灰色系统理论及其应用

1、灰色系统理论及其应用第一章 灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生和发展动态1982 年，北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂志刊载了我国学者邓 聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，华中工学 院学报发表邓聚龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统，这两篇论文的发表 标志着灰色系统这一学科诞生1985 灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。1989 海洋出版社出版英文版灰色系统论文集，同年，英文版国际刊物 灰色系统杂志正式创刊。目前，国际、国内 300 多种期刊发表灰色系统论文， 许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统 论

2、著 3000 多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能 源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实 际问题，取得了显著成果。1.2 几种不确定方法的比较 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性 上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延 不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个 范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。概率统计研究的是“

3、随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之 “随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典 型分布。灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息” 不确定性问题，着重研究 “外延明确，内涵不明确”的对象。如到 2050 年，中国 要将总人口控制在 15亿到16亿之间，这“ 15亿到 16亿之间“是一个灰概念，其 外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。1.3 灰色系统理论的基本概念定义 信息完全明确的系统称为白色系统。定义 信息未知的系统称为黑色系统。定义 部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。1.4 灰色系统理论的基本原理公理 1（ 差

4、异信息原理 ） “差异“是信息，凡信息必有差异。公理 2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。公理 3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最 少信息“。公理 4（ 认知根据原理 ）信息是认知的根据。公理 5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。公理 6（灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的1.5灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，现在已经基本建立起一门新兴学科的结构 体系。其主要内容包括以灰色代数系统，灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体 系。以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色关联空间为依托的分析体系。以灰 色模型（GM为核心的

5、模型体系，以系统分析，评估，建模，预测，决策，控制， 优化为主体的技术体系。1.6灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。我们把只知道大概范围而 不知道其确切值的数称为灰数。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般 的数集内取值的不确定数。通常用记号“”表示灰数。灰数有以下几类：1. 仅有下界的灰数。有下界而无上界的灰数记为争呵，其中a是灰数的下确界，是确定的数，我们称为的取数域，简称的灰域。2. 仅有上界的灰数。有上界而无下界的灰数记为，其中 是灰数的上确界，是确定的数。3. 区间灰数。既有下界又有上界的灰数称为区间灰数，记为 4. 连续灰数与离散灰数。5. 黑数与白数。当y,y

6、，称为黑数；当且时，称为白数。6. 本征灰数与非本征灰数。本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数，比如 一般的事前预测值，宇宙的总能量等。非本征灰数是指凭先验信息或某种手段，可以找到一个白数作为其代表的灰 数。我们称此白数为相应灰数的白化值。第二章序列算子与灰色序列生成灰色系统理论的主要任务之一，是根据社会，经济，生态等系统的行为特征 数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。灰色系 统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量，并把随 机过程看成灰色过程。灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘，整理来寻求其变化规律的，这是一 种就

7、数据寻找数据的现实规律的途径，我们称为灰色序列生成。灰色系统理论认 为，尽管客观系统表象复杂，数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然蕴含某 种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。一切灰色序列都能 通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。例如考虑4个数据，记为X (U X 2),XW Q), X 河(4) ，其数据见下表：序号1234符号刃(1)才穴(3)R (4)数据121.54将上表数据作图得上图表明原始数据刊)没有明显的规律性，其发展态势是摆动的。如果将原始数据作累加生成，记第K个累加生成为,并且X=X(1) + X= 1 + 2 = 3=丸冏(1) + 丸冏(2) +

8、 丸 )= | + 2 +1 +5 = 4.5龙小工 *何十 (0(2) + (0) (3) +(4) = I + 2 +1.5 + 3 = 7.5得到数据如下表所示骨口 序号1234符号工X屮(4)数据134.57.5上图表明生成数列X是单调递增数列。2.1冲击扰动系统与序列算子定义设JT*珂工“1）疋，/。何）为系统真实行为序列，而观察到的系统行为数据序列为其中，为冲击扰动项（干扰项）。X称为冲击扰动序列。所以本章我们的讨论围绕：由 X-X0展开（扰动还原真实）2.2缓冲算子公理定义设系统行为数据序列为X aawjcoo）1. 若VA = Z3凤邂H 0 ，则称X为单调增长序列；2. 若1

9、中不等号反过来成立，则称 X为单调衰减序列；3. 若弘,存班止)一班财一 1)3,-, tm=x(k)k=l2r3rtn ，则称M-m为序列X的振幅定义设x =,卫时)为系统行为数据系列，D为作用于X的算子，X经过算子D作用后所得序列记为XD - (x(l)rf, x(2)J5 ,x(77)t/)称D为序列算子，称XD为一阶算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相应的，若都是序列算子，我们称为二阶算子，并称XDQ产(迩畑心禹严理)如2)为二阶算子作用序列，同理，fT)D为三阶序列算子定义称下述三公理为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公理的序列算子D称为缓冲算子，一阶，二阶，三阶缓冲算子作用序列称

10、为一阶，二阶， 三阶缓冲序列。公理1 （不动点公理）设x二（珂亦,卫时）为系统行为数据系列，D为序列算子，则D满足x（n）d = x（/i）。不动点公理限定在序列算子作用下，系统行为数据序列的数据Jl（fl）保持不变。根据定性分析的结论，亦可使以前的若干个数据在序列算子作用下保持不变。例如，令3*（力直（5其中J =匸山公理2.（信息充分利用公理）系统行为数据序列 X中的每一个数据 心於=12，都要充分地参与算子的作用全过程公理3 （解析化、规范化公理）任意的琢同（一 1,2,），皆可由一个统一的JCg严 的初等解析式表达。定义设X为原始数据序列，D为缓冲算子，当X分别为增长序列，衰减序列或振

11、荡序列时:1. 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）减缓或振幅减小, 则称缓冲算子D为弱化算子。2. 若缓冲序列XD比原始序列X的增长速度（或衰减速度）加快或振幅增大, 则称缓冲算子D为强化算子。2.3实用缓冲算子的构造定理设原始数据序列令缓冲序列无=(x(l)sx(2)t-山(町)XD = (jc(1)d卫(2)/,/5M)其中x(k)d l!工(止)+ 工(上 4 】)h x(/t)|fl jt 4-1；k=1,2, ，n,则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化算子，并称为平均弱化缓冲算子（AWBD证明：直接利用= ） 的定义，可知定理成立。推论对于定理1中定义的弱

12、化算子D,令XD2 = XDD =(孑几工(2)”皿妙)料1）屮=1班町寸十工仗右対十十城町町上=匕2Ji则D2对于增长序列，衰减序列或振荡序列时，皆为一阶弱化算子。定理设原始序列和其缓冲算子序列分别为X =(巩1),巩2),(町)XD = (x(l)d,x(2)N,x(n)d)其中x(Y) + x(2)+1+ kx(k)2k-1x(n)d = x(/i)则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时， D为强化算子推论设D为定理2中定义的强化算子，令XD2 = XDD = (x()dx(2)dtx(n)d2)，其中x(n)d2 = x(n)d = x(n)如二 MM十班2M + ；;T MT 吨W

13、A =则D7对于增长序列，衰减序列或振荡序列皆为二阶强化算子。定理原始数据序列和其缓冲算子序列分别为无=(巩1),巩2),，工(町)XD =(兀比双2)乳*5)小其中x(k)d5 +紆(仁中1)/2，则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时， D为弱化算子，并称D为加权平均 弱化缓冲算子（WAWBO定理设 X = （x（l）7r（2）,为非负的系统行为数据序列，令XD = （x（l）rf,x（2）rfr -其中- JL -x(k)d= XOXJt +1)0“玉OOF*叫口就=1匸则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为弱化缓冲算子，并称D为几何平均弱化缓冲算子（GAWBO定理设X =（工（1

14、）,工（2）,，工（町）为系统行为数据序列，各时点的权重向量为=（闵,约叫），则XD = （x（1）d卫（2）/,/5M）其中x(k) + 锲+| 耳仗+1)+- +则当XD皆为弱化缓冲算子，并称 D为加权平均弱化缓冲算子（WAWBQ定理设X =（工（1）,工（2）,，工（町），各时点的权重向量为XD =(工d卫(2)d,其中一 1 !就氏阳二祗气町=|賓寸严+*_* 花土中则当XD为弱缓冲算子，并称D为加权几何平均弱化缓冲算子（WGAWBO定理设X = (jr(l)tx(2)r- .x()为系统行为数据序列，令XD = (x(l)rf,x(2)rfr - ,x(n)rf)其中心(-i+I)x

15、a(A)t x(k)d = 丛= 1,2 /x(i) + x(jfc + l)+- + x(/i)0则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为平均强化缓冲算子（ASBO定理设X =（工（1）山（2）,（町）为非负的系统行为数据序列，令XD = （x（l）rf,x（2）rf, x（w）rf）其中MH佝xtJtxMA + ip亠(时匸帀 rfixopjM则当X为增长序列，衰减序列或振荡序列时，D为强化缓冲算子，并称D为几何平均强化缓冲算子（GASB）以上列举了部分缓冲算子，当然，我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲 算子，缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模，而且还可以用于其它

16、各种模型建模。 通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子，淡化或消除冲击 扰动对系统行为数据序列的影响，往往会收到预期的效果。例231河南省长葛县乡镇企业产值数据(1983年-1986年)为X = (10 1 55,12588,23480,35388)其增长势头很猛，1983-1986年每年平均递增51.6%,尤其是1984-1986年，每年平均递增67.7%。因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。经过 认真分析，大家认识到增长速度高主要是基数低，而基数低的原因是过去对有利与 乡镇企业发展的政策没有用足，用活，用好。要弱化序列增长趋势，就要将乡镇企 业发展比较有利的现

17、行政策因素附加到过去的年份中去，为此，引进推论1所示的二阶弱化算子，得二阶缓冲序列XD 1 = (2 7260,29547,32 41 1353 88)用XD1建模预测得，1986-2000年该县乡镇企业每年平均递增 9.4%，这一结果是1987年 得到的，与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。2.4均值生成算子在收集数据时，常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称 空穴)，有些数据序列虽然完整，但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异 常数据，剔除异常数据就会留下空穴，如何填补空穴，自然成为数据处理过程中首 先遇到的问题，均值生成是常用的构造新数据，填补原

18、序列空穴，生成新序列的方 法。定义设序列X在出现有空穴，记为 0，即X =匕(2)严,x(k -+U*(町)则称期-I)和总丰1)为0(&溜界值.理tT)为前界，球+ 1)为后界当0U混电讹-l肿如1姓成时.称生威值)t(k)为jc(m XA+DfJ内点定义242设序列X = &(2)严“ -+1)严 *(町)为k处有空穴 0的序列，而 0=x(k) = OSx(k-1) + 0.5x(Jt) 称为非紧邻均值生成数，所得序列称为非紧邻生成序列。定义243设序列X =(工(1)机2),，工(町) ，若x(k) = 5x(k-)Q.5x(k)，则称 jc*(4)为紧邻生成数，由紧邻生成数构成的序列

19、称为紧邻均值生成序列。2.5序列的光滑性定义设序列X = (1)*(2”心心 + 1)，Z是X的均值生成序列：z = (1)*),*00)，其中2(*) = 0.5x(*-l)+0.5jc(t)X是某一可导函数的代表序列，d为n维空间的距离函数，我们将 X删去jr n + 1)后所得的序列仍记X,若X满足1.当k充分大时，x(k) x(t)2.则称X为光滑序列，1,2为序列光滑条件定义2 . 5 . 2 称二：V ； k二厶孑曲为序列X的光滑比。定义2 . 5 . 3若序列X满足2 .p(k) e 0; t = 24. 29)2, 7. 4, 11. 6)Jti = (5-lb 5. 10)从

20、直观上看，与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线，而畜牧业总 产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。因此我们可 以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业，畜牧业和林果业还不够发达。3.1灰色关联因素和关联算子集进行系统分析，选准系统行为特征的映射量后，还需进一步明确影响系统行 为的有效因素。如要作量化研究分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素 进行处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因 素转化为正相关因素。定义3.1.1设/ =（可（1）,心（2）严比（“）为因素兀的行为序列，为序列算子，且厂巧=（心（1）M，旺（2）叭，釘其中=

21、：寫 M2 W72”，则称为初值化算子。为X0兀在初值化算子的象，简称初值象定义3.1.2设/ =（可（1）,心（2）严比（町）为因素兀的行为序列,为序列算子，且=（心心，曲（2）叭昇心（幵）血）其中石）d2头M )，则称为均值化算子。为在均值化算子的象，简称均值象定义设/ =（兀，心（2”比（叮）为因素兀的行为序列，为序列算子，且X =（勺（1）心，旺（2）孔，心（冃）心）斗 M 一 叫n Jr(* )m 严斗“)min xt(k )其中心（上）心，则称为区间化算子。为在区间化算子的象，简称区间值象。定义设/ =（兀，心（2”比（叮）琢）曰0,1为因素兀的行为序列，为序列算子，且X4 =（心

22、心，心（2Mw 心（町心）其中xi（k）d4 = 1 - xt（k）; * = 1,2 n，则称为逆化算子。X几为X：在逆化算子的象，简称逆化象。定义设兀=（兀，旺（2）比（小）琢）为因素的行为序列，2为序列算子，且x6 =（心厲，心妇（用皿）其中= Jrv* 0，则称为逆化算子。为在倒数化算子的象，简称倒数化象。定义称 = |=1,23,4,5为灰色关联算子集。X,D）为灰色关定义设X为系统因素集合，D为灰色关联算子集，称（联因子空间。3.2灰色关联公理与灰色关联度定义（灰色关联公理）设疋o =（和（1）,升（2）,*升（町）为系统特征序列，且/ =（心心（2）,宀）（兀，心（2）,心（“）

23、/期二 g 宀(2),宀()为相关因素序列，给定实数尸凶仗),无(灯)，若实数1 匸(才” K)= 一工F仇仗),石(砌，满足1. 规范性Or(Xo,)L,r(,) = l2 有rXnXrXpX 心丿3偶对对称性XX eX，有尸(耳兀)(兀，尤Jo X兀兀4.接近性|xfl(*)-xf(A)越小，越大。则称1 “扯,扎)=一工r(xc (k ),斗(砌仏X、X声 X的灰色关联度，其中Fg仗），科（灯）为入：和兀在k点的关联系数，并称条件123.4为灰色关联四公理。在灰色关联公理中，规范性表明系统中任何两个行为序列都不可能严格无关联。整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色关联度也

24、随之 变化，因此对称性不一定满足。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只有两个序列时，满足对称性。接近性是对关联量化的约束。定义设系统行为序列X =（和，九严（町）/ =（呵心（2）, “（E）/ =（心严（2人严（叮）丸期=（九/抑（2） *，心（）对于fe(OJ)令min inin|xfl(Jt)-x(Jt)| + - max mixku(A)x(i)| 恨阿(幼=，常心岭他卜斗L營營箱一斯|记为心（如i（功为1 * 1 *F（血兀）=一 尸（无（d片（切工一心依），则1 X” Xf) = - r(jfo (k ),斗(砂仏满足灰色关联公理，其中称为分辨系数。称为心X：的灰色关联度，记为。根

25、据关联度的定义，可得关联度的计算步骤如下：1 根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据西(1)码(2)*期1)(叫个数据序列形成如下矩阵:%(1)(n，上呼)其中 为指标的个数，x产（忑1）声，心匸1,2,，朋2 确定参考数据列（或最劣参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值 值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值记作无=（勺（1），%，心（朋），无3 对指标数据序列用关联算子进行无量纲化（也可以不进行无量纲化） 量纲化后的数据序列形成如下矩阵：常用的无量纲化方法有均值化像法、初值化像法等.4.逐个计算每个被评价对象指标序列与参考序列对应兀素的绝对差值A/A)=(

26、)-x；k 1亍/i = h肿5.确定与M = min min廟（上）_岸（）tt ntm - max max丘 1 jt=i6. 计算关联系数分别计算每个比较序列与参考序列对应兀素的关联系数式中为分辨系数，在（0, 1）内取值，f越小，关联系数间的差异越大，区分能力越强.通常取 0.5 .7. 计算关联度1 *F（仏=一工心8 依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果.3.3灰色关联分析的应用举例利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1 评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著 作与出勤.2 对原始数据经处理后得到以下数值，见下表教师考评数据表编号专业外语教学

27、量科研论文著作出勤8987529兀7875738X、97966476888436兀866983889576483 确定参考数据列:竝二9,9,9,9,&9,94 计算Af(A) = x： (k) _ x： (k),见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤A乂）宀4(3)(6)鸟|屍-吗1012470I也仏|2124261必-兀|0203352I兀血|3111563区-血|1330161I扯-血|10423515.n tnn mmax maxminmin|x0(A)*-Jc.(A)| = min(O 丄 0,1,0,0) = 0丘伙)一壬(約卜 max(7t6t5,6,6,5) = 76.依据式

28、吠需爲，取-0.5计算，得0+0,5x71+05x7=0.7780 + 05梵70 + 0.5x7= 1.000(3) = 0778&(4) = 0.636(5) = 0.467心1(6) = 0.333心(7) = 1.000同理得出其它各值，见表（12 5 ）编号i心务阳务3)(5)心3)尙10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.

29、5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.7787 分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联度）：= 0.7130778 +1.000 卡 0578 +0636 4- 0X67 + 0,333 + 1.0007同理=0.614,=0.680,恤= 0.599. /=0.68X= 0.6588 如果不考虑各指标权重(认为各指标同等重要)，六个被评价对象由好到尬=0.713fju 0.683r0J 0.6K0- 0.658% =0.614rD4 = 0.599劣依次为1号()，5 号()，3 号()，6 号()，2 号()，4 号()即卩心 氐屉 心心3.4广义灰色关联度命题设X0=(x0(l)f 观x0(n)X产(孔山严，而X：=材.知,x/(n) 和斗=(*小*严*(n)分别为与的始点化像，即xDJ(k)=(k)-xj(l)xid(k)=xi(k) -x/1)，则记1%制寮*3专W)lfr=2ZI码冃 i=2及I 耳% H-(k) +-(x*(n) -i*(n) ) | 定义341设序列，如命题中所示，则称E 二 1卄|巧 | 1+1心| + |鬲汁|百亠心|为与兀的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。绝对关联度