现代控制理论实验报告.doc

1、现代控制理论实验指导书实验一：线性系统状态空间分析1、模型转换图 1、模型转换示意图及所用命令传递函数一般形式：b0 smb1 sm 1bm 1s bm(m n)G(s)a1sn 1an 1 s ana0 snMATLAB表示为： G=tf(num,den) ，其中 num,den 分别是上式中分子， 分母系数矩阵。零极点形式：mK(szi )i1G(s)n(sp j )i 1MATLAB 表示为： G=zpk(Z,P,K)，其中 Z，P，K 分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。传递函数向状态空间转换：A,B,C,D = TF2SS(NUM,DEN)；状态空间转换向传递函数：NUM,DE

2、N = SS2TF(A,B,C,D,iu)-表iu示对系统的第 iu 个输入量求传递函数；对单输入iu 为 1;验证教材 P438 页的例 9-6。求 P512 的 9-6 题的状态空间描述。 A=0 1;0 -2; B=1 0;0 1; C=1 0;0 1; D=0 0;0 0; NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,1)NUM =012000DEN =120 NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,2) NUM =001010DEN =120给出的结果是正确的，是没有约分过的形式P5129-6 A,B,C,D=tf2ss(1 6 8,1 4 3) A =-4-310B =

3、10C =25D =12、状态方程求解单位阶跃输入作用下的状态响应：G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x).零输入响应y,t,x=initial(G,x0)其中， x0 为状态初值。验证 P435 的例 9-4，P437 的例 9-5。9-4A=0 1;-2 -3;B=0;0;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G,1;2);plot(t,x)（设初始状态为 1 ;2）零输入响应21.510.50-0.5-100.20.40.60.811.21.41.61.829-5零输入响应A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0

4、 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G,1;2);plot(t,x)21.510.50-0.5-100.20.40.60.811.21.41.61.82零状态响应，阶跃信号激励下 A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0; G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x)0.40.350.30.250.20.150.10.05000.20.40.60.811.21.41.61.82总响应 A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0; G=ss(A,B,C,D);y1,t1,x1=step(G); y2,t2,

5、x2=initial(G,1;2); x=x1+x2; plot(t1,x)21.510.50-0.500.20.40.60.811.21.41.61.823、系统可控性和可观测性可控性判断：首先求可控性矩阵： co=ctrb(A，B)。然后求 rank(co)并比较与 A 的行数 n 的大小，若小于 n 则不可控，等于为可控。也可以求 co 的绝对值，不等于0，系统可控，否则不可控。验证 P456 例 9-14。A=0 1;-1 -2;B=1;-1; C=1 0; co=ctrb(A,B)co =1 -1-11 rank(co) ans =1系统不可控可观测性判断：首先求可观测性矩阵ob=o

6、bsv(A，C),或者 ob=ctrb(A ， C);然后求 rank(ob) 并比较与 A 的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观测。验证 P458 例 9-15。1 A=-2 0;0 -1;B=3;1;C=1 0; ob=obsv(A,C)ob =1 0-20 rank(ob) ans =1不可观测2、 A=1 -1;1 1;B=2 -1;1 0;C=1 0;-1 1; ob=obsv(A,C)ob =10-111 -10 2 rank(ob) ans =2可观测4、 线性变换一个系统可以选用不同的状态变量， 所以状态方程是不唯一的。 但是这些方程之间是可以相互转换的。At ，Bt，

7、Ct，Dt=ss2ss(A， B， C， D， T)变换矩阵 T 不同，可得到不同的状态方程表示形式，如可控型，可观测型，Jordan 标准型表示。 matlab 变换与控制书上讲的变换略有差别。这里是zTx ，其中 x 是原来的变量， z 是现在的变量。书上则是xTz 。因此线性变换时，首先要对给定的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T 中。求对角阵（或约当阵）：MATLAB提供指令：At ，Bt， Ct，Dt，T=canon(A，B，C，D，modal)它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。 A=-4 -3;1 0;B=1;0;C=2 5;D=0; At,Bt,Ct,D

8、t,T=canon(A,B,C,D,modal)At =-300-1Bt =Ct =Dt =0T = inv(T) ans =求可观测标准型：At ，Bt，Ct，Dt，T=canon(A， B，C，D，companion) At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,companion)At =0 -31 -4Bt =10Ct =2-3Dt =0T =1 40 1 inv(T)ans =1-401求可控标准型：首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求At， Ct，Bt，Dt Atans =0 1-3-4Ctans =2-3Btans =10验证 P512 的 9-6 习题。5、线

9、性定常系统的结构分解当系统是不可控的，可以进行可控性规范分解。使用a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)命令。验证 P473 例题 9-19。当系统是不可观测的，可以进行可观测性规范分解。使用 a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) 命令。验证 P475 例题 9-20。 A=1 2 -1;0 1 0;1 -4 3;B=0;0;1;C=1 -1 1; co=ctrb(A,B)co =0-1-4000138 rank(co) ans =2系统不可控a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)a1 =100-211-4-13b1 =001c1 =-1-11t =010

10、-100001k =110 ob=obsv(A,C) ob =1-112-324-74 rank(ob) ans =2系统不可观测 a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C)a2 =b2 =c2 =t =k =1106、极点配置算法调用命令格式为K=place(A,B,P)。A，B 为系统系数矩阵， P 为配置极点， K 为反馈增益矩阵。 验证 P484 例 9-21。 A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j;K=place(A,B,P)K =+003 *用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较（附带文件）。t = 0:5;U =

11、*ones(size(t);%幅值为输入阶跃信号Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t);figure(1)plot(t,Y1);grid;title( 反馈前 );figure(2)plot(t,Y2);title( 反馈后 );grid; A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j;C=1 0 0;D=0;K=+003* ;t = 0:5;U = *ones(size(t);%幅值为输入阶跃信号Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t);Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C

12、,D,U,t);figure(1)plot(t,Y1);grid;title( 反馈前 );figure(2)plot(t,Y2);title( 反馈后 );grid;反 馈 前0.140.120.10.080.060.040.02000.511.522.533.544.55反 馈 后0.50.450.40.350.30.250.20.150.10.05000.511.522.533.544.557、线性定常系统稳定判据函数求如下式的李氏方程：Tlyap(A,Q)AP+PA=-Q注意与教材的区别，应将给定A 矩阵转置后再代入lyap 函数。验证 P495 的例 9-25。 A=0 2;1 -1

13、; Q=1 0;0 1; lyap(A,Q)ans =实验二：单级倒立摆的LQR状态调节器设计有一个倒立摆小车系统如图一所示。它由质量为M 的小车，长为2L 的倒立摆构成，倒立摆的质量为m，铰链在小车上，小车在控制函数u 的作用下，沿滑轨在 x 方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。2LmuMx图一小车倒立摆系统示意图为了简单起见， 设倒立摆为均匀细杆， 执行机构和轴无摩擦， 此时系统的动力学非线性微分方程为：m L sin3g sin 2fx8uxg3cos2Mm 143 ( g sinx cos)4L其中， M = 1kg， m = 0.1kg，L = 1m，g = 9.81m/s2，f =

14、 50N/s。现设计LQR控制器，使系统倒立摆在初始条件x(0), dx(0),(0), d(0)T = , 0, ,0T 下稳定。注：倒立摆偏角可以通过同轴旋转电位计送出正比的电信号。思路：先建立状态空间模型A、B、C 和 D 矩阵，当摆杆角度很小时，可令sin0,cos1，四个状态为 x(0), dx(0),(0), d(0)T。采用 LQR命令求最优K 矩阵，定义 Q 和 R 阵，用对角阵，人工定义对角线上的加权系数，由此决定对每个状态分量的影响。如对角度侧重，则对应系数加大。A=0100;0 00;0001;000 B=0;0; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0;0; Q=100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0; R=1; K,P=lqr(A,B,Q,R)K =P =+012 *反 馈 前10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.800.511.522.533.544.55反 馈 后0.110.10.090.080.070.060.050.040.0300.511.522.533.544.55实验