2013版高中全程复习方略配套课件：6.4基本不等式

1、第四节 基本不等式三年三年1313考考 高考指数高考指数: :1.1.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程. .2.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. .1.1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明主要考查应用不等式求最值和不等式的证明. .2.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大为中低档题，若出现证明题难度也不会太大. .1.1.基本不等式：基本不等式：(1)(1)基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是_._.(

2、2)(2)等号成立的条件是：当且仅当等号成立的条件是：当且仅当_时取等号时取等号. .(3)(3)其中其中 称为正数称为正数a,ba,b的的_， 称为正数称为正数a a，b b的的_._.abab2a0,b0a0,b0a=ba=bab2算术平均数算术平均数ab几何平均数几何平均数【即时应用【即时应用】判断下列不等式是否正确判断下列不等式是否正确.(.(请在括号中填写请在括号中填写或或) )(1)a(1)a2 2+b+b2 22ab(a,bR) ( )2ab(a,bR) ( )(2) (a(2) (a，bR) ( )bR) ( )(3) (a,bR) ( )(3) (a,bR) ( )(4) (

3、a,b(4) (a,b均不为零均不为零) ( ) ( )2abab()2222abab()22ba2ab【解析【解析】(1)(1)由由(a-b)(a-b)2 200得得a a2 2+b+b2 2-2ab0-2ab0，即即a a2 2+b+b2 22ab2ab，故，故(1)(1)正确正确. .(2)(2)由由(1)(1)可知可知a a2 2+b+b2 22ab2ab，即，即a a2 2+b+b2 2+2ab4ab,+2ab4ab,即即(a+b)(a+b)2 24ab,4ab,即即 故故(2)(2)正确正确. .(3)(3)由由 故故(3)(3)正确正确. .(4)(4)若若a,ba,b异号，如异

4、号，如a=-1,b=1,a=-1,b=1,则则 故故(4)(4)错错. .答案：答案：(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4)2abab,2 （）22222ababab2ab()2242(ab)0,4ba22,ab 2.2.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值(1)(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a a，b b为为正实数，且正实数，且a ab bM M，M M为定值，则为定值，则 等号当且仅当等号当且仅当_时成立时成立.(.(简记：和定积最大简记：和定积最大) )(2)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最

5、小值，即若两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a a，b b为正实数，且为正实数，且ababP P，P P为定值，则为定值，则a ab_b_，等号当且仅，等号当且仅当当_时成立时成立.(.(简记：积定和最小简记：积定和最小) )2Mab4，a ab b2 Pa ab b【即时应用【即时应用】(1)(1)已知已知x+3y=2(x,yx+3y=2(x,y为正实数为正实数) )，则，则xyxy的最大值为的最大值为_._.(2)(2)函数函数 的最大值为的最大值为_._.(3)(3)已知已知m0,n0m0,n0且且mn81mn81，则，则m+nm+n的最小值为的最小值为_._. xf xx1【

6、解析【解析】(1)(1)由由 得得 故故xyxy 等号当且仅当等号当且仅当x=1,y= x=1,y= 时取得时取得. .(2)x0(2)x0，当当x=0 x=0时，时，f(0)=0f(0)=0；当当x x0 0时，时，f(xf(x)=)=当且仅当当且仅当 即即x=1x=1时取等号时取等号. .所以所以f(xf(x) )的最大值为的最大值为(3)m(3)m0,n0,n0,mn81,0,mn81, 故故m+nm+n的最小值为的最小值为18.18.答案：答案：(1) (2) (3)18(1) (2) (3)182x3y2 3xy,3xy,313，1311,12xx1xx，1.2mn9,mn2 mn1

7、8，1312 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值【方法点睛【方法点睛】应用基本不等式求最值的常见类型应用基本不等式求最值的常见类型(1)(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式. .(2)(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造行恒等变形，如构造“1”1”的代换等的代换等. .(3)(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解调性求解. .【提醒【提醒】(1)(1)应用基本不等式

8、注意不等式的条件应用基本不等式注意不等式的条件. .(2)(2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立. .【例【例1 1】(1)(2012(1)(2012无锡模拟无锡模拟) )若若x-3x-3，则，则 的最小值为的最小值为_._.(2)(2)已知已知x,yx,y为正实数，且满足为正实数，且满足 则则xyxy的最大值为的最大值为_._.(3)(3)已知已知a a，b b为正实数且为正实数且a+ba+b=1=1，则，则 的最小值为的最小值为_._.2xx3xy134，111(1)ab（）【解题指南【解题指南】(1)(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式

9、形式将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解可解. .(2)(2)直接应用基本不等式求解直接应用基本不等式求解. .(3)(3)将将 与与 中的中的1 1用用a+ba+b代换整理后利用基本不等式可求代换整理后利用基本不等式可求. .【规范解答【规范解答】(1)(1)由由x-3x-3得得x+30,x+30,又又 等号成立的条件是等号成立的条件是 即即答案：答案：1a1b22xx332 23x3x3， 2x3,x3x23.2 23(2)(2)因为因为x,yx,y为正实数，所以为正实数，所以所以所以 即即xy3,xy3,当且仅当当且仅当 y=2y=2时等号成立时等号成立. .答案答案：3 3(3)

10、a0,b0,a+b=1,(3)a0,b0,a+b=1, 同理同理等号成立的条件为等号成立的条件为答案：答案：9 9xyxy123412，xy1122，3x2，1abb112,aaa 1a12,bb11baba(1)(1)(2)(2)52549,ababab（）1ab.2【互动探究【互动探究】若将本例若将本例(1)(1)中中x-3x-3去掉，而求去掉，而求 的取值的取值范围，又将如何求解？范围，又将如何求解？【解析【解析】分情况讨论，由题意得分情况讨论，由题意得x-3,x-3,(1)(1)当当x-3x-3时，由例题可知时，由例题可知(2)(2)当当x-3x-3时，时，x+30 x+30,-(x+

11、3)0,等号成立的条件是等号成立的条件是故故 的取值范围是的取值范围是2xx32x2 23.x322xx33x3x32(x3)32 23(x3) ，x23. 2xx3(, 2 232 23,). 【反思【反思感悟感悟】1.1.利用基本不等式求最值的关键在于凑利用基本不等式求最值的关键在于凑“和和”或或“积积”为定值为定值. .2.2.使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件使用基本不等式时容易忽视的是不等式成立的条件. .【变式备选【变式备选】若正实数若正实数x,yx,y满足满足2x+y+6=xy2x+y+6=xy, ,则则xyxy的最小值是的最小值是_【解析【解析】xyxy=2x+y+6

12、 =2x+y+6 令令xyxy=t=t2 2(t0),(t0),可得可得t t2 2- -60-60，注意到，注意到t t0 0，解得，解得 故故xyxy的最小值为的最小值为18.18.答案：答案：18182 2xy6,2 2tt3 2, 基本不等式的实际应用基本不等式的实际应用【方法点睛【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、物价、销售、税收、原材料税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用

13、信息，建立数学模型，转化为数学问题求解提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. .(2)(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解围用对应函数的单调性求解【例【例2 2】某造纸厂拟建一座平面图形为】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为矩形且面积为162162平方米的三级污水处平方米的三级污水处理池，池的深度一定理池，池的深度一定( (平面图如图所示平面图如图所示) )，如果池四周围墙建造，

14、如果池四周围墙建造单价为单价为400400元元/ /米，中间两道隔墙建造单价为米，中间两道隔墙建造单价为248248元元/ /米，池底建米，池底建造单价为造单价为8080元元/ /米米2 2，水池所有墙的厚度忽略不计，水池所有墙的厚度忽略不计. .(1)(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；总造价；(2)(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过1616米，试设计米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. .【解题指南

15、【解题指南】(1)(1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)(1)中函数的单中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论调性，利用单调性求最值，得出结论. .【规范解答【规范解答】(1)(1)设污水处理池的宽为设污水处理池的宽为x x米，则长为米，则长为 米米. .则总造价则总造价f(xf(x)=400)=400(2x+ )+248(2x+ )+2482x+802x+80162162=1

16、296x+ +12 960=1 296x+ +12 960=1 296(x+ )+12 960=1 296(x+ )+12 960162x2 162x1 296 100 x 100 x1 2961 296 +12 960 +12 960=38 880(=38 880(元元) )，当且仅当当且仅当 (x0),(x0),即即x=10 x=10时取等号时取等号. .当长为当长为16.216.2米，宽为米，宽为1010米时总造价最低，最低总造价为米时总造价最低，最低总造价为38 88038 880元元. .1002 xx100 xx(2)(2)由限制条件知由限制条件知设设由函数性质易知由函数性质易知g

17、(xg(x) )在在 上是增函数，上是增函数，当当 时时( (此时此时 ),),g(xg(x) )有最小值，即有最小值，即f(xf(x) )有最小值有最小值 =38 882(=38 882(元元).).当长为当长为1616米，宽为米，宽为 米时，总造价最低，为米时，总造价最低，为38 88238 882元元. .0 x16,162016x110 x16.81001g(x)x10 x16 ,x8（）110168，1x10816216x18001 296 (10)12 960881 1108【反思【反思感悟感悟】1.1.本例本例(2)(2)中由于条件限制应用基本不等式结中由于条件限制应用基本不等式

18、结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内容的常规解法内容的常规解法. .2.2.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键涉及到等式能否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围否成立，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围. .【变式训练【变式训练】某种汽车，购车费用为某种汽车，购车费用为1010万元，每年的保险费、万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为养路费、汽油费约为0.90.9万元，年维修费第一年是万元，年维修费第一年是0.20.2万元，以万元，以后逐年递

19、增后逐年递增0.20.2万元万元. .这种汽车使用多少年时，它的年平均费用这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？最少？【解析【解析】由于由于“年维修费第一年是年维修费第一年是0.20.2万元，以后逐年递增万元，以后逐年递增0.20.2万元万元”，可知汽车每年维修费构成以，可知汽车每年维修费构成以0.20.2万元为首项，万元为首项，0.20.2万元万元为公差的等差数列，因此，汽车使用为公差的等差数列，因此，汽车使用x x年时总的维修费用为年时总的维修费用为 万元万元. .0.20.2xx2设汽车的年平均费用为设汽车的年平均费用为y y万元，则有万元，则有当且仅当当且仅当 即即x=10 x=1

20、0时，时，y y取得最小值取得最小值. .答：汽车使用答：汽车使用1010年时，它的年平均费用最少年时，它的年平均费用最少. .20.20.2x100.9xx10 x0.1x2yxx10 x10 x1123,x10 x 10 10 xx10， 基本不等式与其他知识的综合应用基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛【方法点睛】基本不等式在其他数学知识中的应用基本不等式在其他数学知识中的应用以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中

21、也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件. .【例【例3 3】(1)(2012(1)(2012杭州模拟杭州模拟) )设设x,yRx,yR，a1,b1a1,b1，若，若a ax x=b=by y=4=4且且 则则 的最大值为的最大值为_._.(2)(2)已知函数已知函数f(xf(x)=log)=log2 2k(x+4)+2k(x+4)+2+1+1恒过定点恒过定点P P，且点，且点P P在直在直线线 (a,bR(a,bR+ +) )上，则上，

22、则3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为_._.【解题指南【解题指南】(1)(1)用用a,ba,b表示表示x x，y y代入后，再利用基本不等式可代入后，再利用基本不等式可求求. .(2)(2)求得求得P P点坐标代入直线方程，再用点坐标代入直线方程，再用“1”1”的代换转化为基本不的代换转化为基本不等式求解等式求解. .ab2 2,11xyyx2ba【规范解答【规范解答】(1)(1)由由a ax x=b=by y=4=4得得x=logx=loga a4,y=log4,y=logb b4,4,故故 =log=log4 4a+loga+log4 4b=logb=log4 4ab.ab.又又a1

23、,b1,a1,b1,故故 等号当且仅当等号当且仅当即即x=y=4x=y=4时等号成立时等号成立. . 的最大值为的最大值为答案：答案：ab1111xylog 4log 4ab2 2,2444ab1log abloglog 2,22（）111,xy2ab2,11xy1.212(2)(2)由函数由函数f(xf(x)=log)=log2 2k(x+4)+2k(x+4)+2+1+1可知，可知，当当x=-4x=-4时，时，f(xf(x)=2,)=2,即即P P点坐标为点坐标为(-4(-4，2)2)，又又P P在直线在直线 (a,bR(a,bR+ +) )上，上，故故 即即当且仅当当且仅当3a3a2 2=

24、4b=4b2 2，即，即 时等号成立时等号成立. .3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为答案：答案：yx2ba242ba，211,ab213a4b3a2b(3a2b)()8abba82 1284 3,2 3a2,b31384 3.84 3【互动探究【互动探究】若本例若本例(2)(2)中函数改为中函数改为f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1,+1,其余条件不其余条件不变，又将如何求解变，又将如何求解? ?【解析【解析】由由f(xf(x)=2)=2k(x+1)k(x+1)+1+1可知图象恒过定点可知图象恒过定点P(-1P(-1，2)2)，依题意，依题意，P P在直线上，故在直线

25、上，故即即等号当且仅当等号当且仅当 时取得时取得. .所以所以3a+2b3a+2b的最小值为的最小值为212,ba111,b2a1173ab73a2b(3a2b)()2 3,b2a2ba2313a,b132272 3.2【反思【反思感悟感悟】解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点解决与其他知识综合的基本不等式题目，难点在于如何从已知条件中寻找基本关系在于如何从已知条件中寻找基本关系. .本例本例(1)(1)中其关键是构建中其关键是构建x,yx,y与与a,ba,b的关系得到的关系得到x=logx=loga a4 4，y=logy=logb b4 4，从而将，从而将 成功转化成功转化为为a,ba

26、,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)(2)中其关键中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解. .11xy【变式备选【变式备选】设设x,yx,y满足约束条件满足约束条件 若目标函若目标函数数z=abx+y(az=abx+y(a0,b0,b0)0)的最大值为的最大值为8 8，则，则a+ba+b的最小值为的最小值为_._.【解析【解析】已知已知x,yx,y满足约束条件满足约束条件 其可行域是一其可行域是一个四边形，四个顶点是个四边形，四个顶点是(0,0)(0,0)，(0(0，

27、2)2)，( 0)( 0)，(1(1，4)4)，易见目标函数易见目标函数z=abx+y(az=abx+y(a0,b0,b0)0)在在(1(1，4)4)取最大值取最大值8 8，2xy208xy40,x0,y02xy208xy40 x0,y0，12，所以所以8=ab+48=ab+4，即，即ab=4ab=4，当且仅当当且仅当a=b=2a=b=2时，等号成立时，等号成立. .所以所以a+ba+b的最小值为的最小值为4.4.答案：答案：4 4ab2 ab4,【易错误区【易错误区】忽视题目的隐含条件致误忽视题目的隐含条件致误【典例】【典例】(2011(2011江苏高考江苏高考) )在平面直角坐标系在平面直

28、角坐标系xOyxOy中，过坐标中，过坐标原点的一条直线与函数原点的一条直线与函数 的图象交于的图象交于P P、Q Q两点，则线段两点，则线段PQPQ长的最小值是长的最小值是_._.【解题指南【解题指南】由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式求解即可. . 2f xx【规范解答【规范解答】由题意可知由题意可知 的图象关于原点对称，而与的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，

29、故可设两交点分别为分别为P(xP(x, ), )与与Q(-x, )Q(-x, )，由两点间距离公式可得由两点间距离公式可得等号当且仅当等号当且仅当x x2 2=2=2，即，即 时取得时取得. .答案：答案：4 4 2f xx2x2x2222224PQ(xx)2x4xxx（）（）x2 【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备考建议：得到以下误区警示和备考建议：误误区区警警示示在解答本题时主要有两点误区在解答本题时主要有两点误区(1)(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关对于题目自身的含义理解不透，无法

30、掌握交点关系，造成不会解系，造成不会解. .(2)(2)有些同学设出直线方程与有些同学设出直线方程与 联立得出两交联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运算繁琐情况，导致错解情况，导致错解. .2f(x)x备备考考建建议议解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意(1)(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；(3)(3)思考要周密，运算要准确、快速思考要周

31、密，运算要准确、快速. .另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法简便方法的尽量使用简便方法. .1.(20111.(2011福建高考福建高考) )若若a0,b0a0,b0，且函数，且函数f(xf(x)=4x)=4x3 3-ax-ax2 2-2bx+2-2bx+2在在x=1x=1处有极值，则处有极值，则abab的最大值等于的最大值等于 ( )( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9(A)2 (B)3 (C)6 (D)9【解析【解析】选选D.D.由题意得由题意得f(xf(x)=12x)=12x2 2-2ax-2b,-2ax-2b,函数函数f(xf(x) )在在x=1x=1处有极值，处有极值，f(1)=0,12-2a-2b=0,f(1)=0,12-2a-2b=0,即即a+ba+b=6.=6.又又a0,b0a0,b0，由基本不等式得：，由基本不等式得：故故abab的最大值是的最大值是9.9.22ab6ab922，（） （ ）2.(20112.(2011北京高考