极坐标与球面坐标计算三重积分-极系下的三重积分

1、失5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标、柱面坐标系的坐标面直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素柱面坐标系中的三重积分二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标、球面坐标系的坐标面直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的三重积分、利用柱面坐标计算三重积分设Mg % z）为空间内一点，则点M与数厂、0、z相对应, 其中P0 0）为点M在兀Oy面上的投影的极坐标.三个数厂、0、z叫做点M的柱面坐标.个乙Z 、M(x, y, z)这里规定厂、3. z的变化范围为:0 r+oo,0 0 2tc ,-oo z+00 cX一、利用柱面坐标计算三

2、重积分设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数厂、0、z相对应, 其中P(r, 6)为点M在兀Oy面上的投影的极坐标.三个数厂、0、Z叫做点M的柱面坐标.这里规定厂、0、z的变化范围为:0 r+oo,0 3 2ti ,一00 V z+00 0厂一O个z%坐标ffir=r0, 0=0y z=z（）的意义:直角坐标与柱面坐标的关系：x - r cos &, v y =厂 sin 0,Z二zJ柱面坐标系中的体积元素：dv =rdrdOdz-Z 、X、 M(x, % z)r sin 0Z)rdrdOdzZ)dxdydz/(r cos 0Q柱面坐标系中的三重积分： U 例1利用柱面坐标计算三重积分

3、jj zdxdydz其中0是由曲G面乙二/+尹2与平面=4所围成的闭区域.解闭区域Q可表示为： r2z4, 0r0为有向线段0M与Z轴正向所夹 的角，。为从正Z轴来看自X轴按逆时针方向转到有向线段0P的角.这样的三个数厂、（P、0叫做点M 的球面坐标.这里厂、cp、0的变化范围为0 r+oo, 0 0 V” 00 2兀处标而心厂0，& = &o的意义:AZ)dxdydz点的直角坐标与球面坐标的关系:x = r sin cp cos &, sin , rcoscp) r2 sincp drdcpdO 例2求半径为Q的球面与半顶角劲的内接锥面所围成的立 体的体积.X例2求半径为。的球面与半顶角劲的

4、内接锥面所围成的立 体的体积.解 该立体所占区域Q可表示为：0r2a cos (p , Q(pa , 00 drdcpdOQ,2 a cos (p0,2 a cos A ZaOa戸sin(pd(p fJoJi16 7ia334勿34=(1 - cos a).=271 cos 3 cp sin (pdcp oJr dr3例3求均匀半球体的重心解取半球体的对称轴为Z轴, 原点取在球心上，又设球半径为a. 显然，重心在z轴上，故y=0.zdvGZpdvJ J J-Qz =BIpdv BIdvGGn-dv = d(p. deQ-2nKzdv = d(pi deGr2 sin cpcr Q0fQ r cos (p Jo一 “ 一 3q 十 .3a因此z=重心为(0, 0,).ir -31 421a r sin (pdr 2乃4A卩.3422sin (p d(p r dr - aM , oo5例4求均匀球体对于过球心的一条轴/的转动惯量.解取球心为坐标原点，z轴与轴/重合，又设球的半径为Q,则球体所占空间闭区域。可用不等式 x2+y2+z1a 2来表示.所求转动惯量为=qJJJ (r2 sin 2 cos 2 0 + r2