总体均数的估计

1、第六章总体均数的估计授课教师：朱彩蓉总体均数的估计l均数的抽样误差与标准误 lt分布 l总体均数的估计 l为什么进行抽样？总体样本随机抽样推断均数的抽样误差l概念：抽样引起的总体参数与样本统计量之间的差异称为抽样误差(sampling error) 。l均数的抽样误差：抽样引起的样本均数与总体均数的差异称为均数的抽样误差。样本总体样本随机抽样100次样本样本100个样本2(4.5,0.2 )n 样本均数 抽样误差 样本1 样本2 样本k 总体nnnnkxxx21kxxx21从总体 (4.5,0.22)中抽出100个样本的均数从总体 (4.5,0.22)中抽出100个样本的样本均数的频数分布样本

2、均数抽样分布的特点l各样本均数未必均等于总体均数l样本均数之间存在差异l样本均数的分布规律:围绕着总体均数，中间多两边少，左右对称，基本服从正态分布l样本均数的变异较原变量的变异范围小l随着样本含量的增加，样本均数的变异范围逐渐缩小数理统计的中心极限定理l从正态分布n(,2)中，以固定n抽取样本，样本均数的分布仍服从正态分布；l即使是从偏态分布总体抽样，只要n足够大，样本均数的分布也近似正态分布；l样本均数的总体均数仍为，样本均数的标准差为 。x标准误(standard error)l样本均数的标准差称标准误,是说明均数抽样误差大小的指标， 大，抽样误差大；反之， 小，抽样误差小 。l标准误

3、的计算：l标准误 的估计值：xnssnxxx影响标准误大小的因素l 的大小与成正比l 与样本含量n的平方根成反比 xx频数分布图l 图4.1 2005年某市120名9岁男孩肺活量频数分布-4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.4标准正态分布n(0, 1)分布 lt分布的由来lt分布的特征lt分布曲线下的面积分布的由来xz变量变换总体 ),(2n 样本均数 xx),(2xn中心极限定理标准正态分布 ) 1 , 0(nz变量变换tsxx未知100n_xxzl如果抽取例数n=5的样本k个，每个样本又都可以按公式（6.3）计算出一个t值，可将k个t值编制成频数

4、表，作出直方图，当k无限增大时，则可得到一条光滑的曲线。 （式6.3 ） 同理，如果抽取例数n=15时，仍能得到一条t分布曲线，因此，当n变化时，就可以得到不同的t分布曲线，如图6.4：nsxsxtx-5-4-3-2-101234500.050.10.150.20.250.30.350.415图6.4 自由度分别为1、5、的t分布 自由度l随机变量能够自由取值的个数l = n-限制条件的个数l例：如求当 ，均数也为5时，随机变量x能自由取值的个数？ 1 ，2 ，3 ， 45n4321,xxxx?5x分布的特征 lt分布是一簇单峰分布曲线。lt分布以0为中心，左右对称且均匀下降。l其形态变化与自

5、由度的大小有关。自由度越小，则t值越分散，曲线越低平；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近标准正态分布；当=时，t分布即为标准正态分布。 分布曲线下面积规律lt分布曲线下总面积仍为1或100%lt分布曲线下面积以0为中心左右对称。l由于t分布是一簇曲线，故t分布曲线下面积固定面积(如95%或99%)的界值不是一个常量，而是随自由度的大小而变化，如附表3 。 附表分布表的特点l附表3的横标目为自由度，纵标目为概率p，表中数值为其相应的t界值，记作t, 。l附表3只列出正值，若计算的t值为负值时，可用其绝对值查表 。l附表3右上附图的阴影部分表示t,以外尾部面积的概率 。-4-202400.10.20

6、.30.4单侧t0.05,30=1.697 l其通式为，l单侧：p(t-t,)=或p(tt,)=l双侧：p(t-t/2,)+p(tt/2,)=l图中非阴影部分面积的概率为，lp(-t/2,tt/2,)=1-总体均数的估计 l用样本指标估计总体指标称为参数估计，是统计推断的一个重要方面。l总体均数估计的两种方法点估计：是直接用统计量估计总体参数.区间估计：由于抽样误差的客观存在，因而按一定的概率(100(1-)%)估计总体均数所在的范围(亦称可信区间)。 点估计l例：已知150例7岁男童的平均身高为123.8cm，标准差为4.7cm，试估计该地所有7岁男童身高的总体均数？l答：该地所有7岁男童身

7、高的总体均数为123.8cm。区间估计l概念：即按一定的概率(100(1-)%)估计总体均数所在的范围(亦称置信区间)。1)(,2,2tttp1)(,2,2tsxtpx,2,2tsxtxxxstxstx,2,2置信区间的计算l未知，且n小 l未知，但n足够大 l已知 /2/2(,)xxxzsxzsxtsxtsxx/ ,/ ,22/2/2(,)xxxzxz例6.3：在某地成年男子中随机抽取25人，测得其脉搏均数为72次/min，标准差为8次/min。试估计该地成年男性脉搏总体均数的95%置信区间。 =(68.7,75.3)次/分 根据样本计算，可推断该地成年男性脉搏总体均数的95%置信区间为(6

8、8.7,75.3)次/分。(722.064*8/25,722.064*8/25)两总体均数差值的置信区间l假设正态总体 和 ，当 ， 均未知，但 时，则两总体均数之差( )的双侧( )置信区间为：l其中， ，l当n1，n2均较大时，差值的可信区间为：1221111()cxxssnn211(,)n 222(,)n 212222122111212/2,()xxxxts)2() 1() 1(212222112nnsnsnsc221212/2,12()ssxxznn例6.5 测定28例结核病患者和34例对照者的脑脊液中镁(mmol/l)的含量，结果见表6.5，试估计结核病人和对照者的脑脊液中镁含量的总体均数之差的95%置信区间。 表6.5 两对比组脑脊液中镁含量(mmol) 组别 例数 均数 标准差结核组 28 1.04 0.17对照组 34 1.28 0.14解：假定两组方差齐，根据公式6.7，6.8，6.9可得： 所以两总体均数之差的95%可信区间为(0.16,0.32)mmol/l222(281)0.17(341)0.140.02428342cs122121111()0.024(4)030.0284cxxssnn(1.281.04)2.0000.16lc (1.281.04)2.0000.32uc 置信区间有两个要素 l准确度：反映在可信度(1-)的大小上，即可信区间包含总体