与圆有关的最值问题,附详细答案

1、与圆有关的最值(取值范围)问题，附详细答案姓名1. 在坐标系中，点 A的坐标为(3 , 0)，点B为y轴正半轴上的一点，点 C是第一象限内一点，且AC=2.设tan / BOCm贝U m的取值范围是 _.2. 如图，在边长为1的等边 OAB中以边AB为直径作O D,以0为圆心0A长为半径作圆 0 C为半圆AB上不与A B重合的一动点，射线 AC交O 0于点E, BC=a, AGb.(1) 求证：AE=b+a；(2 )求a+b的最大值；(3)若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求 m的取值范围.3. 如图，/ BAC60。，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切,P为圆O上一动点

2、，以P为圆心，PA长为半径的圆 P交射线AB AC于 D E两点，连接DE则线段DE长度的最大值为().A.3 B . 6 C .D .3.34. 如图，A点的坐标为(-2, 1),以A为圆心的O A切x轴于点B, P (m n)为O A上的一个动点，请探索n+m的最大值.5. 如图，在Rt ABC中,ZAC昏90,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点，且AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是.6. 如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，O O的直径AB=5, AB的不同侧有定点 C和 动点P, tan Z CA昏其运动过程是：点 P在弧AB上滑动，过点

3、 C作CP的垂线，与PB的延 长线交于点Q(1 )当P(=时，CQ与O O相切；此时 CQ.(2) 当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ勺长；(3) 当点P运动到弧AB的中点时，求 CQ的长.(4) 在点P的运动过程中，线段 CQ长度的取值范围为 。7. 如图， ABC中,Z BA(=60,Z ABC45。，AB= 22 , D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径作O O分别交ABAC于 E,F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值为 8. 如图，定长弦 CD在以AB为直径的O 0上滑动（点 C D与点A B不重合），M是CD勺中点，过点C作CPL AB于点P,若Ct=3, AB=8，

4、则PM长度的最大值是 9. 如图，已知半径为 2的OO与直线I相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线I的垂线，垂足为 C, PC与OO交于点D,连接PA PB设PC的长为x （2v xv4）,则当x=时，PD?CD的值最大，且最大值是为10. 如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点，以AC BC为边作等边 ACD和等边 BCEO0外接于 CDE则O 0半径的最小值为（）.B.2-3C.3、2D. 211. 在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O o, P是OO上一动点，且 P在第一象限内，过点 P作OO的切线与x轴相交于点 代与y轴相交于点B,线段AB长

5、度的最小值是12.如图，在 Rt ABC中, Z 0=90AO6, BO8, D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是 .13.如图，Rt ABC中，/ C=90,Z A=30, AB=4,以AC上的一点 O为圆心OA为半径作O O,若O O与边BC始终有交点（包括 B C两点），则线段AO的取值范围是 .14.如图，O O的半径为2，点O到直线I的距离为3，点P是直线I上的一个动点,PQ切O O于点Q贝y PQ的最小值为（B.C. 3D. 2215. (2015?齐南)抛物线 y=ax+bx+4 (a*0)过点 A (1, - 1), B( 5,- 1)

6、,交 y 轴于点 C.(1)求抛物线的函数表达式；(2) 如图1,连接CB以CB为边作?CBPQ若点P在直线BC上方的抛物线上, 面内的一点，且？CBP的面积为30，求点P的坐标；(3) 如图2,0O过点A、B C三点，AE为直径，点M为 上的一动点(不与点/ MBN为直角，边 BN与 ME的延长线交于 N,求线段BN长度的最大值.Q为坐标平A E重合)，16.如图，已知A B是OO与x轴的两个交点，O O的半径为1, P是该圆上第 个动点，直线 PA PB分别交直线x=2于C D两点，E为线段CD的中点.(1 )判断直线PE与OO的位置关系并说明理由；(2) 求线段CD长的最小值；(3) 若

7、E点的纵坐标为 m则m的范围为 .象限内的一1为半径作O D,D)17417. 如图，在矩形ABCDK AB=3, BC=4, O为矩形ABCD勺中心，以D为圆心P为O D上的一个动点，连接 AR 0P则厶AOF面积的最大值为（）.2135(A)4(B) 21(C)355818. 如图，在 Rt ABO中，/ C=90, AG8, BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与 CACB分别相交于点P、Q贝U线段PQ长度的最小值是（）.A.19424C . 5 D . 4.219. 如图，在等腰 RtAABC中，/ C=90, AC=BC=4, D是AB的中点，点 E在AB边上运动（点E不与点 A重

8、合），过A、D E三点作O O, O O交AC于另一点F,在此运动变化的 过程中，线段EF长度的最小值为 .20. 如图，等腰 Rt ABC中，/ AC号90, AC=BC=4,O C的半径为1，点P在斜边 AB上,PQ切O O于点 Q,则切线长 PQ长度的最小值为 （）.A. 7 B. 2 2C. 321. 在平面直角坐标系中，M（ 3, 4）, P是以M为圆心，2为半径的O M上一动点，A （-1 ,0)、B (1, 0),连接PA PB则PA+PB最大值是.参考答案引例1.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当0C与圆A相切(即到C点)时，/ BOO小，AC=2, OA=3，由勾

9、股定理得：BOA/ ACO90。，/ BOC/ AOC90。，/ CAO/ AOC90。，：/ BOC/ OAC tan / BOCtan / OAC=,随着C的移动，/ BO(越来越大，T C在第一象限， C不到x轴点，即/ BOG90, tan / BOO，故答案为：n.引例1图引例2图引例 2. a b 2 ；原题：(2013?武汉模拟)如图，在边长为 1的等边 OAB中以边AB为直径作O D,以O为 圆心OA长为半径作圆 O,C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交O O于点E, BC=a, AC=b.(1) 求证：AE=b+a；(2 )求a+b的最大值；2 2(3)若m是关于

10、x的方程：x +ax=b +ab的一个根，求 m的取值范围.【考点】圆的综合题.【分析】(1 )首先连接BE由厶OAB等边三角形，可得/ AOB60。，又由圆周角定理，可 求得/ E的度数，又由 AB为O D的直径，可求得 CE的长，继而求得 AE=b+a；(2) 首先过点C作 CHL AB于H,在RtA ABC中,BC=a，AC=b，AB=1，可得(a+b) 2(3) 由x +ax=b +ab，可得(x-b) (x+b+a) =0，则可求得x的值，继而可求得 m的取值范 围.【解答】解：(1)连接BE OAB为等边三角形，/ AOB60，./ AE咅30，/ AB为直径，/ ACB/ BCE

11、90。，： BC=a，. BE=2a，CE=a，v AC=b，. AE=b+a；(2)过点 C作 CHLAB于 H,在 Rt ABC中, BC=a，AC=b，AB=1， a2+b2=1， Saabc=AC?BC=AB?CH - AC?BC=AB?CH=2 2a +b +2ab=1+2ab=1+2CH*AB=1+2CHc 1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；2 2 2( a+b)=a+b+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CHc 1+2AD=1+AB=2,. a+bw,故 a+b 的最大值为，2 2 2 2(3)T x+ax=b+ab,. x - b +ax- ab=0,( x+b)

12、 (x - b) +a (x - b) =0, ( x- b) (x+b+a) =0,. x=b 或 x= -( b+a),当 m=b 时，m=b=ACAB=1,. Ov m 1,当 m= -( b+a)时，由(1)知 AE= - m 又；AB AEW2A(=2, 1- mW2,- 2w mv- 1 , m的取值范围为 0 nv 1 或-2w mv- 1.【点评】 此题考查了圆周角定理、 等边三角形的性质、 完全平方公式的应用以及一元二次方 程的解法.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.引例3.解：连接EP, DP过P点作PMI垂直DE于点M过O做OF丄AC与 F,连接AQ

13、如图，I/ BAC60, DPE12O.t PE=PD PML DEEPM60 , ED=2EMt2EP?sin 60=EF=FA.当P与A、O共线时，且在 O点右侧时，O P直径最大.O O与/ BAC两边均相切，且/ BA(=60, / OAI=30 , OF=1 ,AO=2 , AP=2+1=3 , DE=PA=3.故答案为： D【点评】本题考查了切线的性质中的解决极值问题， 解题的关键是找出 DE与AP之间的关系， 再解决切线的性质来解决问题. 本题属于中等难度题， 难点在于找到DE与半径AP之间的关 系，只有找到DE与AP之间的关系，才能说明当 A O P三点共线时DE最大.引例 3

14、图例一、斜率运用【考点】切线的性质；坐标与图形性质. 【专题】探究型.【分析】设m+n=k,则点P( m n)在直线x+y=k上，易得直线y=-x+k与y轴的交点坐标 为(0, k),于是可判断当直线 y=-x+k与O A在上方相切时，k的值最大；直线y=- x+k 与x轴交于点C,切O A于P,作PDLx轴于D, AE!PD于E,连接AB如图，贝U C(k , 0), 利用直线y=- x+k的性质易得/ PCD45。，则厶PCD为等腰直角三角形，接着根据切线长定 理和切线的性质得 ABL OB API PC AP=AB=1, CP=CB=k+2 ,所以四边形 ABDE为矩形，/ APE=45

15、,贝U DEAB=1, PE=AP=,所以 PD=PEDE=+1 ,然后在 RtA PCD中 ,利用 PC=PD得 到2+k= (+1),解得k= - 1,从而得到n+m的最大值为-1.【解答】解：设 m+n=k，则点P (m n)在直线x+y=k上，当x=0时，y=k，即直线y= - x+k与y轴的交点坐标为(0, k),所以当直线y= - x+k与O A在上方相切时，k的值最大， 直线y=- x+k与x轴交于点C,切O A于P,作PDLx轴于D, AEL PD于 E,连接AB如图， 当y=0时，-x+k=0,解得x=k,则C(k,0),直线y= - x+k为直线y= - x向上平移k个单位

16、得到，/PCD45.A PCD为等腰直角三角形，/ CP和OB为O A的切线，二ABL OBAPL PC AP=AB=1, CP=CB=k+2,.四边形 ABDE为矩形，/ APE=45. DE=AB=1, APE为等腰直角三角形， PE=AF=,a PD=PE+DE=+1，在 Rt PCD中, v PC=PD 2+k= (+1),解得k=- 1,. n+m的最大值为-1.【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题.解决本题的关键是确定直线 y=-x+k与O A相切时n+m的最大值

17、.例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1. 解：作 AB的中点 E 连接 EM CE在直角 ABC中, AB=5,/ E是直角 ABC斜边AB上的中点，CEAB=.v M是BD的中点，E是AB的中点， MAD=1. 在厶 CEM中,- K CMP +1,即w CMP.故答案是：w CMP.2. (1) 2.3 CD 4 -3 ; (2) 2 2-13 ;变式题：(2011?邯郸一模)如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，OO的直径AB=5,AB的不同侧有定点 C和动点P, tan /CAB.其运动过程是：点 P在弧AB上滑动，过点C 作CP的垂线，与PB的延长线交于点 Q(1 )当PO时，CQ

18、与O O相切；此时 CQ.(2) 当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ勺长；(3) 当点P运动到弧AB的中点时，求 CQ的长.【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】(1 )当CQ为圆0的切线时，CQ为圆0的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于 直径CP得到CQ为切线，即可得到 CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPC中，禾U用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；(2) 当点P运动到与点 C关于AB对称时，如图1所示，此时CPL AB于D,由AB为圆0的 直径，得到/ ACB为直角，在直角三角形 ACB，由tan /

19、 CAB与 AB的长，利用锐角三角函 数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高 CD的一半来求，求出 CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得 到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan / CPB勺值，由CP的长即可求出 CQ(3) 当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BEL PC于点E,由P是弧AB的 中点，得到/ PC昏45。，得到三角形 EBC为等腰直角三角形，由 CB的长，求出CE与BE的 长，在直角三角形 EBP中，由/ CPB：/ CAB得到tan / CPBtan / CAB利用三角函数定义 求出PE

20、的长，由CF+PE求出CP的长，即可求出 CQ的长.【解答】解：(1)当CP过圆心0,即CP为圆0的直径时，CQ与O 0相切，理由为：/ PCL CQ PC为圆0的直径， CQ为圆0的切线，此时 PC=5;vZ CAB：/ CPQ tan / CABtan / CPQ,. tan / CPQ=,贝U CQ=；故答案为：5；(2) 当点P运动到与点 C关于AB对称时，如图1所示，此时CPLAB于D,图1图2又 AB为O0的直径，/ ACB=90,t AB=5, tan / CAB=,. BC=4, AC=3,又 SaabcAC?BC=AB?CD AC?BC=AB?CD 即 3X4=5CD Ct=

21、 , PC=2CD=,在 Rt PCQ中 , / PCQ90, / CPQ/ CAB - CQ=PCtan/ CPQPC - CQ=x =；(3) 当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BEL PC于点E, P是弧 AB的中点，/ PCB=45, CE=BE=2 ,又/ CPB=/ CAB - tan / CPBtan / CAB=, PE=BE= PC=CE+PE=2+=由( 2)得 CQ=PC=.【点评】此题考查了切线的性质 圆周角定理 锐角三角函数定义 勾股定理 以及等腰直 角三角形的判定与性质 熟练掌握切线的性质是解本题的关键.再变式：如图3时，CQ最长。图3例三、正弦定理1

22、. EF的长度由圆0的半径决定。解：由垂线段的性质可知，当ABC勺边BC上的高时，直径 AD最短，如图，连接OE 0F，过0点作OHL EF,垂足为H,:在Rt ADB中，/ AB(=45 AB=2 AD=BD=2,即此时圆的半径为 1,由圆周角定理可知/ EOH/ EOF/ BA(=60 在RtA EOH 中，EH=ORsin / EOH1X =，由垂径定理可知 EF=2EH=，故答案为：.例三 1 答图例三 2答图2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理.【分析】当CD/ AB时，PM长最大，连接 OM OC得出矩形CPOM推出PM=OC求出OC长 即可.【解答】解：法：如图：当CD/ A

23、B时，PM长最大，连接 OM OCCD/ AB CPLCD - CPLAB / M为 CD中点，OM过 Q OMLCD/ OMC/ PCD/ CPO90 四边形 CPOI是矩形， PM=OC O O直径AB=8,.半径 O(=4,即卩PM4,故答案为：4.法：连接CO MO根据/ CPO/ CM=90 所以C, M O, P,四点共圆，且CO为直径.连 接PM则PM为O E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PMCO4时PM最大.即PMax=4【点评】本题考查了矩形的判定和性质， 垂径定理，平行线的性质的应用， 关键是找出符合 条件的CD勺位置，题目比较好，但是有一定的难度.例四、柯西不等式

24、、配方法1. 过 O作 OEL PD 垂足为 E，v PD是O O的弦，OEL PD - PE=ED又/ CEO/ EC=/ OAC9O，.四边形 OAC为矩形， CE=OA=2,又 PC=x， PE=EPC- CE=x - 2,. P=2 (x - 2) , Ct=PC- PD=x 2 (x - 2) =x - 2x+4=4- x,22 PD?Ct=2 ( x- 2) ? ( 4- x) =- 2X+12X - 16= - 2 (x- 3) +2,T 2v x v 4，当 x=3 时， PDPCD的值最大，最大值是 2.第 1 题答图第 2题答图2. 解：如图，分别作/ A与/ B角平分线，

25、交点为 P. ACDA BCE都是等边三角形， AP与BP为CD CE垂直平分线.又圆心0在CD CE垂直平分线上，则交点 P与圆心0重合，即圆心 0是一个定点. 连接 0C.若半径 0C最短，贝y OCL AB.又/ OACZ OBC30 AB=4,. OAfOB AC=BC=2,.在直角 AOC中, OCAC?tan Z OAC2X tan 30 =.故选：B.3. 解：(1线段AB长度的最小值为4,理由如下：连接 OP/ AB切OO于 P,. OPL AB 取 AB的中点 C, AB=2OC 当 OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时 AB=4.故答案为：4.(3题答图)例四、相切的应

26、用(有公共点、最大或最小夹角)1. 求CE最小值，就是求半径 OD的最小值，当 ODL AB时OD最短。2. 3 OA 0,.点P 的坐标为(6,4).(3)连接 AB EB.v AE是圆的直径，/ ABE=90./ ABE=/ MBN又/ EAZ EMB.A EABA NhB.v A (1, - 1), B (5,- 1), 点 O 的横坐标为 3,将x=0代入抛物线的解析式得：y=4,.点C的坐标为(0, 4).设点O的坐标为(3, m),OC=OA,.，解得：m=2，点 O 的坐标为(3, 2),OA=，在 RtAABE中，由勾股定理得： BE=6,.点 E的坐标为(5, 5). AB=

27、4, BE=6. / EABA NMB . NB=.当ME为直径时，MB最大，此时 NB最大. MBAE=2, NB=3.2. 【考点】圆的综合题. 【专题】综合题.【分析】(1)连接OP设CD与x轴交于点F.要证PE与OO相切，只需证Z OPE90。，只 需证Z OPBZ EP=90，由 OPOB可得Z OPBZ OBPZ FBD 只需证Z EP=Z EDP 只需证 EP=ED只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题.(2) 连接OE由于PE=CD要求线段CD长的最小值，只需求 PE长的最小值，在 RtA OPE 中，OP已知，只需求出 OE的最小值就可.(3) 设0 O与y

28、轴的正半轴的交点为 Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点 E 的纵坐标越来越小，而点 P在点Q时，点E的纵坐标为1,由此就可得到 m的范围.【解答】解：(1)直线PE与OO相切.证明：连接 OP设CD与 x轴交于点F.v AB是OO的直径，/ APBZ CPD90v E为 CD勺中点，二 PE=CE=DE=CD :丄 EPDZ EDP v OP=OB :丄 OPBZ OBPZ DBFvZ DBF+Z EDB=90,.Z OPBZ EPDZ OPE9O,. EPL OP v OP为O O 的半径， PE是O O的切线.(2) 连接 OE vZ OPE9O, OP=1,. PE=OE-o

29、P=oE- 1.v当 OEL CD时，OE=OF=2, 此时OE最短， PE最小值为3，即PE最小值为，v PE=CD 线段CD长的最小值为2.(3) 设O O与y轴的正半轴的交点为 Q,由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小， 当点P在点Q时，由PEL OP可得点E的纵坐标为1.v点P是圆上第一象限内的一个动点，m的范围为n 1.点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求 0E的最小值是解决第（2）小题的关键【题型训练】1. 解：连接 0B如图 1,t AB切O 0于 B, OAL

30、AC 上 OBA/ OAC90。，/ OBP/ ABF=90,/ ACP/ AP（=90,v OP=OB / OBP/ OPB/ OPB/ APC / ACP/ ABC - ABAC 作出线段 AC的垂直平分线 MN作OEL MN如22图 2 , OEAC=AB=,又圆 O 与直线 MN有交点， OE= r, W2 r, 即: 100 - r 20 , r 2.t OA=10 ,直线 l 与O O相离， r v 10 , 2w r 10.故答案为：2 r 0）时，以O点为 圆心的圆与边 AC相切于点 D,与边AB相交于E、F两点.过E作EGL DE交射线BC于G（1 ）若E与B不重合，问t为何

31、值时， BEGWA DEG相似？（2） 问：当t在什么范围内时，点 G在线段BC上？当t在什么范围内时，点 G在线段BC 的延长线上？（3） 当点G在线段BC上 （不包括端点 B、C）时，求四边形 CDE（的面积S （cn?）关于时间t （秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定. 【专题】综合题；压轴题；分类讨论.【分析】(1)连接 OD DF.那么 ODL AC 则/ AOD60。，/ AED30。由于/ DEG90。，因此/ BEG60。，因此本题可分两种情况进行讨论： 当/ EDG60。，/ DG=30 时

32、，/ BGDZ BGE/ EGD60.这样/ BGD和/ACB相等，那 么 G 和 C 重合. 当/ DGE60。时，可在直角 AOD中，根据/ A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能 表示出CD的长，由于/ A=Z AED30 那么 AD=DE可在直角厶DEG，用AD的长表示出 DG进而根据 DG/ AB得出的关于 CD AD, DG AB的比例关系式即可求出此时 t的值.(2) 本题可先求出 BG的表达式，然后令 BG BC即可得出G在BC延长线上时t的取值范 围.(3) 由于四边形 CGE不是规则的四边形，因此其面积可用厶ABC的面积- ADE的面积- BEG勺面积来求得在前两问中已经

33、求得AD AE BE BG的表达式，那么就不难得出这三个三角形的面积.据此可求出 S t 的函数关系式.根据函数的性质和自变量的取值范围 即可求出 S 的最大值及对应的 t 的值.【解答】解：(1)连接 OD DF/AC切O O于点D,ODL AC.在 Rt OAD中 ,/A=30,OAt , ODOF=t, AD=OA?cosA=.又/ FOD9O。 30 =60AED=30 , AD=ED=.v DEL EGBE(=60, BEGW DEG相似./ B=Z GED90 , 当/ EGD30 , CE=2BE=2 (6 - t)则/ BGD60。=Z ACB 此时 G与 C重合， DE=AD

34、 CD：12-, BE=6 - t , / BEGA DEC -=, = t =； 当/ EGD60.a DGL BC DG/ AB.在 Rt DEG , / DE(=90 , DE= , DG=t .在 Rt ABC中 , / A=30 , BC=6 , AC=12 , AB=6 , CD=12-.t DG/ AB解得t=.答：当t为或时， BEGW EGD相似；(2) / AC切O O于点 D. ODL AC 在 Rt OAD中 , / A=30 , OA=t , /AED=30 , DEL EG :丄 BEG60。.在 Rt ABC中 , / B=90 / A=30 , BC=6 , A

35、宙6 ,BE=6 - t . Rt BEG , / BEG60 BG=BE?tan60 =18- t .当 Ow 18- t 6,即w t 6,即0 v t v时，点G在线段BC的延长线上；(3) 过点 D作 DMLAB于 M 在 Rt ADM中 , / A=30 DMAD=t .22 S=S ABC- SAED- S beDM1+=,.A AOP的最大面积=O/?PMfXX =,故选D.（4题答图）（5题答图）【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大；5. 解：如图，设 QP的中点为F,圆

36、F与AB的切点为D,连接FD CF CD贝U FDL AB./ACB90。，AC=8, BC=6,. AB=10, FC+FD=PQ FGFDCD ：当点 F在直角三角形ABC的斜边 AB的高CD上时，POCD有最小值， CD=BC?AOAB=.故选：B.6. 2 2 ;7. 解：若 ABE的面积最小，贝U AD与O C相切，连接 CD则CDL ADRtA ACD中, CD=1, AO0G0A3;由勾股定理，得： AD=2;2 2 acefACPCD1 ;易证得 AOE ADC：=（）=（）=,即 Saao=Saad=； Sa abe=Saob_ Sa ao= X 2 X 2 - =2另解：利

37、用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C.（7题答图）（8题答图）8. 解：当射线 AD与O C相切时， ABE面积的最大.连接 AC/AOC/ ADC90, AC=AC O（=CD - Rt AOQ Rt ADC： ADA0=2,连接 CD 设 EF=x , DE=EF?OE t CF=1, DE=,：A CDEA AOE-=，即=，解得 X=, SaabE=.故选：B.【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与O C相切时， ABE面积的最大.9. 解：当PCLAB时，PQ的长最短.在直角厶 ABC中, AB=4,POAB=2.v PQ

38、是O C的切线， CQLPQ 即/ CQP90 PQ=.故选 A.【点评】本题考查了切线的性质以及勾股定理的运用；注意掌握辅助线的作法，注意当PCL AB时，线段PC最短是关键.(9题答图)(10题答图)10. 解：连接AO并延长，与ED交于F点，与圆O交于P点，此时线段ED最大， 连接OM PD可得F为ED的中点，/ BAC60。，AE=AD AED为等边三角形， AF为角平分线，即/ FAD=30,在 Rt AOM中, OM1,/ OAM30,. OA2, PD=PA=AGOP=3，在 Rt PDF中，/ FDf=30, PD=3,. PF=，根据勾股定理得： FD=,则DE=2FD=3.

39、同理可得：DE的最小值为2 .込, 2 .3 DE 3 3 。3311. 1 m n 5 ； 12. 0 m 1 ；13.解：设 P (x, y), PA= (x+1) 2+y2, pB= (x - 1) 2+y2, pA?+pB=2x2+2y2+2=2 (x2+y2) +2,v Op=x2+y2,. PA+pB=2oP+2,当点 P处于 OM与圆的 交点上时，OP取得最值， OP的最大值为 OMPM5+2=7,. PA+pB最大值为100.【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大.附：1.如图，直线分别与 X、y轴交于点 A、

40、B,以OB为直径作O M O M与直线AB的另一 个交点为 D(1) 求/ BAO勺大小；(2)求点D的坐标；(3)过O D A三点作抛物线，点 Q是抛物线 的对称轴I上的动点，探求：|QG QD的最大值.【考点】一次函数综合题 【专题】压轴题【分析】(1)根据直线解析式求出点 A、B的坐标，从而得到 OA 0B的长度，再求出/ BAO 的正切值，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；(2) 连接OD过D作DEL 0A于点E,根据直径所对的圆周角是直角可得/BDO90。，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出0D直角三角形两锐角互余求出/ DOE60。，然后解直角三角形求出 OE

41、DE再写出点 D的坐标即可；(3) 根据二次函数的对称性可得抛物线的对称轴为 OA的垂直平分线，再根据三角形的任意 两边之差小于第三边判断出点 Q为OD与对称轴的交点时| QG QD= OD勺值最大，然后求解 即可【解答】解：(1)：直线y=- x+4分别与x、y轴交于点A B,当 y=o 时，x+4=0,解得 x=4 ;当 x=0 时，y=4,. A (4, 0), B ( 0, 4).OA=4, Of=4,在 RtAAOB,v tan / BAO=,./ BAO3O;(2) 连接 OD 过 D作 DEL OA于点 E,v OB是O M的直径，/ BDO/ ADO9O。，在 Rt AO中，/ BAO3O,. ODOA=x4=2,/ DOE60,在 Rt DOE中 OE=ODcos/ DOE2X =, DE=ODsin / DOE2X =3,a点 D的坐标为(，3);(3) 易知对称轴I是OA的垂直平分线，延长O交对称轴I于点Q,此时| Q0- QD= OD勺值 最大，理由：设Q为对称轴l上另一点，连接OQ , DQ ,则在 ODQ中，|Q O