知识讲解-变化率与导数-提高1

1、精品文档变化率与导数【学习目标】（ 1）理解平均变化率的概念；（ 2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（ 3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（ 4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率；【要点梳理】知识点一：平均变化率问题1. 变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值 ”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；2. 平均变化率一般地，函数 f(x) 在区间 x1 , x2上的平均变化率为：f (x2 ) f (x1)x2x1要点诠释： 本质 ：如果函数的自变量的“增量”为x , 且 x x2x1 , 相应的函数值的“增量”为y , y f ( x2

2、 ) f ( x1 ) , 则函数 f ( x) 从x1 到 x2 的平均变化率为yf ( x2 )f (x1)xx2x1 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（ m）从 t1 秒到 t 2 秒的平均变化率即为t 1 秒到 t 2 秒这段时间的平均速度。高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。3. 如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法：作差：求出 y f (x

3、2 ) f (x1) 和 x x2x1作商：对所求得的差作商，即yf ( x2 )f ( x1 ) 。xx2x1要点诠释：1.x 是 x1 的一个“增量” ，可用 x1x 代替 x2 ，同样 yf ( x2 ) f ( x1) 。2.Vx 是一个整体符号，而不是V 与 x 相乘。3.求函数平均变化率时注意 Vx, Vy ，两者都可正、可负，但Vx 的值不能为零， Vy 的值可以为零。若。1欢迎下载精品文档函数 yf x 为常函数，则 V y =0.知识点二：导数的概念定义： 函数 f (x) 在 xx0 处瞬时变化率是limylimfx0x f x0，我们称它为函数x 0xx0xyfx 在 x

4、x0 处的导数 , 记作 fx0或yxx即0f x0 limylimfx0xf x0x 0xx0x要点诠释： 增量x 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。x0 的意义：x 与 0 之间距离要多近有多近，即 | x0 | 可以小于给定的任意小的正数。 x 0 时， y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与yf ( x0x)f ( x0 ) 无限接近。xx导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。知识点三：求导数的方法：求导数值的一般步骤：求函数的增量：yf ( x0x)f ( x0 ) ；求平均变化率

5、：yf ( x0x)f ( x0 ) ；xx求极限，得导数：f (x0 ) limylimf ( x0x)f (x0 ) 。x0 xx0x也可称为三步法求导数。【典型例题】类型一：求平均变化率例 11函数 y f (x)x在区间 1 ，1+x 内的平均变化率为_。【解析】 yf (1x)f (1)111x11x1(1x)1x(1 1x)1x。2欢迎下载精品文档x，(11x) 1xy1x(11x) 1x【总结升华】由于平均变化率是函数值增量与自变量增量之比，所以求函数在给定区间x ， x +x 上00的平均变化率问题，就是求yf (x0x) f (x0 ) 的值。本例的关键是对11x 进行分子有

6、xx1x理化。举一反三：【变式 1】 求函数 y=2x2+5 在区间 2 ， 2+x 上的平均变化率；并计算当x1时，平均变化率的值。2【答案】 yf (2x)f (2)2(2x)25(2 225)8x2(x)2y8 2x ，函数在区间 2 ， 2+x 上的平均变化率为82x 。x当 x1 时，y82 x 9 ，即平均变化率的值为9.2x【变式 2】（ 2015春 松山区校级月考） 在曲线 yx2x 上取点 P（ 2,6 ）及邻近点 Q 2x,6 y ，那么y为（）xA.x 2B.2x(x) 2C.x 5D.3x(x) 2【答案】 6y (2x)2(2x) ，y(2x)2(2x) 6x5xx故

7、选 C【变式3】已知函数，分别计算在区间 3， 1 ，0 ，5 上函数及的平均变化率【答案】函数在 3， 1上的平均变化率为在 3, 1 上的平均变化率为函数在 0 ，5 上的平均变化率为。3欢迎下载精品文档在 0 ， 5 上的平均变化率为类型二：利用定义求导数值1例 2用导数的定义，求函数yf (x)x在 x=1 处的导数。【解析】 yf (1x)f (1)111x11x11xx1x(11x) 1x (1 1 x ) 1 xy1x(11x)1x f (1)limy1 。x 0x2【总结升华】利用定义求函数的导数值，需熟练掌握求导数的步骤和方法，即三步法。举一反三：【高清课堂：变化率与导数38

8、3113例 1】【变式 1】（ 1）求函数f ( x)3x2 在 x=1 处的导数 .（ 2）求函数 f ( x)=x2x 在 x1 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数【答案】 (1)yf (1x)f (1)3(1x)236x3(x)2y6x3( x)263x ,lim(63x)6，即 f(1)6 .xxx0所以 函数f ( x)3x2 在 x=1 处的导数为 6 .（ 2） 依照定义， f ( x) 在 x1 的平均变化率，为两增量之比，需先求y f ( x0x)f ( x0 )(1x)2(1x)23 x(x)2，再求：y3x (x)23x ，即为 f ( x)=x 2x 在 x1 附近

9、的平均变化率。xx再由导数定义得：f(1)limylim(3x)3x1x0x0【变式 2】已知函数x ，求函数在 x=4 处的导数 .yx。4欢迎下载精品文档f (4x)f (4)14x ( 12)【答案】（1） f (4)limlim4x4x 0xx0x114x2)xx4x(4(4x)4x 24limlimx0xx 0xlim115 ，x 0 4(4x)4 x216【变式3】（2015 春 宝鸡校级月考）已知函数f ( x) 可导，且 f (1)1 ，则 limf (1x) f (1) 等于x 0x（）A.1B.1C.f (1)1D.f ( 1) 1【答案】 A类型三：实际问题中导数的应用例

10、 3. 设一个物体的运动方程是： s(t )v0t1 at 2 ，其中 v0 是初速度，时间单位为，2求：时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率） 。【解析】ss ( t 0t )s ( t 0 )tt v 0 ( t 0t )1 a ( t 0t ) 2 v 0 t 01 at 02 22tv 0at 01 at2t 2s时，瞬时速度是 v0 2a【总结升华】t =2s 时的瞬时速度就是t =2s 附近平均速度的极限，亦即速度在t =2s 时导数。举一反三：【变式 1】质点按规律 s (t)=at2+1 做直线运动（位移单位：m，时间单位： s）。若质点在 t=2 s 时的瞬时速度为 8 m

11、 / s，求常数 a 的值。【答案】 s=s(2+t) s(2)=a(2+t) 2+1 a 22 1=4at+a( t) 2，sa t 。4atslim4a在 t=2 s时，瞬时速度为t0t，即 4a=8。 a=2。【变式 2】如果一个质点从固定点A 开始运动，关于时间t 的位移函数是s(t )t 33。5欢迎下载精品文档求（ 1） t=4 时、物体的位移是s(4);（ 2）t=4 时、物体的速度 v(4);（ 3）t=4 时、物体的加速度 a(4).【答案】 (1)s(4)43367(2) t=4时，s(4t )33(433)48 12 t ( t) 2ttlimslim4812 t(t) 248t0tt0 v(4)=48(3)s(tt)33(t 33)3t 23tt (t )2tt v(t)limslim3t 23tt(t) 23t 2t 0tt0t=4时vv(tt )v(4)3(4t)23 42ttt24 3 tlimvlim 243t24tt0t0 a (4) = 24【变式 3】 枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是a=5 105 m / s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6 10 3 s 。求枪弹射出枪口时的瞬时速度。【答