立体几何与导数知识点及应用.doc

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的 概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrrOBOAABab ; BAOAOBab ;uuurrR)OPa(rvvv运算律： 加法交换律： abbavrvvvv加法结合律： (ab )ca(bc)数乘分配律：vvvv(ab )ab运算法则 ：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法

2、则3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，rrvra平行于 b ，记作 a / b 。（2）共线向量定理 ：空间任意两个向量rrrrrra 、 b （ b 0）， a/ b 存rr在实数 ，使 a b 。（3）三点共线 ：A、B、C 三点共线 ABACOC xOAyOB(其中 x y 1)第1页共19页（4）与 a 共线的单位向量为aa4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的 两向量都是共面 的。r rrr r（2）共面向量定理 ：如果两个向量 a, b 不共线， p 与向量

3、a,b 共面rrr的条件是存在实数 x, y 使 pxayb 。（3）四点共面：若 A、B、C、P 四点共面 APx ABy AC OP xOA yOBzOC (其中 xy z 1)5.r rr空间向量基本定理 ：如果三个向量 a, b,c 不共面，那么对空间r任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使rrrrpxaybzc 。rr r rr r若三向量 a,b,c不共面，我们把 a, b,c 叫做空间的一个 基底，rr ra, b,c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设 O, A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯u

4、uuruuuruuuruuur一的三个有序实数 x, y, z ，使 OPxOAyOBzOC 。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使 OAxiyizk ，有序实数组 (x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，记作 A( x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。第2页共19页1，这个基注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的的对称点为 (x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为 (x,y,-z).即点关于什么轴 /

5、平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y 轴上的点设为 (0,y,0), 在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为r r r底叫单位正交基底，用 i , j , k 表示。空间中任一向量axiy jzk =（x,y,z）（3）空间向量的直 角坐标运算律：rr(b1 ,b2 ,b3 ) ，则若 a (a1 , a2 , a3 ) ， brra b (a1b1 ,a2 b2 , a3 b3 ) ，rrb1 , a2b2 ,a3b3 ) ，a b (a1ra ( a1 , a2 , a3 )(R) ，rra b a1b1a2b2 a3b3

6、 ，rra / ba1b1, a2b2 , a3b3 (R) ，rra b a1b1a2b2 a3b3 0 。若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则uuurAB(x2x1 , y2y1, z2z1 ) 。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。ABC中（A（x 1 , y1, z1（,B(x2 , y2 , z2 ), C( x3 , y3, z3 ) ，三角形 重心第3页共19页P坐标为 P( x1 x2x3 , y1y2y3 , z1z2 z3 )322ABC的五心：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交

7、点。AP( ABAC ) （单位向量）ABAC外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC垂心 P：高的交点： PA PBPA PCPB PC （移项，内积为 0，则垂直）重心 P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP1 (ABAC)3中心：正三角形的所有心的合一。（4）模长公式 ：若rr(b1, b2 , b3 ) ，a(a1, a2 , a3 ) ， brr r2a222rr rb1222则 | a |a aa1a3 ， | b |b bb2b3（5）夹角公式：r rrra ba1b1a2b2a3b3。cos a brra12a22a32 b12b22| a| |b |b32ABC中

8、 ABAC0A为锐角 ABAC0 A为钝角，钝角（6）两点间的距离公式：若A(x1, y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur 2x1) 2y1) 2(z2 z1) 2 ，则|AB|AB( x2( y2或 d A, B( x2x1) 2( y2y1 )2(z2z1) 27. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量r ra, b ，在空间任uuurr uuurrrr取一点 O ，作 OAa, OBb ，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，r r；且规定 0r rr rr r记作 a,ba,b，显然有 a, bb , a ；第4页共

9、19页rrrrrr若 a, b，则称 a 与b 互相垂直，记作： ab 。2uuurruuurr，则有向线段（2）向量的模：设 OAaOA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：r| a |。rrrr rrcos叫（3）向量的数量积：已知向量 a, b ，则 | a | b |a, br rrrrrrrr r。做 a, b 的数量积，记作 ab，即 ab|a | | b | cos a,b（4）空间向量数量积的性质：rrrrrrr rr0 。 ae| a | cosa,e。 aba br 2rr| a |a a 。（5）空间向量数量积运算律：rrr r (rrrrrra)b(ab )a ( b

10、 ) 。 a bb a （交换律）。rrrrrrr a (bc)a bac （分配律）。不满足 乘法结合率： ( a b)ca(bc)二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角 （共面与异面） 0O ,90O 两线的方向向量 n1 , n 2的夹角或夹角的补角， coscos n1, n23-1 线面夹角 0O ,90O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角，若为

11、锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sincosAP, n第5页共19页3-2 面面夹角（ 二面角） 0O ,180O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1 , n 2 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角 . coscos n1, n24点面距离 h ：求点 P x0 , y0 到平面的距离： 在平面上去一uuurPQn点 Q x, y ，得向量 PQ ;； 计算平面的法向量 n ;. hn4-1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离1基底法（如何找，转化为基底运算）2坐标法（如何建立空间

12、直角坐标系，找坐标）3几何法导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应地有增量 y =f （x 0 + x ） f （x 0 ），比值y 叫做函数 y=f （x）在 xx0 到 x 0 + x 之间的平均变化率，即y = f (x0x)f (x0 ) 。如果当xxx 0 时， y 有极限，我们就说函数y=f(x) 在点 x 0 处可导，并x把这个极限叫做f （x）在点 x 0 处的导数，记作f （x 0 ）或 y|第6页共19页x x0 。即 f （x 0 ）= limy = lim0f (x0x)f (

13、x0 ) 。x 0xxx注意：（1）函数 f （x）在点 x 0 处可导，是指x0 时， y 有极限。如果 y 不存在极限，就说函数在点xx 0 处不可导，或说无导数。x（2） x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，x0时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x 0 处的导数的步骤： 求函数的增量y=f （x 0 + x） f （x 0 ）； 求平均变化率y= f ( x0x)f ( x0 ) ；xx 取极限，得导数 f (x0 )= limy 。x 0x例：设 f(x)= x|x|,则 f ( 0)=.f (0x)f (0)f ( x)lim|

14、 x | xlim | x | 0 解析 ： limxlimxxx 0x 0x 0x 0 f ( 0)=02导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点p（x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x）在点 p（x 0 ，f （x 0 ）处的切线的斜率是f （x 0 ）。第7页共19页相应地，切线方程为yy 0 =f / （x 0 ）（xx 0 ）。例：在函数 yx38x 的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，4坐标为整数的点的个数是()A3B2C1D0 解析 ：切线的斜率为 ky /3x28又切线的倾斜角小于，即 0k14故

15、 0 3x2 8 1解得： 3 x8或 8x 333故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t 的瞬间速度 v=s （t）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v（ t ）。例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（A ）第8页共19页ssssOtOtOt OtABCD练习：已知质点 M按规律 s 2t 23做直线运动（位移单位： cm，时间单位： s）。（1）当 t=2 ， t0.01时，求s ；t（2）当 t=2

16、， t0.001时，求s ；t（3）求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。答案：（1）8.02 cms（2）8.002 cm；（ 3）8cmss二、导数的运算1基本函数的导数公式:C 0;（C为常数）xnnx n1; (sin x)cos x ; (cos x)sin x ; ( ex )ex ; ( ax )a x ln a ; ln x1 ;1x l o ga xlog a e .x例 2：设(x) sinx，(x) () ，f 2() ()，f 0f 1f 0xxf 1 x ，()( ) ， N，则f 2005() ()f n1xf nx nxAsinxB sinxCcosxD cosx解

17、析 ：0(x) sinx，1() 0( )=，2(x) 1( )ffxfxcosx ffx第9页共19页= - sinx ，f 3( x) f 2(x)= - cosx， f 4( x) f 3(x)= sinx ，循环了则 f 2005( x) f 1( x) cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 ) ，即： ( uv) u v .法则 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 , 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)u vuv .若 C为常数 , 则 (Cu) C uCu 0Cu Cu

18、. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cu) Cu .法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：0）。u uv uv （vvv2例：设 f(x) 、g(x) 分别是定义在 R上的奇函数和偶函数 , 当 x0时, f ( x)g( x)f (x) g ( x) 0. 且 g(3)=0. 则不等式 f(x)g(x)0 的解集是(的)A(-3,0) (3,+ )B(-3,0) (0,3)C(- ,-3) (3,+ )D(- ,-3) (0,第10页共19页3)3. 复合函数的导数形如 y=f( x )的函数称为复合函数。复合函数

19、求导步骤：分解 求导 回代。法则： y| X = y | U u| X 或者 f ( x)f ( )*( x) .三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数 yf (x) 在某个区间（ a，b）可导， 如果 f ( x)0 ，则f (x) 在此区间上为增函数；如果f (x)0 ，则 f (x) 在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内 恒有 f (x)0 ，则 f (x) 为常数 。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数 f (x) x3ax 23x 9, 已知 f

20、 ( x)在x3 时取得极值，则 a =(D )A 2B 3C4D53最值：在区间 a ，b 上连续的函数 f (x) 在a ，b 上必有最大值与最小值。第11页共19页但在开区间（ a，b）内连续函数 f （x）不一定有最大值，例如f (x)x3 , x( 1,1) 。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极

21、值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数 f (x)x33x1 在闭区间 -3 ， 0 上的最大值、最小值分（3、-17 ）.经典例题选讲例 1.已知函数 yxf (x) 的图象如图所示（其中f (x) 是函数f (x) 的导函数），下面四个图象中yf (x) 的图象大致是()第12页共19页解析 ：由函数 yxf (x) 的图象可知：当x1时， xf ( x)0，此时 f ( x) 增当1x0 时， xf( x) 0， f ( x) 0，此时 f ( x) 减当0x1 时， xf (x) 0， f ( x) 0， f ( x) 0，此时

22、f ( x) 增，故选 C例 2. 设 f (x) ax3 x 恰有三个单调区间，试确定 a 的取值范围，并求其单调区间。解： f ( x) 3ax2 1若 a0 ， f (x)0 对 x(,) 恒成立，此时f (x) 只有一个单调区间，矛盾若 a0， f (x)10 x (,) ， f (x) 也只有一个单调区间，矛盾若 a0f( x)1)(x13a(x) ，此时 f (x) 恰有三个3 | a |3 | a |单调区间第13页共19页 a0 且单调减区间为(,1) 和 (1,) ，单调增区间为3 | a |3 | a |1,1)(3 | a |3 | a |例 3.已知函数 f ( x)x

23、3bx2axd 的图象过点 P（0,2 ）, 且在点M( 1, f ( 1) 处的切线方程为6xy7 0.（）求函数 yf (x) 的解析式；（）求函数 yf ( x) 的单调区间 .解：（）由 f (x) 的图象经过 P（0，2），知 d=2，所以 f (x)x3bx 2cx2,f ( x)3x22bxc.由在M(1,f ( 1) 处的切线方程是 6 x y70 ，知6f ( 1)70,即f ( 1)1, f(1)6.32bc6,即 2bc3,解得 bc3.1 bc21.bc0,故所求的解析式是f(x)x33232.xx（）f(x)326x3.326x30,即x22x1 0.x令 x解得 x

24、112, x212. 当 x 12, 或 x12时 , f ( x) 0;当12 x12时, f ( x) 0.故 f ( x)x33x23x2在(,12) 内是增函数，在 (12,12 ) 内是减函数，在 (12,) 内是增函数 .第14页共19页例 4.设函数 fxx3bx2cx( xR) ，已知 g( x)f (x)f ( x) 是奇函数。（）求 b 、 c 的值。（）求 g (x) 的单调区间与极值。解：（） fxx3bx2cx ， fx3x22bx c 。从而g (x)f ( x)f ( x)x3bx2cx(3x22bxc) x3 (b3)x2(c2b) xc 是一个奇函数，所以 g

25、 (0)0 得 c0 ，由奇函数定义得 b3 ；（）由（）知 g (x)x36x，从而 g (x)3x26 ，由此可知，( ,2) 和( 2,) 是函数 g(x) 是单调递增区间； (2, 2) 是函数g (x) 是单调递减区间；g (x) 在 x2 时，取得极大值，极大值为42，g (x) 在 x2 时，取得极小值，极小值为42。例 5.已知 f （x）= x3ax2bx c 在 x=1，x=2 时，都取得极值。3（1）求 a、b 的值。（2）若对 x 1,2 ，都有 f ( x)1 恒成立，求 c 的取值范围。c解：（1）由题意 f / （x）=3x 22ax b 的两个根分别为1 和23

26、由韦达定理，得： 1 2 =2a ， b1( 2)1 ， b3333则 a22（2）由（ 1），有 f （x）= x 31 x22xc ，f/ （x）=32x22x当 x 1,2 ) 时， f / ( x) f 0 ，当 x( 2 ,1) 时， f / (x) p 0，当33x (1,2 时， f / ( x)0 ，当 x2 时， f (x) 有极大值 22c ， f (1)1c, f (2)2c ，3272 当 x 1,2 ， f ( x) 的最大值为 f (2)2c第15页共19页对 x 1,2，都有 f ( x)1 恒成立， 2 c1 ，cc解得 0 c21, 或 c21,例 6.已知x

27、 1是函数 f ( x)mx33(m 1)x2nx 1的一个极值点，其中 m, nR, m0 ，（ I ）求 m 与 n 的关系式；（ II ）求 f (x) 的单调区间；（III ）当 x1,1 时，函数 yf ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m ，求 m 的取值范围 .解：(I) f ( x) 3mx26(m1)xn 因为 x 1是函数 f (x) 的一个极值点 ,所以 f (1) 0, 即 3m6( m1)n0 ，所以n 3m6（II）由（ I ）知， f ( x)3mx26(m1)x3m6 =3m( x 1) x21m当 m0时，有 1 12 ，当 x 变化时， f ( x) 与 f ( x) 的变化如下表：mx,12121211,mm,1mf(x)00000f (x)调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当 m0 时， f (x) 在,12 单调递减，m第16页共19页在 (12 ,1) 单调递增，在 (1, ) 上单调递减 .m（III ）由已知得 f (x)3m ，即 mx22(m1)x20又 m0