直线的参数方程及其应用

1、直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3禾U用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题;根底知识点击：1直线参数方程的标准式(1)过点P0( xo, y。)，倾斜角为 的直线I的参数方程是x x t coso(t为参数)t的几何意义：t表示有向线段PoP的数量，P( x , y )y yo tsi n为直线上任意一点.t 2，FoP=tI PoP I =t 假设P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、那么 P1 P2=t 2 t 1I P1P2 I = I t 2 t 1 I

2、1 =t1 t22t 1、t 2、 假设P1、R、R是直线上的点，所对应的参数分别为 那么中点P3的参数为t3=匕S, I PoP32假设Po为P1P2的中点,2、直线参数方程的一般式 过点Po( xo, yo)，斜率为k那么 t 1 + t 2= o， t 1 t 20时，点P在点Po的上方; 当t = 0时，点P与点Po重合； 当t0时，点P在点Po的右侧； 当t = 0时，点P与点Po重合； 当t0时，点P在点Po的左侧； 2:直线l上的点与对应的 参数t是不是一对应关系 我们把直线l看作是实数轴， 以直线l向上的方向为正方向，以定点 Po 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数

3、t便和这条实数轴上的点P建立了一 一对应关系.3: R、P2为直线l上两点所对应的参数分别为ti、贝U PiF2 =,I PP I = 1P2 P1P0+ F)F2 11+12 12 11，I PiF2 IPohP(x,y)问题问题4 Xl專yPoh0t2 ，P4:假设Po为直线l上两点Pi、R的中点，Pi、P2所对应的 参数分别为tl、t2，那么tl、t2之间有何关系 根据直线l参数方程t的几何意义， iP ti，P2P t2，v F为直线 l上两点Pi、P2的中点，.|PiP| |P2P|i P RP,即 t i t 2, t it 20,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得1

4、t 2 =254,由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得1 PM| =宁1516中点M所对应的参数为tM=15,将此值代入直线的标准参数方程16c 3J5 41413M点的坐标为x 2 5?16 16即M ( , _)4 15 3164y?5 164(3)点拨： 5|AB| = 1 t 2 t 1 1 =. (t1 t2 )24讯2 =. 738利用直线1的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线1上两点间的距离、直线I上某两点的中点以及与此相关的一些问题时， 比用直线I的 普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：直线I经过点P( 1, -3 3 )，倾斜角为_ ,3(1) 求直线I

5、与直线I : y x 2 3的交点Q与P点的距离| PQ| ;(2) 求直线I和圆x2 y2 = 16的两个交点A, B与P点的距离之积.解：(1) T直线I经过点P (1, - 3 .3 ),倾斜角为，直线I的标准参数方程为x 1 tcos3，即1x 1t2y3 3 t sinv 3 y3 -?3t32y x2 .3 得(1t)(3.3t)223(t为参数)代入直线I :2、30 整理，解得 t=4+2 , 3t=4+2即为直线I与直线I的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|, 二 | PQ|=4+23 .1(2)把直线I的标准参数方程为x 1 2t (t为参

6、数)代入圆的方程y 3后t21_； 3x2 y2 = 16,得(1 才)2 ( 3 3t)2 16 ,整理得：t 8t+12=0,2 =8-4 X 120,设此二次方程的两个根为 t1、t2 那么t1t2=12根据参数t的几何意义，t1、t2分别为直线和圆x2 y2 = 16的两个交点A, B所对应的参数值，那么|t 1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以 | PA| | PB|=|t 1 t 2|=12点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘 积(或商)的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点 坐标再利用两点间的距离公式简便.例&设抛物线过

7、两点A( 1,6)和B( 1, 2)，对称轴与x轴平行，开口向右, 直线y=2x+7被抛物线截得的线段长是 4.10，求抛物线方程.解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为(a , 2)方程为(y 2) 2=2P(x a) (P0)2V点 B( 1, 2)在抛物线上， ( 2 2) =2P( 1 a)2ap二8- P 代入得(y 2) =2Px + 2P+16将直线方程y=2x+7化为标准的参数方程tg =2,为锐角,cos直线与抛物线相交于A,4212 2P5t .5又 t |AB|=1x 1t5 (t为参数)y 52tv5将代入并化简得：2t 7 = 0 ,由4 =4(

8、P_ 6)350,可设方程的两根为t1、t2,B,5=(1 t2)2 4t1t2= 4 104 色=(4 .10)2 化简，得(6 P)2=10042.5(122P)4 P=16或P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为(y 2) 2=32x + 48点拨：(1)(对称性)由两点A( 1,6)和B( 1, 2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程(含 P一个未知量，由弦长AB的值求得P).(2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便 些( 1)2 2例9:椭圆必一1-1，AB是通过左焦点F1的弦，F2为

9、右焦点， 43求| F 2A| | F 2B|的最大值.解：由椭圆方程知a = 2, b=.3,c=1, F1(0,0),F 2(2,0),设过的弦所在直线 的x t cos参数方程为x tcos (t为参数)代入椭圆方程整理得y tsi n2 2 2 2(3+ sin ) t 6 t cos 9=0, =36cos + 36 (3+ sin ) 0此方程的解为11 12,分别为A、B两点对应的参数，由韦达定理 t 1 + t 2= 6cos2 t 1 t 2=9-3 sin3 sin根据参数t的几何意义，t1、t2分别为过点F1的直线和椭圆的两个交点A, B所对应的参数值，I F 1A| =

10、 |t1| |F 1B|t 2|AB|=I t 2 t 1 I =.(t1t2 厂Ai +124t1【223sinI F1A| |F 冋=|t 1| |t 2| = |t1t 2|1由椭圆的第一定义| F人| + | F 2AI 2a 4,| F 1B|+| F2B|=2 a 4I F2A| | F 2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F 1A| |F1B|=16-41291 t 2 t 1 1 +|t 1t2| = 16-42+9 23 sin3 sin=16-393 sin2当sin2 = 1时，| F绢 | F 2BI有最大值254点拨：求过定点的直线

11、与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解 题，此题中两定点Fi(O,O),F 2(2,0),显然Fi坐标简单，因此选择过Fi 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A|F2B|转化为| FiA| |FiB|.例10:(黄冈习题册：P155,第23题)(2)除书中解法外，补充解法二.解法二：设过点P( a ,0)的直线I的参数方程为x a tcos (t为参数y tsi n(0,)，且丰一)(1)2直线I与圆x2 y2 = 5相交于B,C将直线I的方程 代入圆的方程2 2 2 2得 t +2at cos +a 5 = 0，A =(2 a cos ) -4( a 5)0. 即一a2 si

12、n 2 +50(2)2tb+ t c= 2 a cost b t c= a 5直线l与抛物线y2=x+7相交于A,D将直线l的方程(1)代入抛物线的 方程得(sin2 )t 2 t cos a 7= 0 ， A = cos 2 -4(sin 2 )(- a 7)0即 1+(4 a+27) sin丄+_ cosa+ tD=厂sin又 t |AB|=|CD|a+ t D=t b+ t C(0,),且2 0+ a 7B tc=sin线段AD与线段BC的中点重合，即-cos 即-2a=t，sin1代入、2asin2= -2半一 0sin 22acos1.2 sin00 -101a -2a 10a必须满

13、足亘自2a 2a点拨：此题利用直线参数方程形式比普通方程求 a的范围运算量相对要 小,注意使用直线上两个点的中点的参数.方法总结：利用直线l的参数方程X X。tcos( t为参数)，给研究直线与y y tsin圆锥曲线C: F(x,y)=0的位置关系提供了简便的方法.一般地，把I的参数方程代入圆锥曲线 C: F(x,y)=0后，可得一个关于t-儿二次方程，f(t)=O,(1)当厶0时，I与C相离；(2)当二0时，I与C相切；(3)当厶0时，I与C相交有两个交点；当厶0时，方程f(t)=O的两个根分别记为t1、t2，把t1、t2分别代入I的参 数方程即可求的I与C的两个交点A和B的坐标.定点&0,丫0)是弦AB中点I被C截得的弦AB的长|AB| = |t 1 12| ；对应的参数为匕空；| P 0M |=也2根底知识测试2:t (t t的1、2、3、4、7、直线8、直线A |t9、直线xX。yy。tcos t sin1+t 2|B Itt l+t 2=0t22为参数)与椭圆x标为(2,-1),10、过点 P(6,1、D 2、PA PB= t 1 12；弦 AB中点 M点(t为参数)与二次曲线1| + It 2| C |t8交于A B两点，那么|AB|等于()A、B两点，贝U |AB|等于()1t2那么 |PA| 为参数)与圆x2|PB|=x7)的