ），设= +t（t 为实数）（ 1）若，求当 | 取最小值时实数t 的值；（ 2）若，问：是否存在实数t ，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由23（ 2010? 杭州一模）已知点 P（ 2cos， 2sin ）和 Q（ a ， 0 ）， O为坐标原点当（ 0，）时（）若存在点 P，使得 OPPQ，求实数 a 的取值范围；（）如果 a= 1，求向量与的夹角的最大值24已知 a、 b 都是非零向量，且（+3）与（ 75）垂直，（ 4）与（ 7 2）垂直，求与的夹角25已知

6、向量=（ 1， 2），=（ 2， 2），（ 1）设，求（） （ 2）若与 垂直，求的值 （ 3）求向量在 方向上的投影.下载可编辑 .26已知向量（ 1）求；（ 2）若，求 k 的值27已知，且与的方向相同，求的取值范围28（ 2011? 江苏模拟）在ABC中， A、 B、 C 所对边的长分别为a、 b、 c，已知向量=（ 1， 2sinA ），=（ sinA ，1+cosA），满足， b+c=a（）求A 的大小；（）求sin （ B+）的值29已知点 A、 B、 C的坐标分别为A（ 3， 0）、 B（0， 3）、C（ cos ， sin ）（ 1）若 |=| ，（，）求角的值；（ 2）若?，

7、求的值30已知向量，（ 1）求；（ 2）求与的夹角的余弦值；（ 3）求向量的坐标（ 4）求 x 的值使与为平行向量.下载可编辑 .2014 年 12 月 22 日平面向量数量积的坐标表示参考答案与试题解析一填空题（共17 小题）1（ 2014? 北京）已知向量，满足 |=1 ，=（2， 1），且+ = （ R），则 | |=考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：设 =（ x，y）由于向量，满足|=1，=（2， 1），且+=（ R），可得，解出即可解答：解：设=（ x，y）向量，满足|=1，=（ 2，1），且+ =（ R）， =（ x， y） +（2，1）=（.下载可

8、编辑 .x+2， y+1），化为 2=5解得故答案为：点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题2（ 2014? 临汾模拟）已知向量，且，则的最小值为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：利用向量垂直与数量积的关系可得x，再利用向量模的计算公式即可得出解答：解：，=2x2=0，解得x=1=（2， 1） +（ 1， 2） =（2+， 21）.下载可编辑 .=，当且仅当 =0 时取等号因此的最小值为故答案为：点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量模的计算公式， 属于基础题3（ 2014? 泰州模拟）如图，直线l

9、1，l 2 交于点 A，点 B、C在直线 l 1，l 2 上，已知 CAB=45， AB=2，设=，点 P 为直线 l 2 上的一个动点，当=1 或 5时， |2+| 的最小值是3考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：如图所示， 建立直角坐标系设 C（ c，c）， P（ x，.下载可编辑 .x）由=，可得=（ c+2，c）可得=（ c 3x+2 +4，c 3x）设 c 3x=t ，化为=（ t+2 +4，t ）由向量数量积的性质及其题意可得可得=，解出即可解答：解：如图所示，建立直角坐标系 AB=2， B（ 2， 0）设 C（ c， c），P（ x， x） = ，=

10、（ c+2，c）又 =（2 x，x）=（ c 3x+2+4， c 3x）设 c 3x=t ，.下载可编辑 .则=（ t+2 +4，t ）=，当且仅当 t+ +2=0 时取等号 2 2+8+8=18，化为 2+4 5=0解得 =1 或 5当 =1 或 5 时，|2+| 的最小值是3 故答案为： 1或 5点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积的性质、 二次函数的单调性、换元法等基础知识与基本技能方.下载可编辑 .法，考查了数形结合的思想方法， 考查了推理能力和计算能力，属于难题4（2013? 杭州模拟） 已知非零向量满足 |=1 ，与的夹角为120，则 |=1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹

11、角专题：平面向量及应用分析：把平方，并代入已知数据易得+2=0，解之即可解答：解：由题意可得=1+=3，即+ 2=0，分解因式可得（ 1）（ +2）=0，.下载可编辑 .解得=1，或=2（舍去）故答案为： 1点评：本题考查向量的数量积的应用， 涉及模长的求解，属基础题5（ 2012? 盐城二模） 已知向量的模为 2，向量为单位向量，则向量与的夹角大小为考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题； 平面向量及应用分析：设向量 与的夹角为，可得 ?=2cos ，再根据，得?2=2cos 1=0，最后结合 0 ， ，可得向量与的夹角的大小解答：解：设向量与的夹角为， ? =.下载可编辑 .

12、? cos =1 2 cos=2cos ，= ?2=0，得 2cos 1=0，所以 cos = ， 0 ， ， =故答案为：点评：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量，求与的夹角大小，着重考查了平面向量的数量积运算和向量的夹角等知识，属于基础题6（ 2012? 江苏一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量，则=0考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题； 平面向量及应用.下载可编辑 .分析：根据条件求出 然后再根据向量数量积的坐标计算公式即可求出解答：解： =2 2（3，1）=（4， 2）=（ 1，2）?（ 4，2）= 4+4=0故答案为 0点评：本题主要考查了平面向量的

13、数量积，属常考题， 较易解题的关键是求出以及熟记平面向量数量积的坐标计算公式！7（ 2012? 安徽模拟）已知向量、的夹角为，且，则向量的模等于考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：根据题意， 首先由数量积公式可得?，又由.下载可编辑 .| 2=（）222=+2?，代入数据可得|2 的值，开方可得|2 的值，即可得答案解答：解：，向量、的夹角为，则 ?=| | cos=1，| 2=（）2=2+22?=3，则|=；故答案为点评：本题考查数量积的应用，.下载可编辑 .求| 时，一般用公式| 2=2平方法求模是常用思路8（ 2012?荔湾区模拟）已知 | |=| |=|=2 ，则

14、 |2|的值为 2考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：由向量数量积的运算性质，结合题意可算出=2，从而得到|2|2=12，得到|2| 的值解答：解：|=2 ，|2=|2+=4又| |=|=2 ，=2，|2| 2=4.下载可编辑 .4+=16 8+4=12因此，|2|=2故答案为：2点评：本题在已知两个向量模和它们差的模的情况下，求另一个向量的模 着重考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角等公式，属于基础题9（ 2011? 江苏模拟）已知向量=（x， 3），=（ 2， 1），若考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：由可得且向量不能共线根据向量的数量积及

15、向量平行的坐标表示可得 2x+3 0 且x 2 3 0，则实数x 的取值范围是.下载可编辑 .从而可求解答：解：且向量不能共线2x+3 0 且 x 230且 x 6故答案为：x|x点评：本题主要考查了由向量的夹角的范围确定向量的坐标的范围，此类问题的容易出错的点是漏掉“向量不能共线”的限制10（ 2011? 黄冈模拟）不共线的三个平面向量两两所成的角相等，且，则= 2 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：由题意， 由于三个平面向量两两所成的角相等可得任意两向量的夹角是120，由于.下载可编辑 .三个向量的模已知， 可采取平方的方法求三个向量的和向量的模解答：解：由题意三个

16、平面向量两两所成的角相等，可得任意两向量的夹角是 120又= =2故答案为2点评：本题考查求平面向量的模，解题的关键是理解模的定义及向量数量积的运算律， 本题的难点是用平方法求和与差的向量的模，平方法是求向量的模的常用方法11（ 2010? 镇江模拟）设向量与的夹角为，则 sin =.下载可编辑 .考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题分析：根据题意， 易得的坐标，进而由向量模的计算可得、的模，再根据向量的数量积的计算，可得cos ，最后由同角三角函数基本关系式，计算可得答案解答：解：根据题意，由，可得，=（+3）=（ 1，1），则|=，|=，cos = ，则 sin = .下载

17、可编辑 .点评：本题考查向量的数量积的运算与运用，要求学生能熟练计算数量积并通过数量积来求出向量的模和夹角12（ 2014? 四川）平面向量=（ 1， 2）， =（ 4， 2）， =m +（ m R），且与 的夹角等于与 的夹角，则 m=2 考点：数量积表示两个向量的夹角专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算、 数量积运算、 向量的夹角公式即可得出解答：解：向量=（1， 2）， =（4， 2），=m + （ mR），=m（1，2）+（4，2）=（ m+4，2m+2）=m+4+2（ 2m+2）=5m+8，=4（ m+4）+2（ 2m+2）=8m+20，.下载可编辑 .=2 与的夹角等于与的

18、夹角，=，化为5m+8=4m+10，解得 m=2故答案为： 2点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式， 属于基础题13（ 2014? 盐城二模）已知 |=1，|=2 ， AOB=， =+，则与的夹角大小为60 考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：由题意， 先求出两个向量与模与两向量的数量积，再代入公式求出两向量的夹角.下载可编辑 .余弦值即可解答：解：由题意得|=|+|=，? =?+?= cos ，=则与的夹角大小为60，故答案为：60点评：本题考查利用数量积求向量的夹角，熟记公式是正确做题的关键14（ 2013? 宿迁一模）

19、已知双曲线， A，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B， F分别是双曲线的左顶点和左焦点若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线.下载可编辑 .的简单性质专题：平面向量及应用分析：利用双曲线的简单性质求出 A、C、B、F 各个点的坐标，再利用两个向量的夹角公式以及=2，求出cos =的值解答：解：由题意可得由题意得A（ 0，b），C（ 0，b），B（ a，0）， F（ c，0），=2（= a，b），=（ c，b） 设与的夹角为，则 cos =.下载可编辑 .=，故答案为点评：本题主要考查双曲线的简单性质的应用，两个向量的夹角公式，属于中档题15（2014?

20、烟台三模）设，x 1 ，2），且，则函数的最大值为0 考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；函数的值域专题：函数的性质及应用； 平面向量及应用分析：先根据数量积判断两个平面向量的垂直关系， 得出 x 与 a 的关系式，再将其代入函数 f（x）的解析式，化简后画出函数的简图，数形结合得出函数的单调性， 从而求出函数的最大值解答：解：，.下载可编辑 .，且， x2+2（ a x）=0，a=，x 1 ， 2），则函数=，故 f （ x）=，x 1 ，2），作出其函数的图象， 如图所示由图可得， 当x=1 时，函数的最大值为.下载可编辑 .0故答案为： 0点评：本小题主要考查数量积判断两个平面向量的

21、垂直关系、 函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力， 考查数形结合思想、化归与转化思想 属于难题16（ 2014? 浙江二模） 设向量=（ 1，cos），=（，tan ），（，），且，则 =考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：直接由向量垂直的坐标表示列式求得，然后结合角的范围求得的值解答：解：=（ 1，.下载可编辑 .cos ），=（， tan），且，1（）+cos ? sin，得，故答案为：点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查由三角函数的值求角，关键是注意角的范围，是基础题17已知=（ 1，4），=（ m，n），且 m 0， n0，若?=9

22、，则的最小值为1考点：平面向量数量积坐标表示的应用； 基本不等式专题：函数的性质及应用； 平面向量及应用分析：根据数量积求出 m、 n 的关系，再基本不等式即可求最小值.下载可编辑 .解答：解：=（ 1，4）， =（ m，n），且 m 0， n0， ?=m+4n=9， m=9 4n，其中 0 n；=+ =，设y=， y=，令 3（ 9n24n ）（ 93n）（ 9 8n）=0，整理，得4n2 24n+27=0，解得 n= ，或n=（不满足题意，舍去）；当 n=时，y 取得最小值是.下载可编辑 .+= +=1；故答案为： 1点评：本题考查了平面向量的数量积的应用以及求函数最小值的问题，是易错题二

23、解答题（共13 小题）18（ 2014?南通一模）设向量=（ cos ， sin ）， =（ cos ， sin ），其中 0（1）若 ，求的值；（ 2）设向量=，且+ = ，求，的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：平面向量及应用分析：（1）利用数量积的运算性质即可得出；（2）利用向量相等和诱导公式、 三角函数的单调性即可得出解答：解：（ 1） =（cos ，sin）， =（ cos， sin ），|=1 ，|=1 ，.下载可编辑 .? =0于是=2故（ 2）+ =，由此得 cos =cos（），由 0，得 0，又 0，故 =代入，得而 0，点评：本题考查了数量积的运算性质、 向

24、量相等和诱导公式、三角函.下载可编辑 .数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于基础题19（ 2012? 南京二模）设向量=（ 2， sin ），=（ 1， cos ），为锐角（ 1）若 ? = ，求 sin +cos 的值；（ 2）若，求 sin （ 2 +）的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值专题：计算题； 证明题分析：（1）根据向量数量积的坐标公式列式并化简， 得sin cos = 再由同角三角函数的平方关系， 可得（ sin +cos） 2 的值，结合为锐角，开方即得 sin +cos的值；（2）根据两个向量平行的充

25、要条件列式，化简得tan =2再由二倍角的正、余弦公式，结合弦化切的运算技巧，算出 sin2.下载可编辑 .和 cos2 的值，最后根据两角和的正弦公式， 可得 sin （ 2+ ）的值解答：解：（ 1）?=2+sin cos =，sin cos = （2分）（ sin +cos）2=1+2sin cos = 又为锐角， sin +cos =（舍负）（ 5 分）（ 2） ， 2 cos =sin 1，可得 tan =2 （7 分） sin2 =2sin cos=.下载可编辑 .，cos2 =cos 2 sin 2= （ 11分）所以 sin （ 2 + ）= sin2 + cos2 = +（）= （ 14 分）点评：本题以平面向量数量积运算为载体，考查了同角三角函数的基本关系、 二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式等知识，属于中档题20在 ABC中，内角A、 B、C 的对边分别是a、 b、 c，=（a+c， b），=（ c a， bc），且，（ 1）求 A 的大小；（ 2）若 B=，求的值考点：平面向量数量积的坐标表示、模