矩形的性质和判定

1、初中数学矩形的性质和判定编稿老师巩建兵 一校 j黄楠i 一校 杨雪审核i木树庆|111!:jjI：l【考点精讲】【典例精析】例题1 如图，在 ABC中，AB = 6, AC = 8, BC = 10, P为边BC上一动 点(且点P不与点B、C重合)，PE丄AB于点E, PF丄AC于点F, M为EF中 点。设AM的长为x,试求x的最小值。思路导航：根据勾股定理的逆定理求出 ABC是直角三角形，得出四边形1 1AEPF是矩形，所以AM = 2EF= 2AP, 在 RtABC中利用AP求出x的最小值。答案：解：连接 AP,： AB = 6, AC = 8, BC = 10,二 AB2+ AC2 =

2、36+ 64 =100, BC2= 100,二 AB2+ AC2 = BC2,aZ BAC = 90 v PE丄 AB , PF丄 AC , / AEP=Z AFP=Z BAC = 90，二四边形 AEPF 是矩形,二 AP = EF , v/ BAC1 1=90 M为EF中点，二AM = 2EF= qAP,当AP丄BC时,AP值最小,此时S 1 1 BAC = 2$= 2X10AP，AP = 4.8 ,即 x 的最小值为 2.4。点评：此题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判 定等的应用,关键是求出 AP的最小值和得出AM与AP的数量关系。例题2请看下面小明同学完成的一道

3、证明题的思路：如图1, ABC中,AB = AC , CD丄AB ,垂足是D , P是BC边上任 意一点,PE丄AB , PF丄AC ,垂足分别是 E、F。求证：PE+ PF= CD。证明思路：如图2,过点P作PG/ AB交CD于点G ,那么四边形PGDE为矩 形，PE= GD；又可证 PGCACFP ,贝U PF= CG；所以 PE+ PF= DG + GC = DC。如图3,假设P是BC延长线上任意一点，其他条件不变，那么 PE、PF与CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程。思路导航：采用与题目相同的思路,过点C作CG丄PE ,利用矩形的性质和 全等三角形的性质确定PE、PF、CD之间

4、的关系。答案：结论：PE- PF= CD。证明：过点C作CG丄PE于点G , v PE丄AB, CD丄AB, a/ CDE=/ DEG =/ EGC= 90 a四边形 CGED 为矩形。a CD = GE , GC / AB 0 a/ GCP=/ B v AB = AC , a/ B = /ACB a/ FCP=/ ACB = / B = / GCP。在 PFC 和厶 PGC 中，/ F=/ CGP= 90 , /FCP=/ GCP , CP= CP, PFCA PGC (AAS )。二 PF= PGa PE- PF= PE- PG= GE= CD。点评：此题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形

5、和全等三角形的判定和性 质求解。解答这类阅读理解问题，读懂题目提供的解题思路是解题关键。例题3 如图， ABC中，AB = AC，/ BAD =/ CAD , F为BA延长 线上的一点,AE平分/ FAC , DE / AB交AE于点E。(1) 求证：AE / BC ；(2) 求证：四边形AECD是矩形；(3) BC = 6cm, Saecd = 12cm2，求 AB 的长。思路导航：1先根据条件求出AD丄BC,再根据AE平分/ FAC, 得出/ EAD二90从而证出AE/ BC； 2先判定四边形AECD是平行四边形， 再根据/ ADC = 90证出四边形AECD是矩形；3由BC= 6cm,得

6、出CD =3cm,再根据Saecd = 12cm2,得出AD = 4,利用勾股定理求出AC的长即可。答案：1证明：I AB = AC,/ BAD =/CAD ,. AD 丄 BC , a/ ADB =90 t AE 平分/ FAC , / FAE + / EAC +/ CAD + / BAD = 180，./ EAC + / CAD = / EAD = 90 , . AE / BC ；2证明：t DE / AB, AE / BC ,.四边形ABDE是平行四边形,.AE =BD , t BD = CD , a AE = CD , a 四边形 AECD 是平行四边形，t/ ADC = 90，.四边

7、形AECD是矩形；3解：t BC = 6cm , a CD = 3cm , t Saecd = 12cm2 , a AD = 4, a AB=AC =32 + 42= 5, a AB 的长是 5cm。点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用， 用到的知识点是平行四边 形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一 般要综合利用各种有关性质，是中考命题的热点。【总结提升】1. 关于矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩 形。有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等且互相平分的四边形是矩 形。说明：长方形和正方形都是矩形。2. 关于矩形

8、的性质：矩形的4个内角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形既是 轴对称图形，也是中心对称图形对称轴是任何一组对边中点的连线，它至少 有两条对称轴。矩形具有平行四边形的所有性质。3. 矩形的对角线把自身分成假设干个直角三角形和等腰三角形，因此很多矩形 问题都可以转化成直角三角形或等腰三角形的问题加以解决。直角三角形的重要性质主要有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形两锐角互余； 勾股定理；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。答题时间：20分钟一、选择题1. 以下关于矩形的说法，正确的选项是A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相平分的四边形是矩形C. 矩形的

9、对角线互相垂直且平分D. 矩形的对角线相等且互相平分*2.如图,在厶ABC中,AB = 8 , BC = 6 , AC = 10 , D为边AC上一动点, DE丄AB于点E , DF丄BC于点F ,那么EF的最小值为A. 2.4B. 3C. 4.8D. 5*3. ABC中,AB = AC = 5 , BC= 6,点D是BC上的一点,那么点 D至U AB与AC的距离的和为24A. 5B. 6C. 4D.5二、填空题4. 如图，在 ABC中，AB = AC, AD丄BC ,垂足为D, E是AC的中点。假设 DE = 5,贝U AB的长为。*5.如下图， ABC中，AC的垂直平分线分别交 AC、AB

10、于点D、F, BE 丄DF交DF的延长线于点E,/ A = 30 BC = 2, AF = BF，那么四边形BCDE 的面积是。三、解答题*6.：如下图，D是厶ABC中AB边上的中点， ACE和厶BCF分别 是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接 DE、DF。求证：DE = DF。*7.如图，O ABC 内一点，把 AB、OB、OC、AC 的中点 D、E、F、G 依次连接形成四边形DEFG。(1) 四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；(2) 假设四边形DEFG是矩形，点O所在位置应满足什么条件？说明理由。DE + DF = CQ =241. D解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，

11、对角线相等的平行四边4. 10 解析：在厶ABC中，AD丄BC,垂足为D, ： ADC是直角三角形；1t E是AC的中点。：DE=(直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半)；又 t DE = 5, AB = AC , : AB = 10。5. 2 3 解析：t AF = BF, 即卩F为AB的中点，又DE垂直平分AC ,即D为1AC的中点，：DF为三角形ABC的中位线，：DE / BC, DF= 2BC，又/ ADF =90 :/ C=Z ADF = 90 又 BE 丄 DE,：/ E = 90 :四边形 BCDE 为矩 形，t BC = 2, : DF = ；BC= 1,在 RtAADF 中

12、，/ A = 30 DF = 1, : AD = . 3, :CD= AD = *3,贝U矩形 BCDE 的面积 S= CD?BC= 2.3。6. 证明：分别取 AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN , t1 1D 为 AB 中点，/ AEC = 90 / BFC = 90 : EM = DN = 2AC , FN = MD = 2BC,DN / CM且DN = CM，二四边形MDNC为平行四边形，二/ CMD = / CND。：/ EMC=Z FNC = 90 /-Z EMC + Z CMD = /FNC + Z CND，即/ EMD = / FND，/ EMD DNF (

13、SAS)。/ DE= DF。7. (1)四边形DEFG是平行四边形。理由如下：D、G分别是AB、AC的1中点，/ DG是厶ABC的中位线；/ DG / BC,且DG =-BC;同理可证：EF /1BC,且EF = 2BC；/ DG / EF,且DG = EF,故四边形DEFG是平行四边形；(2) O在BC边的高上(且不与点A和垂足重合)。理由如下：连接 OA;： 把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形 DEFG。/DE / OA / GF，EF / BC，v O 点在 BC 边的高上，/ AO 丄BC，/ AO 丄 EF，v DE / OA，/ DE丄EF，/四边形 DEFG是矩形。形是矩形。2.C 解析：如图，连接 BD。在 ABC 中，AB = 8, BC= 6, AC = 10,二 AB* 2 3+ BC2=AC2，即/ABC = 90 又t DE丄AB 于点 E, DF丄BC 于点 F,：四 边形EDFB是矩形，二EF= BD。t BD的最小值为直角三角形 ABC斜边上的高， 1 12AC BD = 2AB AC，: BD = 4.8,： EF 的最小值为 4.8，应选 C。3.D 解析：作厶ABC的高CQ, AH，