(高数课件)对面积的曲面积分 (1)

1、( (高数课件高数课件) )对面积的曲对面积的曲面积分面积分 (1)(1) 质对面积的曲面积分的性 , , . 12121则是光滑曲面和如果 . d),(d),(d),(21SzyxfSzyxfSzyxf , 1),( . 2时当zyxf . ) | ( | dd),(的面积为曲面SSzyxf . )( 参照二重积分自己证明三三. 直角坐标系下对面积的曲面积分的计算直角坐标系下对面积的曲面积分的计算 算对面积的曲面积分的计 归结为 相应的二重积分计算 :算曲面面积的公式回忆二重积分应用中计 , ),( 平面上的投影区域在的方程为设曲面xyyxzz | , 的计算公式为的面积则曲面为xyD .

2、dd1 |22yxDyxyxzz 的曲面面积元素为曲面 . dd1 d22yxzzSyx . 式了积分的计算公对面积的曲面你应该能推出 , , ),( : . 1则平面上的投影区域为在yxDyxyxzz . dd1 ),(,( d),(22yxDyxyxzzyxzyxfSzyxf , , ),( : . 2则平面上的投影区域为在zyDzyzyxx . dd1 ),),( d),(22zyDzyzyxxzyzyxfSzyxf , , ),( : . 3则平面上的投影区域为在zxDzxzxyy . dd1 ),(,( d),(22zxDzxzxyyzzxyxfSzyxfxyzO例解解 )(0 22

3、22ahhzazyx被平面是球面设 .d , zS求截出的顶部 . 222yxaz的方程为 为平面上的投影区域在yxDyx 2222azyx hz . :2222hayxDyx . dd dd1 d 22222yxayxayxzzSyx又 dd1d 222222yxyxaayxazSyxD故例解解 . 21 的部分在 z , d)( 2222yxzSzyx为曲面其中计算xyO12 : , 求投影柱面联立方程组 22yxz 1z 22yxz 2z . 41 | ),( 22yxyxDyxyx平面上的投影区域在得到 , dd2d , , 2222yxSyxyyzyxxxz故又 dd2)(d)( 2

4、22222yxDyxyxyxSzyx . 6 273d)(d22 1 22 0 rrrr例解解 , )1 (d 2其中求yxS . 所围成的四面体的表面xyz 1 2 3 4 4 , 1 , 0 , 0 , 0 | ),(1zyzyxzyx 记 , 1 , 0 , 0 , 0 | ),(2zxzxyzyx , 1 , 0 , 0 , 0 | ),(3yxyxzzyx , 1 0, , 0 , 0 | ),(4zyxzyxzyx . 4321则 1 与三个坐标面为平面zyx i计算 . 2ln) 13(233)1 (d) ()1 (d224321yxSyxS练习练习例例1计算计算其中其中 为锥面

5、为锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax所截的部分所截的部分. ()d ,xyyzxzS 22zxy 解解:oxyz曲面曲面 关于关于xOz面对称面对称, 其第一卦限部分如图其第一卦限部分如图.因为因为 :22zxy曲面曲面 在在xOy的投影区域为的投影区域为22:2 ,xyDxyax221 ()()2dd dd dzzSx yx yxy2222,zxzyxyxyxy)dxyyzxz S（22() 2d dxyDxyxyxyx y例例1续续计算计算其中其中 为锥面为锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax所截的部分所截的部分. ()d ,xyyzxzS 22zxy oxyz)dxyyzxz S（22()

6、 2d dxyDxyxyxyx y222 cos202cos sincossin ddarr r22412(cos sincossin )(2 cos )4da24508 2cos da 444 2648 225 315aa例例2计算计算其中其中 为球面为球面的上半部分上侧的上半部分上侧.d dd dd d ,Ix y zy z xz x y 2222()()()x ay bz cR d dz x y222()() )d dxyDcRx ay bx y2222222d dx a uy b vuvRc RRuv u v 2323c RRxyDnoxyz解解:222()() )d dyzDaRy

7、bz cy z222222,02d dx a uy b vuvRvRuv u v d dx y z222()() )d dyzDaRy bz cy z323d dy z xR323R类似地类似地,有有232I c RR所以所以,例例3计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为为上半上半球面球面而而( , , )d ,If x y zs 2222(0)xyza z 解解:222222,( , , ).0,xy zxyf x y zzxy yxDoxzyha 在在22zxy的部分记作的部分记作 1,其余部其余部分记作分记作 2, 1在在xoy面上投影为面上投影为2221( , )|2xyDx y xya

8、于是于是, 122222()d()dIxySxyS122()d0 xySyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222d dax yaxy 1 2例例4计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为圆锥面的一部分为圆锥面的一部分 为常数为常数, 且且2d ,Izs cos sin ,sin sin ,cos ,(0,02 ),xryrzrra 解解:0.2 yxD 的直角坐标方程为：的直角坐标方程为： 22tanxyz 在在xoy面上投影为面上投影为2222( , )|sinxyDx y xya于是于是, 22211 cotcscxyzz2222()cotcscdd dxyDIz Sxyx y2sin2300cotcscddar r42cossin2axyzo例例5计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为介于平面为介于平面z=0及及z=H之间的圆柱面之间的圆柱面x2+y2=R2.2221d ,Isxyz 解解: 在在yoz面上投影为面上投影为( , )|,0yzDx yR y Rz H 又又 在在Dyz上的显式方程为上的显式方程为22xRy2222222()()11dddIz